有限与无限的问题.ppt
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1、1,有限与无限的问题,数学文化课程组,2,高等数学与初等数学的区别?,3,更加全面;更加深刻;更加细微;更加本质;更加理论化;更加系统化;,4,高等数学与初等数学的区别?,从 研究“常量”发展到研究“变量”从 研究“有限”发展到研究“无限”,初等数学更多地在“有限”的领域里讨论,更多地以“有限”为手段和工具进行讨论;高等数学则更多地在“无限”的领域里讨论,更多地以“无限”为手段和工具进行讨论。,5,什么是悖论 悖论:从“正确”的前提出发,经过“正确”的逻辑推理,得出荒谬的结论。,悖论(paradox)具体是指:由一个被承认是真的命题为前提,设为B,进行正确的逻辑推理后,得出一个与前提互为矛盾命
2、题的结论非B;反之,以非B为前提,亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。,所谓正确,6,例如:“甲 是 乙”与“甲 不是 乙”这两个命题中总有一个是错的;但“本句话 是 七个字”与“本句话 不是 七个字”又均是对的,这就是悖论。,7,再如:“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”;但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比,这也是悖论。,1.外祖母悖论 我会穿梭时空,回到过去,把我自己的外祖母杀了。我外祖母没了,我妈就没了,我也就没了。而我没了,就没有人杀我外祖母,我外祖母就不会死,那我又有了。而有了我,外祖母就没了,我也就没了这就是悖论,自己与自己就有矛盾。,3.“说谎者循环”A说
3、:“下面是句谎话。B说:“上面是句真话。”,2.说谎者悖论自指引发的悖论“我正在说谎”有克利特人中的一个本地中先知说:“克利特人常说谎话,乃是恶兽,又馋又懒”(圣经提多书第一章),物理学中“平行宇宙”这一理论中,世界不是只有一个,而是有许多平行的世界存在,按照如今的历史过程:罗马帝国时代、大英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界大战、电脑网络如果将整个工业时代去掉,那至此以后的历史轨迹将会得到巨大的改变,或者两次世界大战都不会出现,又或者世界大战将会在我们的另外一个平行的世界里存在,也就是说另外一个世界如今的我们可能正在遭受着战争的阴影。这个时候“外祖母悖论”就有了合理的解释:一个人
4、可以回到过去杀死自己的外祖母,但这将导致世界进入两个不同的轨道,一条中有那个人(原先的轨道),而另一条中没有那个人。,The Time Machine,The Matrix,13,一、芝诺悖论-由无限引出的 芝诺(前490?前430?)是(南意大利的)爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说:“多”和“变”是虚幻的,不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的;运动只是假象。于是他设计了四个例证,人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。,1)两分法,向着一个目的地运动的物体,首先要先走完路程的1/2,再走完剩下总路程的1/2,再走完剩下的1/2如此类推,以至无穷,永远不能到
5、达终点。结论是:无穷是不可穷尽的过程,运动永远不可能开始的。,15,2)阿基里斯(Achilles)悖论:阿基里斯追不上乌龟。,3)飞矢不动悖论,一支飞行的箭是静止的:由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的,因此箭就不能处于运动状态。,4)“操场或游行队伍”,A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来,比如说,A、B都在1小时内移动了2公里;可是,从A看来,则B在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动,所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。,18,2.症结“有限与无限”的矛盾 无限段长度的和,可能是有限的;无限段时间的和,也可能是有限
6、的。3.芝诺悖论的意义:1)促进了严格、求证数学的发展 2)较早的“反证法”及“无限”的思想 3)尖锐地提出离散与连续的矛盾:空间和时间有没有最小的单位?,19,芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”,后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来,这两种理论都有毛病;所以,“运动只是假象,不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对,但是,他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题,引起人们长期的讨论,促进了认识的发展,不能不说是巨大的贡献。,http:/,从惊讶到思考数学悖论奇景,21,二、“有无限个房间”的旅馆 1.“客满”后又来1位客人(“客满”?)1 2 3 4 k
7、2 3 4 5 k+1 空出了1号房间,22,2.客满后又来了一个旅游团,旅游团中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间,23,3.客满后又来了一万个旅游团,每个团中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间,24,全面、深刻地揭示本质的回答是容易推广的。,25,2.客满后又来了一个旅游团,旅游团中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间 共两个这样的旅游团,所以把房间两个一份、两个一份地分,可以让两个旅游团的1号客人、2号客人、。分别入住。,
8、26,3.客满后又来了一万个旅游团,每个团中都有无穷个客人 1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间,27,全面、深刻地揭示本质的回答是容易推广的。,该旅馆客满后又来了9857个旅游团,每个团中都有无穷个客人,如何安排?该旅馆客满后又来了10亿个旅游团,每个团中都有无穷个客人,如何安排?,28,是否有人想提什么问题?,29,4.该旅馆客满后又来了无穷个旅游团,每个团中都有无穷个客人,还能否安排?,“无穷大!任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神;任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力;然而,没有任何概念比无
9、穷大更需要澄清”-Hilbert,30,三、无限与有限的区别和联系 1.区别 1)在无限集中,“部分可以等于全体”(这是无限的本质),而在有限的情况下,部分总是小于全体。,31,当初的伽利略悖论,就是因为没有看到“无限”的这一个特点而产生的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合:有一一对应,于是推出两集合的元素个数相等;但由“部分小于全体”,又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。,32,2.)“有限”时成立的许多命题,对“无限”不再成立(1)实数加法的结合律 在“有限”的情况下,加法结合律 成立
10、:(a+b)+c=a+(b+c),a,b,c,33,在“无限”的情况下,加法结合律不再成立。如,34,(2)有限级数一定有“和”。是个确定的数 无穷级数一定有“和”。则不是个确定的数。称为该 级数“发散”。反之称为“收敛”。,35,2.联系 在“有限”与“无限”间建立联系的手段,往往很重要。1)数学归纳法 通过有限的步骤,证明了命题对无限个自然数均成立。2)极限 通过有限的方法,描写无限的过程。如:;自然数N,都,使 时,。,36,3)无穷级数 通过有限的步骤,求出无限次运算的结果,如 4)递推公式,n=2,3,37,3.数学中的无限在生活中的反映 1)大烟囱是圆的:每一块砖都是直的(整体看又
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