《高等代数》PPT课件.ppt
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1、高等代数课件,第五章 向量空间,5.1 向量空间的定义5.2 向量的线性相关性5.3 基维数和坐标5.4 子空间5.5 向量空间的同构,5.1 向量空间的定义,一、向量空间概念的引入二、向量空间的定义三、向量空间的例子四、向量空间的基本性质,一、向量空间概念的引入,例1 设C是复数集合,R是实数域,对C中任意两个数a和b,有a+bC,对任意的kR,kaC.并且复数集合C对数的加法和乘法运算,满足下面的运算律:1)a+bb+a;2)(a+b)+ca+(b+c);3)0+aa;4)对任意aC,存在bC,使a+b0;5)k(a+b)ka+kb;6)(k+l)aka+la;7)(kl)ak(la);8
2、)1aa.这里a,b,c是任意复数,k,l是任意实数。,例2 在平面上建立直角坐标系后,把从原点出发的一切向量组成的集合记为V2.对V2中任意向量X和Y,用平行四边形法则,有X+YV2.对任意实数k以及V2中任一向量X,有kXV2.并且对任意的X,Y,ZV2,a,bR,有 1)X+YY+X;2)(X+Y)+ZX+(Y+Z);3)0+XX,其中0是V2中的零向量;4)对任意XV2,存在Y,使X+Y0,其中Y是X的负向量;5)a(X+Y)aX+aY;6)(a+b)XaX+bX;7)(ab)Xa(bX);8)1XX.,例3 设Fn x是次数不超过n的系数在F中的多项式连同零多项式组成的集合.对任意两
3、个多项式f(x),g(x)Fn x,f(x)+g(x)Fn x.又对F中的任意数k,kf(x)Fn x.并且,对Fn x中任意多项式f(x),g(x),h(x)及F中任意数a,b,有,1)f(x)+g(x)g(x)+f(x);,2)f(x)+g(x)+h(x)f(x)+g(x)+h(x);,3)0+f(x)f(x),0是Fn x中的零多项式;,4)对任意f(x)Fn x,存在g(x),使f(x)+g(x)0;,5)a(f(x)+g(x)a f(x)+ag(x);,6)(a+b)f(x)af(x)+bf(x);,7)(ab)f(x)a(bf(x);,8)1f(x)f(x).,例4 设Mmn(F)
4、是数域F上全体mn矩阵的集合,对任意的A,BMmn(F),A+B Mmn(F),对任意的k F,kA Mmn(F).并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a,b,有,1)A+B=B+A;,2)(A+B)+C=A+(B+C);,3)0+A=A;,4)对任意的A Mmn(F),存在B,使得A+B=0;,5)a(A+B)=aA+aB;,6)(a+b)A=aA+bA;,7)(ab)A=a(bA);,8)1A=A.,上面例子中涉及的数学对象不同,但它们有共同点,即都有一个非空集合,一个数域,有两种运算,并且这两种运算满足8条运算律。,例 1:C,R a+b,ka 例 2:V2,R X+Y,kX
5、 例 3:Fnx,F f(x)+g(x),kf(x)例 4:Mmn(F),F A+B,kA,-,1)+=+;2)(+)+(+)3)0+=4)对任意,存在,使得+=0,称为的负元素;5)a(+)=a+a;6)(a+b)=a+b;7)a(b)=(ab);8)1=.,二、向量空间的定义,定义1 设V是一个非空集合,F是一个数域.我们把V中的元素用小写希腊字母,,来表示,把F中的元素用a,b,c,来表示.如果下列条件被满足,就称V是F上的一个向量空间:1 V有一种加法运算.即对V中任意两个元素和,在V中有一个唯一确定的元素与之对应,称为与的和,记为.2 有一个F中元素与V中元素的乘法运算.即对于F中的
6、任意数a和V中的任意元素,在V中有一个唯一确定的元素与之对应,称为a和的数量积,记为a.,3 上述加法和数量乘法满足下列运算规律:1)=;2)()();3)在V中存在一个元素0,使得对于任意V,都有 0=,(具有这个性质的元素0称为V的零元素);4)对于V中的每一个元素,存在V中的元素,使得 0,(具有这个性质的元素叫做的负元素);5)a()=a a;6)(a+b)=a b;7)(ab)=a(b);8)1=.这里,是V中的任意元素,a,b是F中的任意数.,例5 令C a,b为闭区间a,b上所有实连续函数的集合,R为实数域。则C a,b对函数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数域R上的向量空间.
7、,三、向量空间的例子,由例1、例2、例3、例4及向量空间的定义知,复数域C作成实数域R上的向量空间;V2作成实数域R上的向量空间;Fnx 作成数域F上的向量空间;Mmn(F)作成数域F上的向量空间。,例6 设V为正实数集,R为实数域,在V中规定加法和数量乘法运算如下:=(即与的积)k=k(即的k次幂)其中,V,kR.对任意的,V,kR,有=V,=k V.,并且,对任意的,V,k,m R,有,5)k()=k()=()k=k k=k k;,4)对任意的 V,存在-1 V,使得-1=-1=1,-1是的负向量.,1)=,2)()=()=()=()=()=(),3)I=1=,1是V中的零向量;,6)(k
8、+m)=k+m=km=k m,7)(km)=km=(m)k=k m=k(m),8)1=1=.,所以,v对我们定义的加法和数乘运算作成数域R上的向量空间.,例7 令V是次数等于n的全体实系数多项式组成的集合.因为两个n次多项式的和未必是n次多项式.例如,f(x)xn1,g(x)xn+x,则f(x)g(x)=x-1,不再是n次多项式.所以在多项式的加法及数与多项式的乘法运算下,V不是实数域R上的向量空间.,例8 任意数域F总可以看成它自身上的向量空间.例9 实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上的一个向量空间.二.性质 命题5.1.1 在一个向量空间V中,零向量是唯一的;对于V中的每一向量,的
9、负向量是由唯一确定的.的负向量记作.命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:0=0,a0=0.a()=(a)=a.a=0a=0 或=0.,三.约定,设V是数域F上的一个向量空间.如果a是F中的一个数,是V中的一个向量,我们约定 a=a.设1,2,n,是V中的n个向量,以它们为元素写成一个1n矩阵(1,2,n).再设A是F上的一个nm阶矩阵.则我们可以像普通矩阵的乘法一样,将(1,2,n)和A相乘,但是(1,2,n)A的结果是一个以向量为元素的矩阵,即:(1,2,n)A=(1,2,m)其中:可以证明:(1,2,n)(AB)=(1,2,n)A)B.,5.2 向量的线性相关性,定义1 设1,2,
10、r是向量空间V中的r个向量,对于数域F中的任意r个数a1,a2,ar,我们把a11+a22+arr称为1,2,r的一个线性组合.如果向量等于向量1,2,r的某个线性组合,则称可以由1,2,r线性表示.定义2 设1,2,r是向量空间V中的r个向量,如果存在数域F中的r个不全为零的数a1,a2,ar,使得a11+a22+arr=0,则称1,2,r线性相关.否则称1,2,r线性无关.例1 F3中的向量1=(1,2,3),2=(2,4,6),3=(3,5,4)线性相关.例2 判断F3中的向量1=(1,2,3),2=(2,1,0),3=(1,7,9)是否线性相关.例3 在向量空间Fx中,对任意非负整数n
11、,向量1,x,xn都线性无关.,命题5.2.1 向量组1,2,r中每一向量i都可由这一组向量线性表示.命题5.2.2 向如果向量可由1,2,r线性表示,而每一i又可由1,2,s线性表示,那么可由1,2,s线性表示.命题5.2.3 如果向量组1,2,r线性无关,则它的任意一部分也线性无关.等价地,如果向量组1,2,r有一部分线性相关,则整个向量组1,2,r线性相关.命题5.2.4 如果向量组1,2,r线性无关,而向量组1,2,r,线性相关,则一定可以由1,2,r线性表示.定理5.2.5 向量1,2,r(r1)线性相关的充要条件是其中存在一个向量是其余向量的线性组合.定义 3 设1,2,r和1,2
12、,s是两个向量组.如果每一个i都可1,2,s由线性表示,每一个i也都可由1,2,r线性表示,则称这两个向量组等价.向量组的等价具有自反性,对称性和传递性.,例4 向量组1=(1,2,3),2=(1,0,2)与1=(3,4,8),2=(2,2,5),3=(0,2,1)等价.定理5.2.6(替换定理)设向量组1,2,r线性无关,并且每一i都可由向量组1,2,s线性表示.那么必有rs,并且必要时对1,2,s重新编号,使得用1,2,r替换1,2,r后所得向量组1,2,r,r+1,s与1,2,s等价.推论5.2.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.定义 4 向量组1,2,n一个部分向量组
13、称为一个极大线性无关部分组(简称极大无关组),如果(i)线性无关;(ii)每一都可以由线性 表示.推论5.2.8 两个等价的向量组极大无关组含有相同个数的向量.特别地,一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.,5.3 基、维数、坐标,一.基二.维数三.关于基和维数的几个结论四.坐标五.过渡矩阵及向量在不同基下坐标的关系六.过渡矩阵的性质,一.基的概念,定义1 设V是数域F上的一个向量空间,V中满足下列条件的向量组1,2,n叫做V的一个基.(i)1,2,n线性无关;(ii)V的每一个向量都可以由1,2,n线性表示.例3 由例1已知1,2,n是Fn的一组生成元.它也是线性无关的.因此1,
14、2,n是Fn的一个基.称其为Fn的标准基.例4 在空间V2中,任意两个不共线的向量1,2都构成它的一个基.在空间V3中,任意三个不共面的向量1,2,3都构成它的一 个基.例5 令M是数域F上的一切mn矩阵所成的向量空间.Eij表示一 个mn矩阵,除第i行第j列的的元素是1外它的其余元素都是0.则所有这些Eij(i=1,2,m,j=1,2,.n,共 mn 个)是M的一个基.,二.维数的定义,如果一个向量空间由有限个向量生成,它的基可能不只一个.但是由于所有的基都是等价的,且每一基都是线性无关的.因此由推论可知一个向量空间的任意两个基所含的向量的个数都相等.因此我们可以有如下定义 定义2 设V是一
15、个由有限个向量生成的非零向量空间,它的基所含向量的个数叫做V的维数.零空间的维数定义为0.如果一个向量空间不能由有限个向量生成,则称这个向量空间是无限维的.向量空间V的基记作dimV.例6 Fx作为F上的向量空间不是有限生成的,因而是无限维的.,三.关于基和维数的几个结论,定理5.3.2 如果1,2,n是向量空间V的一个基,那么V的每一个向量都可以唯一地表示成1,2,n的线性组合.定理5.3.3 设V是一个n维向量空间且rn,则V中任意r个向量都是线性相关的.定理5.3.4 设1,2,r是n维向量空间V中的一组线性无关的向量,那么总可以添加nr个向量r+1,n使得1,2,r,r+1,n 构成V
16、的一个基.特别地,n维向量空间V中任意n个线性无关的向量都构成V的一个基.定理5.3.5 如果W1和W2是向量空间V的两个有限维子空间,那么 W1+W2也是有限维的,且dim(W1+W2)=dimW1+dimW2dim(W1W2).,四.坐标,设V是数域F上的n(n 0)维向量空间,1,2,n是V的一个基,则V中的任一向量都可以唯一地表示成=x11+x22+xnn.因此取定V的一个基1,2,n后,V中每一向量都有唯一的n元数列(x1,x2,xn)与它对应.数xi叫做向量关于基1,2,n的第i个坐标.(x1,x2,xn)叫做向量关于基1,2,n的坐标.例1 取定V3中三个不共面的向量,那么V3中
17、的任一向量都可以唯一地表示成=x11+x22+x33.关于基1,2,3的坐标就是(x1,x2,x3).例2 Fn的向量=(a1,a2,an)关于标准基1,2,n的坐标就是(a1,a2,an).定理5.3.8 设V是数域F上的n(n 0)维向量空间,1,2,n是V的一个基,V,它们关于基1,2,n的坐标分别是(x1,x2,xn)和(y1,y2,yn).那么+关于这个基的坐标就是(x1+y1,x2+y2,xn+yn).再设aF,则a关于这的基的坐标是(ax1,ax2,axn).,五.过渡矩阵及向量在不同基下坐标的关系,设1,2,n和1,2,n是n(n 0)维向量空间V的两个基.那么j可以由1,2,
18、n线性表示:其中(a1j,a2j,anj)就是关于基1,2,n的坐标.以这n个坐标为列作一个矩阵矩阵T叫做由基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵.利用第一节中的约定,我们知道这两个基之间的关系是:(1,2,n)=(1,2,n)T.,设V,它关于基1,2,n和1,2,n的坐标分别是(x1,x2,xn)和(y1,y2,yn).则有比较上面两个等式可得 定理5.3.9 设V,它关于基1,2,n和基1,2,n的坐标分别是(x1,x2,xn)和(y1,y2,yn).从基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵是T,则有,例3 设1,2是V2的两个正交单位向量,则它构成V2的一个基.1,2分别是由1,2旋转角得
19、到的两个向量,则它们也构成V2的一个基.我们有因此从1,2到1,2的过渡矩阵是设的一个向量关于1,2和1,2的坐标分别是x1,x2到x1,x2,则由定理得:即这就是解析几何中旋转坐标轴的坐标变换公式.,1,1,2,2,O,六.过渡矩阵的性质,设从基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵是A,从基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵是B,则从基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵是AB.定理5.3.10 设在n(n 0)维向量空间V中从基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵是A,则A是一个可逆矩阵,并且从基1,2,n 到基1,2,n的过渡矩阵是A1.任何一个可逆矩阵都可以作为n(n 0)维向量空间中从一个
20、基到另一个基的过渡矩阵.例 4 已知R3中的向量 1=(2,1,3),2=(1,0,1),3=(2,5,1),证明1,2,3构成R3的一个基,并求向量=(4,12,6)关于这个基的坐标.例 5 已知R3的两个基1=(3,1,2),2=(1,1,1),3=(2,3,1),1=(1,1,1),2=(1,2,3),3=(2,0,1).求从1,2,3到1,2,3的过渡矩阵.,5.4 子空间,封闭性 设V是数域F上的一个向量空间,W是V的一个非空子集.如果W中任意两个向量的和仍是W中的向量,则称W对于V的加法是封闭的;如果F中的任意一个数与W中的任意一个向量的积仍是W 中的一个向量,则称W对于V的纯量乘
21、法是封闭的.定理5.4.1 设V是数域F上的一个向量空间,W是V的一个非空子集.如果W对于V的加法及纯量乘法是封闭的,那么W本身也是F上的一个向量空间.定义1 设V是数域F上的一个向量空间,W是V的一个非空子集.如果W对于V的加法及纯量乘法是封闭的,则称W是V的一个子空间.例1 向量空间V是其自身的一个子空间.仅由零向量构成的集合0也V的一个子空间,称其为零空间.一个向量空间本身和零空间叫做V的平凡子空间.V的非平凡子空间叫做V的真子空间.,例2 在空间V2中平行于一条固定直线的向量构成V2的一个子空间.在空间V3中平行于一条固定直线或一个固定平面的向量分别构成V3的子空间.例3 在Fn中一切
22、形如(a1,a2,an1,0)的向量构成Fn的一个子空间.例4 Fx中一切次数不大于给定整数n的多项式连同零多项式一起构成Fx的一个子空间.例5 闭区间a,b上的所有可微函数的集合构成Ca,b的一个子空间.定理5.4.2 向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间,当且仅当对于a,bF,W,都有a+bW.子空间的交与和 设W1,W2是向量空间V的两个子空间,则W1 W2及W1+W2=1+2|1W1,2W2也V的子空间,分别称为子空间W1 与W2的交与和.有限个子空间的交仍是子空间,有限个子空间的和仍是子空间.,生成元、生成子空间,设V是数域F上的一个向量空间,1,2,nV.容易证明,1,2,n
23、 的一切线性组合所成的集合是V的一个子空间.我们把这个子空间称为由1,2,n生成的子空间,记作L(1,2,n).把1,2,n称为这个子空间的一组生成元.例1 考虑Fn中如下n个向量:i=(0,0,1,0,0),i=1,2,n,i中除第i个元素是1外其余位置的元素都是0.这n个向量是Fn的一组生成元.例2 考虑Fx中,由多项式1,x,xn生成的子空间是:L(1,x,xn)=a0+a1x+anxn|aF这就是Fx的一切次数不大于n的多项式连同零多项式构成的子空间.定理5.5.1 1,2,n是一组不全为零的向量,是他的一个极大线性无关组,则L(1,2,n)=L().,余子空间、子空间的直和,定义2
24、设W1和W2是向量空间V的两个子空间,如果(i)W1+W2=V;(ii)W1W2=0;则称W2是W1的余子空间,W1是W2的余子空间.此时也称V是W1与W2的直和,并记作V=W1W2.定理5.3.6 设向量空间V是W1与W2的直和,那么V中每一向量都可以唯一地表示成=1+2,其中1 W1,2 W2.定理5.3.7 n维向量空间V的每一子空间W都有余子空间.如果W是W的余子空间,那么n=dimV=dimW+dimW.,5.5 向量空间的同构,定义 1 设V和W是数域F上的两个向量空间.V到W的一个映射f叫做一个同构映射,如果(1)f是V到W是的双射;(2)对于任意,V,f(+)=f()+f();
25、(3)对于任意aF,V,f(a)=af().如果数域F上的两个向量空间V和W之间可以建立一个同构映射,则称W与V同构,数记作.定理5.5.1 数域F上的任一n维向量空间都与Fn同构.,定理5.5.2 设V和W是数域F上的两个向量空间,f是V到W的一个同构映射.那么:(i)f(0)=0.(ii)对任意V,f()=f().(iii)对任意iV,aiV,i=1,2,n,都有:f(a11+a22+ann)=a1f(1)+a2f(2)+anf(n).(iv)1,2,n V线性相关f(1),f(2),f(n)W线性相关.(v)f的逆映射f1是W到V的同构映射.定理5.5.3 数域F上的两个有限维向量空间同
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