概率与数理统计第一章.ppt

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1、概率论与数理统计,引言,为什么要学习概率论与数理统计？研究对象实际应用学习方法关于老师,在我们所生活的世界上，充满了不确定性,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.,A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重.,下面的现象哪些是随机现象？,生活中处处存在不确定性，我们把带有随机性、偶然性的现象称为随机现象。,概率论的研究对象 随机现象的统计规律性,?,当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的

2、某一个.,1.随机现象的特点?,在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性.或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.,?,2.随机现象是不是没有规律可言?,否！,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.,两个实验,投掷硬币实验新生儿性别实验,?,3.何为随机事件?随机事件有什么特点?,在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.,例：明天的最高气温小于30摄氏度。,特点：首先，随机事件的发生具有偶然性,在一次试验中，可能发生，也可能不发生.,其次，在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律性.,4.随机事件发生的可能性大小是人为的吗?,随机事件发生的可能性大小是不以人

3、们的意志为转移的,就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样.今后我们将用概率来度量随机事件发生可能性的大小.,否！,?,5.天有不测风云和天气可以预报有矛盾吗?,无!,“天气可以预报”指的是研究者从大量的气象资料来探索这些偶然现象的规律性.,“天有不测风云”指的是随机现象一次实现的偶然性.,?,从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律.,小 结,随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.,小 结,随机现象常常表现出这样或那样的统

4、计规律，这正是概率论所研究的对象.,下面我们开始学习，,概率论与数理统计,两部分内容：1.概率论的基本概念、定理及公式（重点）2.数理统计 研究怎样从大量的随机的看 似杂乱无章的数字中获得统计结果,学习概率论与数理统计的实用性,概率论与数理统计有广泛应用,(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；,(2).流水线上产品质量检验与质量控制；,(3).服务性行业中服务设施及服务员配置；,(4).生物医学中病理试验与药理试验；,(5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电 子产品寿命分析；,学习方法,转变思维模式：最重要不变随机变动多思考：每次课会给大家思考、练习的时间勤做练习：,关于老师,经济学院

5、：赵伟邮箱：电话：189-8040-9040,第一章 随机事件与概率,现实世界中存在的两类现象,一.确定性现象,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,“太阳每天从东边升起”,“同性电荷必然互斥”。,“水从高处流向低处”,引 言,二.不确定性现象或随机现象,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.,结果有可能出现正面也可能出现反面.,这类现象的特点是,即使在相同的条件下,每次试验所得的结果也会不相同,或者已知它过去的状态,它将来的发展状态仍然无法确定.,结果有可能为:,1,2,3,4,5,6.,实例3 抛掷一枚骰子

6、,观 察出现的点数.,实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发,观察弹落点的情况.,结果:弹落点会各不相同.,试验结果的不确定性,实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品、次品.,实例5 过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.,未来的不确定性,实例7 刘翔还能破世界纪录吗？,实例6 明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨.,主观的不确定性,有些事情即使已经发生了，但是在你知道结果之前，它们仍然具有不确定性。这种不确定性我们称之为主观不确定性。,实例8 硬币落地后虽然结果已经确定,但是在观察之前你还是无法确定硬币是正面还是反面朝上。,实例9 病

7、人得的病虽然已经是客观存在的事实,但是在确诊之前,在医生看来病人得的是什么病仍然有多种可能。,主观不确定性融入了观察者个人的信念.,n:抛掷硬币的次数;nH:正面朝上的次数；,著名的抛硬币试验,2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.,两点说明,1.1 基本概念,1.1.1 随机试验与事件,如果一个试验具有如下的共同特点:(1)可在相同的条件下重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,但是能事先明确

8、试验的所有可能的结果;(3)试验之前不能确定哪一个结果会出现.,则称满足该试验为随机试验.简称为试验.,定义1.1.1 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S=,S的元素,即E的一个可能的结果,称为样本点或基本事件.,E1:抛一枚硬币,观察正面H反面T的出现情况;,E2:抛一枚硬币两次,观察正面H反面T的出现情况;,E3:抛一枚硬币三次,观察正面H反面T的出现情况;,E4:掷一颗骰子,观察出现的点数;,E5:在家电仓库里随机地抽取一台电视机,测试它的寿命;,E6:记录某一天城市发生车祸的次数.,随机试验的例子,相应的样本空间,2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空 间

9、也不同.,例如 对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面 H、反面 T 出现的情况,则样本空间为,若观察出现正面的次数,则样本空间为,1.试验不同,对应的样本空间也不同.,几点说明,3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.,例如 只包含两个样本点的样本空间,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.,在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.,集合这一概念为我们搭建了从随机现象到数学的一座桥梁。,随机事件,把样本

10、空间的某个子集(具有某种特征的样本点组成的子集)称为“随机事件”,简称为“事件”.,以E5为例,如果电视机的寿命超过10000个小时被认为是合格品,则“所抽取的电视机是合格品”这一事件可以用S5的子集A=t:t 10000来表示.,例2中,“至少出现一次正面”这一事件可以表示成:,一般地,我们用英文字母表中前面的大写字母(可以带下标)表示事件,如用 A,B,C,A1,B3,D17等.,设A为随机事件,如果试验的结果属于A,则称事件A发生.即,样本空间有两个特殊的子集,一个是S本身,由于它包含了所有可能的结果,所以在每次试验中它总是发生的,我们将其称为必然事件;另一个子集是空集,它不包含任何元素

11、,因此在每次试验中都不发生,我们将其称为不可能事件.,1.1.2 事件间的关系与运算,由于事件是样本空间的一个子集,因此本节所涉及到的事件之间的关系与运算就是集合间的关系与运算,但是事件之间的关系与运算需要一套特别的语言来描述,并且熟悉这种特别的语言对本章及以后的学习起着非常重要的作用.,这一部分的重点就是能正确地将集合论中的符号翻译成概率论的语言.,1)符号:,这时我们称事件B包含了事件A.,若 同时,则称A与B相等,记为A=B.,S,B,2)符号:,集合论中的含义:,A或B,概率论中的含义:,事件 发生,事件A发生或事件B发生,事件A与事件B至少有一个发生,S,A,进一步推广,3)符号:或

12、 AB,集合论中的含义:,概率论中的含义:,事件 发生,S,A,B,AB,进一步推广,例1.1.1 设有n座桥梁如下图所示串联而成,用A表示事件“L至R是通路”，Ai表示“第i座桥梁是畅通的”(i=1,2,n),则有,如果这n座桥梁如下图所示是并联而成的，,则有,4)符号:,集合论中的含义:,概率论中的含义:,S,A,B,5)符号:,或,集合论中的含义:,概率论中的含义:,S,6)符号:,集合论中的含义:B是A的补集,即有,且,概率论中的含义:事件A与B有且只有一个发生.,称 为事件A的逆事件或对立事件,S,B,有以下公式成立,7）事件的运算规律,交换律：,结合律：,德.摩根律：,例1.1.2

13、 设A,B,C为三个事件,则,1)事件A与B发生而C不发生可以表示为,2)A,B,C至少有两个发生可以表示为,3)A,B,C恰好发生两个可以表示为,4)A,B,C中有不多于一个发生可以表示为,例1.1.3 如图所示的系统中,设A,B,C分别表示元件a,b,c能正常工作的,D为整个系统能正常工作,则有,该例表明,在实际问题中,事件之间相互关系的确定有时不必直接借助于集合,而只须从概率论本身的含义出发即可.,1.2 频率与概率,研究随机现象不仅要知道可能出现哪些事件,还要知道各种事件出现的可能性的大小.我们把衡量事件发生可能性大小的数量指标称作事件的概率.事件A的概率用P(A)来表示.,问题:对于

14、一个给定的随机事件,衡量它发生可能性大小的数量指标概率,是如何确定的？,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,各做7 遍,观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大,频率 f 呈现出稳定性,频率具有如下的特点:,1.频率的大小在一定程度上能客观反映事件发生可能性的大小,频率大则发生的可能性也应该大;反之,频率小则发生的可能性也小.,2.频率有一定的随机波动性.比如当抛投硬币的次数不同时得到的频率常常会不一样,事实上,有时甚至投同样多次硬币可能也会得到不同的频率,这样就使频率缺乏科学度量单位所具有的客观性.,3.当试验的次数逐渐增多时,频率又具有稳定性，它反映了概率的客观性.

15、,频率具有如下性质:,1）非负性 任意事件A的频率非负:,2）规范性 必然事件S 的频率为1:,3）有限可加性 若 是一组两两不相容的事件,则有,因为频率的本质是概率,因此频率所满足的这三条性质同时也必须是概率具有的性质.做适当的推广后可以得到概率的公理化定义.,1.2.2 概率的公理化定义,1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.,注:在历史上,对概率的理解一直存在着各种不同看法,比如有从频率的角度来理解,也有从主观信念的角度来理解的(如贝叶斯学派的主观概率),等等,但是不论从哪个角度来理解概率这个概念,大家都承认上面三条是概

16、率必须满足的最基本的性质.这三条性质就像公理一样已被数学家们所普遍接受.因此,上面的定义又被称为概率的公理化定义.,概率的性质,证 令,则,且,于是由可列可加性，有,由于,故由上式知,性质2.（有限可加性）若 是一组两两不相容的事件,则有,证 利用可列可加性及性质1,令,则有,性质3,证 由于,再由概率的规范性和有限可加性,得,移项后即证.,性质4 设,则有,证 由,及,知,移项后即得,由概率的非负性，即得下面的推论,注：一般的，有,推论（单调性）若,则有,B,A,AB,由,可得,解设Ak=取出的m个球的最大号码为k,则有,概率论所讨论的问题中,有一类问题最简单直观,这类问题所涉及到的试验具有

17、下面两个特征：,1)试验的样本空间的元素只有有限个;,2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.,把具有上述两个特征的试验称为等可能概型或古典概型.例如,抛一枚质地均匀的硬币,或者出现正面或者出现反面,只有两种结果,且每种结果出现的可能性相同.又如抛一颗骰子,观察出现的点数,则共有6种结果,且每一种结果出现的可能性相同。,1.3 等可能概型,因此,要计算任何一个事件的概率,关键是要计算样本空间所含的基本事件数n和该事件所含的基本事件数k.,计算公式,例1.3.4 将一枚硬币抛掷三次.(1)设事件A1为“恰有一次出现正面”,求P(A1);(2)设事件A2为“至少有一次出现正面”,求P(A2).,解

18、（1）样本空间为,而,故 n=8,k=3,于是,（2）由于,于是有,例1.3.5 将n只球随机地放入 个盒子中去,试求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子的容量不限）,解 将n只球放入N个盒子中去,每一种放法是一基本事件.易知,这是古典概率问题,因每一只球都可以放入N个盒子中的任一个盒子,故共有,种不同的方法,而每个盒子中至多放一只球的放法共有,种不同的方法,故所求的概率为,关于本例题的说明：有许多问题都可归结为本例的数学模型,比如生日问题.假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,那么随机选取n(n365)个人,他们的生日各不相同的概率为,至少有两个人的生日相同的概率为,经计算可得下述

19、结果：,例1.3.6（抽签问题）箱中装有a个白球和b个黑球,现从中任意地取球,每次取一球,取后不放回,求第s(1sa+b)次取出的球是白球的概率.,解 设想把取出的球依次放在排列成一直线的a+b个位置上,则箱内a+b个球中的任一个放在第s个位置都是等可能的，因此第s个位置上共有a+b中可能，而在该位置放白球则有a种可能性。设A=第s次取出的是白球,则所求的概率为,该例的结果表明,抽签结果是与抽签顺序无关的。,上式即所谓超几何分布的概率公式。,续例四,因为,所以,即,或,令,则,例1.3.8某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有

20、规定的？,解 假设接待时间是没有规定的，那么各来访者在一周7日中去接待站是等可能的，均为1/7。那么这12次接待恰好都在周二和周四的概率为,由实际推断原理，小概率事件在一次试验中是不会发生的，而现在居然发生了，因此有理由怀疑原来假设的正确性，即认为接待时间是有规定的。,非常小！,解 令 X正=甲掷出的正面次数,X反=甲掷出的反面次数,Y正=乙掷出的正面次数,Y反=乙掷出的反面次数,因为硬币是均匀的，由对称性知,由此即得,因为,，,所以由加法公式，所求的概率为,作 业,P25 1，2,5.P26 8，9,10,性质6（加法公式）对于任意两个事件A,B有,证 因为,再由性质2,3,有,该性质可推广

21、到多个事件的和：,上述公式有时又被称为多除少补原理。,所以,1.4 条件概率,1.4.1条件概率的定义,问题：一个家庭有两个孩子，已知其中有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？,分析：一个家庭有两个孩子的所有可能结果为：,所以，有,在该例中，如果不知道事件A已经发生的信息，那么事件B发生的概率为,上述条件概率还可以写成,古典概型的情形,这个关系具有一般性，即条件概率是两个无条件概率之商。这就是下面的定义。,条件概率的定义,由于是不放回抽样,所以有,由定义,性质1.4.1 条件概率也是概率,概率所具有的性质和满足的关系式，条件概率仍然具有和满足,1.4.2 乘法定理,利用条件概率的定义，可

22、直接得到下面的乘法定理,乘法公式的直观解释,则所求的概率为,例1.4.4 已知某厂家的一批产品共100件,其中有5件废品,但是采购员并不知道有几个废品.为慎重起见,他对产品进行不放回的抽样检查,如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品,则他拒绝购买这一批产品.求采购员拒绝购买这批产品的概率.,解 设,则有,从而,从而，由概率的乘法公式，有,于是,例1.4.5 袋中有一个白球及一个黑球,一次次地从袋中取球.如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止.求取了n次都没有取到黑球的概率.,解 设,则有,从而由乘法公式,有,1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式,由全概率公式，有,并且

23、,由全概率公式，有,并且,证明 由条件概率的定义和全概率公式得,贝叶斯公式,解 设 A=取到的是一只次品,Bi=所取产品是由第i家工厂提供,显然，B1,B2,B3是样本空间的一个划分,(1)由全概率公式,(2)由贝叶斯公式,同理,例1.4.9对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%.每天早上机器开动时,机器调整得良好的概率为75%.试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少？,解 设 A=产品是合格品,B=机器调整得良好,由题意,机器本身是否处于调整得良好的状态是一个客观给定的事实，但是由于我们所获得的经

24、验信息的不同，而对其处于什么样状态的概率得到了不同的数值，即先验概率和后验概率，可以认为它们反映了试验前后人们对机器状态的一种主观信念,先验概率与后验概率,解 由贝叶斯公式,有,一个不懂概率的人可能会这样推理，由于没患精神分裂症的人被CAT扫描诊断为脑萎缩的机会才2%，因此如果某人已经被CAT扫描诊断为脑萎缩，那么他患有精神分裂症的概率应该很大。然而，由于在美国人口中患有精神分裂症的比例极小，再加上检验方法也不是很完善，因此很多人可能是因为别的原因或疾病而被诊断为脑萎缩。但是如果在做CAT扫描之前，医生通过听其言观其行就已经有50%的把握将其诊断为精神分裂症患者（即先验概率为0.5），那么此时

25、如果通过CAT扫描显示为脑萎缩，则由贝叶斯公式，其患有精神分裂症的后验概率就达到了93.75%,例1.4.11 伊索寓言“狼来了”的贝叶斯分析,设A=小孩说谎，B=小孩可信，不妨设村民过去对这个孩子的印象（先验概率）为,村民在第一次被骗（A发生）以后，认为小孩可信程度（后验概率）调整为,于是村民认为小孩的可信程度从原来的0.8调整为0.444，即,信念的进一步调整,在此基础上，如果孩子再一次撒谎，则村民对他的可信程度会进一步调整为,问题：如果这个孩子再喊“狼来了”，村民们还会相信吗？,1.6 独立性,事件的独立性是概率论中最重要的概念之一.那么什么是事件的独立性呢？,所谓两个事件A与B相互独立

26、,直观上说就是它们互不影响,说得更明确一点，就是事件A发生与否不会影响事件B发生的可能性,事件B发生与否不会影响事件A发生的可能性,用数学式子来表示,就是,且,但是上面两式分别要求A与B的概率大于零，考虑到更一般的情形，给出如下的定义.,定义1.6.1 设A、B是两个事件，如果成立等式,则称事件A与事件B相互独立.,由定义知，概率为零的事件与任何事件独立.,1.6.1 事件的独立性,事件之间相互独立与事件之间互不相容是两个完全不同的概念.事实上,由定义可以推知，如果两个具有正概率的事件是互不相容的,那么它们一定是不独立的,反之,如果两个具有正概率的事件是相互独立的,那么这两个事件不可能互不相容

27、.,两个概念之间的区别,证明 由概率的性质知,由A与B的独立性知,所以,类似地可证其余结论.,因此，概率为1的事件与任何事件相互独立。,定义1.5.2 设A,B,C为三个事件，如果如下四个等式,则称事件A,B,C相互独立.,多个事件的相互独立性,注:定义中前面三个等式只说明这三个事件是两两相互独立的,但是由此并不能将第四个等式推导出来.,则,故有,但是,当我们考虑多个事件之间是否相互独立时,除了必须考虑任意两事件之间的相互关系外,还要考虑到多个事件的乘积对其它事件的影响.,注:由定义要判定n个事件是否相互独立，需要验证,个等式在实际问题中,独立性是根据实际意义来判断的,然后利用独立性来计算事件

28、乘积的概率的.,证明 因为,两个结论,(1)由独立性和加法公式,所求的概率为,(2)所求的概率为,例1.5.4设有电路如图所示,其中1,2,3,4为电子元件.设各电子元件的工作是相互独立的,且每一电子元件正常工作概率均为p.求L至R的系统正常工作的概率.,例1.5.5 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?,由事件的独立性可得,证 记,则,此例说明,虽然小概率事件在一次试验中不太可能发生,但在不断重复该试验时,它迟早会发生.人们常说的“智者千虑,必有一失”,“多行不义必自毙”等讲的就是这个道理.因此,在大数次的试验中不能忽略小

29、概率事件,这或许就是“不怕一万，就怕万一”的含义所在.,小概率事件迟早会出现,1.5.2 伯努利概型,下面我们用事件的独立性来讨论伯努利概型这一在经典概率论中占据重要地位的模型.,伯努利试验是一种很基本的概率模型,一个n重伯努利试验的结果或基本事件可以记作,设,则有如下的重要公式,故由题意，至少出现一次的概率为,1)用符号表达相关的事件；2)找出事件之间的相互关系,并用符号表示；3)利用概率的性质或公式计算所求的概率.,本章的基本解题步骤,且,于是由独立性，有,补充例题1 甲、乙、丙三人同时向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.如果只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2,

30、如果有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;如果三人都击中,则飞机一定被击落,求飞机被击落的概率.,解 设A=飞机被击落 Bi=飞机被i个人击中，i=0,1,2,3，A1,A2,A3分别表示飞机被甲,乙,丙击中.于是,有,显然,B0,B1,B2,B3构成必然事件的一个划分,于是由全概率公式,得,由题意知,而由A1,A2,A3的独立性,可算得,同理,故,补充例题2 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽两份.1)求先抽到的一份是女生表的概率p；2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率

31、q；,解 设,则,因为抽签结果与顺序无关，故有,1）由全概率公式，得,2）后抽到的一份是男生表的概率为,又,故由全概率公式,因此,趣味例题 在一著名的电视游戏节目里,台上有三扇门,记为A,B,C,其中二扇门后面没有奖品,而第三扇门后有大奖.如果你能准确地猜到哪扇门后有大奖,则你就赢得此大奖.节目开始后,你选择了某扇门,比如A,在门A被打开之前,节目主持人打开了另外两扇门中的一扇,比如B,发现门后什么也没有.,问题:如果此时改变原来的决定而选择C门,会不会增加获奖的概率?,解 做如下两个假设:,1)如果B门和C门中有一个门后有大奖,则节目主持人打开后面没有大奖的的那一扇门;,2)如果B门和C门后都没有大奖,则节目主持人随便选一扇门打开.,用A,B,C分别表示大奖在门A,B,C后,假定原来选择的门是A门.,B*=节目主持人向大家展示门B后无大奖,由于A,B,C是样本空间的一个划分,且,故由贝叶斯公式,有,所以，改变原来的决定而选择C门,会增加获奖的概率！,