概率论的基本概念第节.ppt

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1、概率论,上海大学理学院数学系 崔洪泉 Email:Tel:13701957168,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢 c 局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,第一章 概率论的基本概念,第一节 随机试验,概率论起源于并不高尚的赌博，但它目前已经发展为一个蔚为壮观的庞大数学理论，它在社会科学、生物学、物理学和化学、经济学、保险业等都有着广泛的应用。,在西方的语言中，概率(probability)一词是与探求(probe)

2、事物的真实性联系在一起的。我们的生活中有确定性的一面，如像瓜熟蒂落，日出日没，春夏秋冬，暑往寒来，次序井然，有固定规律可循。生活的另一面却充满了各种各样的偶然性，充满了各种各样的机遇，茫茫然而难踪其绪。概率论的目的就在于从偶然性中探求必然性，从无序中探求有序。概率论是机遇的数学模型。,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象，,一类是确定性现象，,另一类是随机现象。,在一定条件下可能出现也可能不出现的、事先,无法确切知道其结果的现象称为随机现象.,实例1“在相同

3、条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.,2.随机现象,“函数在间断点处不存在导数”等.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,确定性现象的特征,条件完全决定结果,结果有可能为:,“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.,实例3“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,实例2“用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发,观察弹落点的情况”.,结果:“弹落点会各不相同”.,实例4“出生的婴儿可能是男,也可能是女”.,实例5“明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨”等都为随机现象.,随机现象的特征,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,条件不能完全决定结果,为了研究随机现象，就要对

4、客观事物进行观察，,观察的过程称为随机试验（试验）。,在概率论里所讲的试验与一般现实生活中的试验,有所不同，它必须具有以下三个特点：,(1)在相同的条件下试验可重复进行；,(2)每次试验的结果具有多种可能性,且在试验之前，,试验的所有可能结果是可以明确知道的；,(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪,一个结果。,人们经过长期实践并深入研究后，发现随机,现象虽然具有不确定性，但在大量重复试验下，,它的结果却呈现出某种规律性。,这种在大量重复试验中所呈现的规律性，称,为统计规律性。,概率论和数理统计是数学的一个分支，它研,究的对象是随机现象的统

5、计规律性。即在相同的,条件下，通过大量重复的试验来分析研究随机现,象出现的数量规律。,第二节 样本空间、随机事件,（一）样本空间,对于一个试验，尽管各次试验的结果,在试验之前无法预知，但试验的所有可能,结果所组成的集合是已知的。,我们将随机试验 E 的所有可能的结果,所组成的集合称为 E 的样本空间，,记为 S.,样本空间的元素，称为样本点。,试验E1:,抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。,样本空间 1:,试验E2:,将一枚硬币抛掷三次,观察正面出现的次数。,样本空间 2:,试验E3:,记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.,样本空间 3:,试验E4:,在一批灯泡中任意抽取一只,测

6、试它的寿命。,样本空间 4:,（二）随机事件,试验E的样本空间S的子集称为E的随机,事件，简称事件。,在每次试验中,当且仅当这一子集中的,一个样本点出现时，称这一事件发生。,特别地，由一个样本点组成的单点集，,称为基本事件。,每一基本事件对应着试验,的一个可能结果。,如试验E1有两个基本事件：,和,记为,如试验E3有无数个基本事件：,两个特殊的事件：必然事件和不可能事件,必然事件：,样本空间S作为自身的子集，包含了所有的样本点，其对应的事件就是必然事件。,不可能事件：,空集 作为样本空间S的子集，它不包含任何样本点，其对应的事件就是不可能事件。,例：,设 表示“掷骰子出现 i 点”这一基本事件

7、，,则样本空间为,且,表示“掷骰子出现奇数点”这一事件；,而,表示“掷骰子出现的点,数大于或等于5点”这一事件。,（三）事件间的关系与事件的运算,设试验E的样本空间为S，而,是S的子集。,如果事件A发生必然导致B发生，即属于A的 每一个样本点也属于B，则称事件B包含A。,(或称A包含于B，A是B的子事件),记为,或,为了方便起见，规定对任一事件A，有,显然，对任一事件A，有,同样，如,且,则,如,且,则称事件 A,B 相等，,记为 A=B。,2.“事件A与B至少有一个发生”这一事件称为 事件A与B的并(和)事件。,记为,它是由属于A或属于B的所有样本点组成的,集合。,即：,此定义可推广到有限个

8、或无限个事件。,即：,n个事件的和事件,无限可列个事件的和事件,3.“事件A与B同时发生”这一事件称为事件A与B的交(积)事件。,记为,它是由既属于A又属于B的所有公共样本点,组成的集合。,即：,或 AB.,此定义可推广到有限个或无限个事件。,即：,n个事件的积事件,无限可列个事件的积事件,4.“事件A发生而B不发生”这一事件称为事件A与B的差事件。,记为,它是由属于A但不属于B的那些样本点组成,的集合。,即：,通常把两个互不相容的事件A与B的和事件,5.如果事件A与B在一次试验中不可能同时发生，即 则称事件A与B是互不相容 的，或互斥的。,记为A+B。,如果n个事件,中任意两个事件,都不可能

9、同时发生，即,则称这n个事件是两两互不相容的。,或简称这n个事件是互不相容的。,如对一个试验而言，它的各个基本事,件之间是互不相容的。,若事件A与B互为对立事件，则在一次试验中，事件A与B必有一个发生，且只有一个发生。,事件A的逆事件记为,6.若 且 则称事件A与B互为逆事件；又称事件A与B互为对立事件。,它是由样本空间S中所有不属于A的那些样本点组成的集合。,事件的运算规律,设试验E的样本空间为S,而,是S的子集。,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,(4)德.摩根律,另外一些常用的运算规律,例1：设一个工人生产了四个零件，又 Ai 表示事件“他生产的第i个零件是正品”(i=1,2,3

10、,4)。试用诸Ai 表示下列各事件。没有一个产品是次品；至少有一个产品是次品；只有一个产品是正品；至少有三个产品不是次品。,解：,即最多只有一个是次品,例2：一名射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第i次射击时击中目标(i=1,2,3)。试用文字叙述下列事件。,前两次中至少有一次击中。,第二次未击中。,三次中至少有一次击中。,三次都击中。,第三次击中但第二次未击中。,后二次中至少有一次未击中。,第三节 频率与概率,（一）频率 定义,在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。,比值,称为事件A发生的频率，,记为,显然，频率具有下述基

11、本性质：,(1)有界性,(2)规范性,(3)有限可加性,若,是两两互不相容,的事件，则,硬币投掷试验：,（二）概率 定义,设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为,称为事件A的概率。,如果集合函数,满足下列条件：,(1)非负性：,对于每一个事件A，有,(2)规范性：,对于必然事件S，有,(3)可列可加性：,设,是两两互不相容的,事件，即,则有,在第四章中，我们将证明：,概率的一些重要性质：,性质1,性质2,概率的有限可加性,若,是两两互不相容的事件，则有,性质3,从而有,性质4,对任一事件A，有,性质5,对任一事件A，有,性质6,（逆事件的概率）,（加法公式）,对

12、任意两个事件A，B 有,推论,若A，B互斥，则,加法公式可推广到有限个事件上去。,如对任意三个事件A，B，C，有,例1：设事件A，B的概率分别为 与,求在下列三种情况下,的值。,解：,例2：设A,B,C是三事件，且,求A,B,C至少有一个,发生的概率。,解：,A,B,C至少有一个发生的概率,第四节 等可能概型（古典概型）,如果一个试验满足：,样本空间中只有有限个基本事件，即在试验中,(2)每个基本事件发生的可能性相同。,则称该试验为古典概率试验（模型）,所有可能出现的结果的个数是有限的；,如掷硬币、,骰子、,摸小球等。,对古典概率试验，假定样本空间S所含的基本事件总数为n，事件A所包含的基本事

13、件总数为k。则,例1：一部四卷本的文集按任意次序放到书架上去，问各册从左到右或从右到左恰成1、2、3、4的 顺序的概率是多少？,解：,例2：100个产品中有3个次品，任取5只，求其次品 数分别为0，1，2，3的概率？,解：,设 Ai 表示取出的产品中有i个次品。,例3：概率论中有一个历史上颇为有名的问题：要求 参加某次集会的n个人 没有两个人生 日相同的概率？,解：,分析：,每个人的生日都以同样的概率 落在一年的365天中。,现要求n个人中没有两个人生日相同，即n个人生日均不相同。,n,P,10,0.88,20,0.59,30,40,50,0.29,0.11,0.03,例4:将 15 名新生随

14、机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问：(1)每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？(2)3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：,(1)将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有 3!种。其余 12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有,每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：,于是所求的概率为：,三名优秀生分配在同一班级内,其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名,(2)3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：,例5：一袋中装有6只球，其中4只白球、2只红球。从

15、袋中取球两次，每次随机地取1只，考虑两种取球方式:(a)第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中,搅匀后再取一球,这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余的球中再取一球,这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况求：取到的两只球都是白球的概率；取到的两只球颜色相同的概率；取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,解：,现在讨论不放回抽样的情况。至于放回抽样的情况请同学自己思考。,以 A、B、C 分别表示事件“取到的两只球都是白球”、“取到的两只球都是红球”、“取到的两只球中至少有一只白球”。,则,例6:在 12000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6

16、 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？,解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”，B 为,“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：,为：6，12，181998 共 333 个，,所以能被 6 整除的整数,AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,于是所求的概率为：,其中 B=8,16,2000,AB=24,48 1992，,课 外 习 题,第 23 页,2,3，5，7，8，10,第五节 条件概率,（一）条件概率,在许多实际问题中，我们往往会遇到在事件A已经发生的前提下，求事件B发生的概率。这时由于有了附加条件，我们称这种概率为条件概率。,定义,在事件A已经发

17、生的条件下，事件B发生的概率称为事件B在给定 A下的条件概率。简称为B对 A的条件概率。,记为,相应地，,称为无条件概率。,一般来说，,例1：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况.设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两次掷出同一面”。现在求,解：,样本空间为 S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH,B=HH,TT,易知此属古典概型问题。,已知事件A已发生,有了这一信息,知道“TT”不可能发生。,即知试验所有可能结果所成的集合就是A。,A中共有3个元素，其中只有,于是,在A发生的条件下B发生的概率为,显然，,定义：,设A,B是两个事件，且,则定义,不难验证,条件概率,符合概率

18、定义中的三条件,即,(1)非负性：,对于每一个事件B,有,(2)规范性：,对于必然事件S，有,(3)可列可加性：,设,是两两互不相容的,事件，,则有,既然条件概率符合上述三个条件，所以第三节中所证明的关于概率的一些性质都适用于条件概率。,例2：一个家庭中有两个小孩。已知其中一个是女孩,问这时另一个也是女孩的概率是多少？(假定一个小孩是男是女是等可能的),解：,样本空间 S=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),设 A=“两个小孩中有一个女孩”,A=(男,女),(女,男),(女,女),再设 B=“两个小孩都是女孩”,B=(女,女),（二）乘法定理,乘法定理,此结果可推广到多个事件的积事

19、件的情况。如,设A,B,C为三个事件，且P(AB)0，则有,例3：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拔号.求他拔号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？,解：,则拔号不超过三次而接通的概率为,例3：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拔号.求他拔号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？,解：,若已知最后一个数字是奇数，则拔号不超过三次而接通的概率为,（三）全概率公式和贝叶斯公式,定义：,设S为试验E的样本空间，,为E,的一组事件，若,则称,为样本空间S的一个划分。,若,为样本空间S的一个划分，,那

20、么，对每次试验，,事件,中必有一个,且仅有一个发生。,例如，设试验E为“掷一棵骰子观察其点数”。,它的样本空间为S=1,2,3,4,5,6.,E的一组事件B1=1,2,3,B2=4,5,B3=6是S的一个划分。,而事件组C1=1,2,3,C2=3,4,C3=5,6不是S的划分。,定理：,设试验E的样本空间为S，,A为E的事件，,为S的一个划分，,则,上式称为全概率公式。,证明：,得到,证毕,由此可得另一个重要的公式。,定理：,设试验E的样本空间为S，,A为E的事件，,为S的一个划分，,则,上式称为贝叶斯(Bayes)公式。,例1：有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两

21、个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。,解：,设A表示“从甲袋中取出一个白球”，,B表示“从乙袋中取出一个白球”，,所以所求概率为,例2：发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 及。由于通信系统受到干扰，当发出信号 时，收报台分别以概率0.8及0.2受到信号 及。又当发出信号,收报台分别以概率0.9及0.1受到信号 及。求当收报台受到 时，发报台确系发出信号 的概率。,解：,设A表示“发报台发出信号”，,B表示“收报台收到信号”，,则所求的概率为,例3：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而机器发生故障时，其合格率为55%。每天

22、早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？,解：,设A表示事件“产品合格”，,B表示事件“机器调整良好”。,则所求的概率为,这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0.97。这里，概率 0.95是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率。而在得到信息（即生产出的第一件产品是合格品）之后再重新加以修正的概率（即0.97）叫做后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。,例4：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，

23、则有 现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即 试求,解：,由贝叶斯公式得,说明：,表示试验结果呈阳性的被检查者确实患有癌症的可能性并不大。,我们还可计算得到：,表示试验结果呈阴性的被检查者未患癌症的可能性极大。,例 6 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,S,B1,B2,B3,A,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机的取一只晶体

24、管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。,解：设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,例6（续）,元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,全概率公式,贝叶斯公式,例6（续）,元件制造厂 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05,B1,B2,B3,A,例6（续）,例6（续）,课 外 习 题,第 24 页,11，12，13，,第六节 独立性,我们知道，在一般情况下,但在某些情况下，它们是相等的。,例如：,一口袋中有8只红球

25、和2只白球，从袋中连续地取两次球，每次取一只，然后放回。,若A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”。则,这里，A的发生不影响B发生的概率。,从直观上讲，这很自然。在这种场合可以说，A与B出现与否有某种“独立性”。,定义：,设A,B是两事件，如果满足等式,则称事件A,B相互独立，简称A,B独立。,易证，,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。,定理1：,设A,B是两事件，则有,定理2：,独立性的推广：,设A,B,C是三个事件，如果满足下列四个等式,则称事件A,B,C相互独立。,更一般地，,如果对于其中任意2个，任意3个，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称这n个

26、事件相互独立。,由定义，可以得到以下两个推论：,例1：电路由电池 A,B,C 如图构成。设电池 A,B,C 损坏与否是相互独立且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.2。求这电路的可靠性。,A,B,C,电路的可靠性是指电路能正常工作的概率。,解：,设 A,B,C 分别表示电池 A,B,C 正常工作这三事件,D 表示电路正常工作这一事件。,例2：设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为 1/3，击伤的概率为 1/2，击不中的概率为 1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。,解：,击不沉潜水艇的概率 P=,所以施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率为,例3.设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率；（2）求有一只蓝球一只白球的概率。（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。,解：,课 外 习 题,第 25 页,15，16，17,