函数极值与最值研究毕业论文.docx

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1、函数极值与最值研究毕业论文函数极值与最值研究 摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函

2、数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等， 关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧 Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems.

3、Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc. For t

4、wo yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc.Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc. For multivariate function, due to the increased number of 第 1 页 共 1

5、 页 variables,so that the more complicated the problem, find the function extreme value method mainly has: conditional extremum of multivariate Lagrange method, directional derivative, for multivariate function most value the most value problem with the function of one variable can be used to find th

6、e function extreme value is similar. The main methods are: vector method, the mean value inequality method, substitution, elimination method, the method of Cauchy inequality, the combination method, Keywords: function, extreme value, the value, extreme points, methods and techniques 引言 作为函数性质的一个重要分支

7、和基本工具，函数极值和最值在数学与其他科学领域，如数学建模优化问题、概率统计等学科都有广泛应用。 不仅如此，函数极值理论在航海、保险价格策划、航空航天等众领域中也是最富变现性和灵和性，并起着不可替代的数学工具作用，许多实际问题最终都归结为函数极值和最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的方式，表示为函数形式，而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其他学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的

8、展开有很大的促进作用。函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们做一些简单的归纳，研究函数的极值和最值，诠释一些方法和技巧，并附上具体的例子加以说明，让我们明白函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！ 第 2 页 共 2 页 目录 摘要. 引言. 1 函数极值. 1.1 极值概述. 1.2 极值判断条件. 1.3 极值应用实例. 1.4 求极值思想方法总结. 2 函数最值. 2.1 函数最值概第

9、 3 页 共 3 页 述. 2.2 函数最值求法. . 2.3 求函数最值思想方法总结. 学习心得.(17) 致谢辞.(18) 附录. (19) 附录一 组员名单. (19) 附录二 开题报告. (20) 参考文献. 1 函数极值 第 4 页 共 4 页 1.1 极值概述 1.1.1 函数极值的引入 什么叫极值？在诠释这个概念之前我们引入一个定理费尔马定理，下面给出他的定义： 若函数y=f(x)在x0的某邻域U(x0)内满足： xU(x0),f(x)f(x0) 则称函数y=f(x)在x0点取极大值f(x0)，x0点称为极大值点 若函数y=f(x)在x0的某邻域U(x0)内满足： xU(x0),

10、f(x)f(x0) 则称函数y=f(x)在x0点取极小值f(x0)，x0点称为极小值点 极大值与极小值统称为极值，极值是函数的局部性质，即在某邻域U(x0)内作比较而获得，而且曲线在极值点的切线是一条水平线如图，这就是费尔马定理 y 图 O x0x 费尔马定理简单的描述就是：若函数y=f(x)在x0点的某领域U(x0)内有定义，且在x0点可导，则x0点为极值点f(x0)=0他的实第 5 页 共 5 页 质就是可导与极值点的必要条件是稳定点，但非充分。 1.1.2 一元函数的极值 定义：若函数y=f(x)在x0点可导，则有费尔马定理，x0点为极值点f(x0)=0，而此时f(x0)就是所谓的极值。

11、而f(x0)是极大值还是极小值呢？现在从图2可以得到如下结论 (1)在(x0-d,x0)内，f(x)0；在(x0,x0+d)内f(x)0时，此时f(x0)为极小值 (2)在(x1-d,x1)内，f(x)0；在(x1,x1+d)内f(x)0时，此时f(x1)为极大值 y x x0 x1 O 图 1.1.3 二元函数的极值 定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内有定义，对于该领域内异于(x0,y0)的点(x,y)，若满足不等式f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)有极小值，极大值和极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点。 1.2 极值判别条件 1.2.1 一

12、元极值判别条件 (1)必要条件：费尔马定理 (2)充分条件 .第一充分条件 设函数y=f(x)在x0点连续，在邻域(x0-d,x0)和(x0,x0+d)内可导，则 (i)在邻域(x0-d,x0)上，f(x)0，在邻域(x0,x0+d)上，f(x)0，第 6 页 共 6 页 x0为极大点，f(x)在x0处取得极大值。 (ii)在邻域(x0-d,x0)上，f(x)0，x0为极小点，f(x)在x0处取得极小值。 由导数的符号可知函数的单调性，故结论成立。一般地，用极值的充分条件判别极值点时，常用列表法。 .第二充分条件 设函数y=f(x)在x0点的某邻域U(x0,d)内一阶可导，在x=x0点二阶可导

13、，且f(x0)=0，f(x)0，则f(x0)0x0为极小值点， f(x0)0x0为极小值点，2ff(x0)+o(1f(x0)0时具有极值，当时具有极大值，当时具有极小值； (ii)AC-B20,所以x=6为极小点，极小值f(6)=108. 2x如果f(x0)=0,则f(x0)0时，函数f(x)在x0点不能取到极值，当x=6,又f(x)=2+f(x0)=0,f(4)(x0)0时，可以四阶导数的符号来判别极值点，方法同第二判别法。1.3.3 极值的第一充分条件和极值的第二充分条件 例1.3.3 求函数f(x)=x4(x-1)3的极值点和极值。 解:f=x3(x)(x-1)2(7x-4),令f(x)

14、=0得x=0,1, 47第 8 页 共 8 页 f(x)=6x2(x-1)(7x2-8x+2),得4446912f(1)=0,f0,f(0)=0所以x=为极小点，极小值为f=-,又777823543f(x)=6x(35x3-60x2+30x-4),有f(0)=0,f(1)0,所以x=1非极值点;再f(4)(0)0,所以x=0为极大点，极大值为f(0)=0. 1.3.4 极值的第一充分条件 例1.3.4 由一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解: 设折起来的边长为xcm，倾斜角为a，那么梯形断面的下底长为24-2x，上底长为24

15、-2x+2xcosa，高为xsina，则断面面积 A=1(24-2x+2xcosa+24-2x)xsina 2即 A=24xsina-2x2sina+x2sinacosa， D：0x12，0a， 2p下面是求二元函数A(x,a)在区域 D：0x12，0ap2上取得最大值的点(x,a)。 Ax=24sina-4xsina+2xsinacosa=0令 2222A=24xcosa-2xcosa+x(cosa-sina)=0a由于sina0，x0上式为 (1)12-2x+xcosa=02x-12将代cosa=2x24cosa-2xcosa+x(2cosa-1)=0(2)入式得x=8，再求出cosa=，

16、则有a=解是a=p3=600，x=8cm 12p3=600，于是方程组的 在考虑边界，当a=p2时，函数A=24x-2x2为x的一元函数，求最值点，由Ax=24-4x=0，得 x=6。 所以A(6,)=246sin2pp2-262sinp2=72， 第 9 页 共 9 页 A(8,)=248sin-282sin+82sincos=48383。 33333ppppp根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域D：0x12，0a0,b0,c0). abc因为平面过点(1,1,1),所以该点坐标满足此平面方程，即有设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为v,则v=1abc (2) 6原问题化为目

17、标函数(2)在约束条件(1)下的最小值，作拉格朗日函数 1111L(a,b,c)=abc+l(+-1). 6abc求函数L的各个偏导数，并令他们为0,得方程组: 1l1l1lbc-2=0,ac-2=0,ab-2=0, 6a6b6c解方程组得a=b=c=3,由于最小体积存在，函数又有唯一的驻点，故a=b=c=3为所求，即平面为：x+y+z=1,与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小最小体积为 19Vmin=33=。 621.3.7 均值不等式法 用均值不等式求解问题的极值时，一定要注意自变量的要求：一正，二定，三能等的关系。 例1.3.7 当x为何值时，函数y= 解:144(9x2+2)9x22=

18、6 2xx9x2+6+4x2取得极值。 第 11 页 共 11 页 412 2x 9x2+6+4218 x 9x2+式子两边都是非负数，分别去算术平均根，得y=ymin=32此时x=639x2+6+418=32 x21.3.8 配方法 用配方法求解极值问题，可以将整个函数的极值问题转化为局部函数的最值问题来求解，使问题更加简单化。 例1.3.8 求函数y=1 的极值。2cosx-cosx+344解:令u=cos2x-cosx+3,则u=cos2x-cosx+3=cos2x-cosx+1-1+3= 1111(cosx-)2+,y=取极大值的条件是u取最小值，24u11 y=取极小值的条件是u取最

19、大值 y=取极小值的条件是u取最大值；uu11umax(cosx-)2取最大值cosx=-1,则y的极小值为, 25114umin(cosx-)2=0取最小值cosx=,则y的极大值为. 2211 1.4 求极值思想方法总结. (1)求解函数极值的问题，由以上的例题求解一元函数，二元函数,以及多元函数极值的解答方法来看，求取极值的方法很多，但一般极值问题能用多种方法求解，具体极值问题得看具体情况，可以根据自己对方法掌握的程度来选择，由于求解极值的方法很多，我这里只是其中一部分，大多数的思想一致，少数思想比较特别。通过前面的应用实例，不难看出求一元函数，二元函数，以及多元函数极值的思想和方法 第

20、 12 页 共 12 页 2 函数最值 2.1 最值概述. 提到函数，就不难会想到函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性、连续性、可导性等等，下面就对此进行简单说说 2.1.1 函数最值的定义 一般地，若一元函数f(x)在闭区间上a,b上连续，则函数在该区间上必取得最大值和最小值，函数的最大(小)值与函数的极值是有区别的，前者是指整个区间a,b所有函数值中的最大(小)值，因此最大(小)值是全局概念。但如果函数的最大(小)值在区间(a,b)取得，那么函数的最大(小)值也是极大(小)值。 一般地，对二元函数z=f(x,y)的最值问题定义而言，与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最值。若函

21、数在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必取得最值，且函数最大值点和最小值点比在函数的极值点或边界点上。因此只需求出f(x,y)在这个驻点或不可导点的函数值及在边界点上的最值。 推广到多元函数也是如此，其核心思想不变！但定义过程比较麻烦，求解更是如此。 2.1.2 初等函数与性质 2.1.2.1 有界性 函数的值域有上界称为函数的上界，有下界称为函数下界，函数值域有界称为函数有界 定义：设f(x)是定义在X上的函数，D是X的子集，如果存在数M，使得对于D中的任意x，则称f(x)在D上有界 第 13 页 共 13 页 2.1.2.2 单调性 如图，当由小到大的变化时，函数值增加，而由大到小时

22、，函数减小 y O x 图 定义：设f(x)是定义在X上的函数，D是X的子集，如果对于D中任意两点x1,x2，当x1x2时，f(x1)0, ，则k为“xD,f(x+k)=f(x)”f(x)的一个周期，显然周期并不唯一 2.1.2.5 可导与连续 若函数y=f(x)在x0点可导，则y=f(x)在x0点连续 由此，可据函数的可导求极值点，进而讨论函数最值 2.1.3 6种基本初等函数 2.1.3.1 常数函数y=C定义域为R，图像平行于x轴 2.1.3.2 幂函数y=xa,(a为实数) 2.1.3.3 指数函数y=ax，奇图像如图2 y y y=x y=x2 y=xO xx O 图2 第 14 页

23、 共 14 页 图3 2.1.3.4 对数函数y=logax，图像如图3 2.1.3.5 三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx y y pp -2p O 22 -p xp x O余切函数y=cotx 正切函数y=tanx y y pp-ppO2O2 x x 2.1.3.6 反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx 反正弦函数y=arcsinx 反余弦函数y=arccosx y py p 2-1O x1 O 1 xp-1 - 2第 15 页 共 15 页 反正切函数y=arct

24、anx 反余切函数y=arccotx y y p pp2 O2 x O x p- 2 2.2 函数最值求法 函数最值求法，其方法多种多样，下面我们列举出如下8中并结合例题来说明其数学思想 2.2.1 复数法 用复数方法求解函数的最值问题，就是运用复数的模以及绝对值的性质来求解，关键是构造复数。 例2.2.1 求函数f(x)=x2-2x+5+x2+1的最值。 解:Qx2-2x+5=(x-1)2-(2i)2设z1=(1-x)+2i,z2=x+i,f(x)=z1+z2, Qz1+z2z1+z=1-x+2i+x+i=1+3i=10，等号当且仅当 oz1与oz2同向，即1-xx1=亦即x=时成立，故f(

25、x)min=10 213 2.2.2 配方法 用配方法求解最值问题，可以将整个函数的最值问题转化为局部函数的最值问题来求解，使问题更加简单化。 例2.2.2 求函数y=2-4x-x2的最小值。 解:设f(x)=-x2+4x(f(x)0),配方得f(x)=-(x-2)2+4,则f(x)的最大值为4, 即ymin=0为所求。 2.2.3 判别式法 用判别式法，可以将函数的最值问题化为一元二次函数的问题，进而化为判断一元二次函数判别式的问题，关键是二次项系数不为零。 第 16 页 共 16 页 x2-2x-3的最值。 例2.2.3 求函数y=2 2x+2x+1 解:由原函数可得关于x的一个二次方程

26、(2y-1)x2-2(y+1)+(y+3)=0为使得方程有实数解x,必须有D.即D=4(y+1)2-42y-1)(y+3)0,化简得(y+4)(y-1)0,-4y1;即ymin=-4,ymax=1。 2.2.4 导数法 用导数法是在，极值点，不可导点，端点中，通过对函数值的比较而得最值点，若函数在某区间只有极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值。若函数在整个区间都不连续的，就把它分为多连续的个区间，分别求出每个区间的极值，最后在求出最值。 例2.2.4 求函数f(x)=(x-1)2(x-2)3在0,3上的最值。 解:f(x)=(x-1)(5x-7)(x-2)2,令f(x)=0,得x=1,

27、x=2,x=7f(0)=-8, 5.经计算得7f(1)=0,f=-0.035,f(2)=0,f(3)=4,所以f(x)在0,3上的最大值是4,最小. 5值是-8. 2.2.5 函数的单调性法 当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值，若函数在该区间上是单调性的，那么函数在区间端点取得最值，若函数在该区间不是单调的，把该区间分成各个小区间，使得函数函数在每个区间上是单调的，在求出各个区间上的最值，在比较，最后求得整个区间上的最值。 例2.2.5 求函数f(x)=8x-x2-14x-x2-48的最值。 解:由题意得定义域 8x-x20,14x-x2-480得6x8,又 Q(8-x)

28、(x-x-6)=68-x,6,8,故当x6,8,且x增加时，x+x-6增大，x+x-6 而8-x减小，于 ，所以f(x)是随x的增大而减f小(x)在，区即间上减函数fmin(x)=f(8)=0,fmax(x)=f(6)=23。 2.2.6 换元法 用换元法求函数的最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看作一个整体或用新元来代替，达到问题化难为易，化陌生为熟悉，第 17 页 共 17 页 从而使原问题得到解答。换元法通有三角代换和代数代换两种。 例2.2.6 正数x,y,满足ab+=1,其中a,b为不相等的正常数，求x+y的最小值. xy解:令a=xubv,=,其中v,u0, u+vyv+u

29、则x+y=a(u+v)b(v+u)avbuavbu+=a+b+a+b+2ab,当且仅当+,即av=buuvuvuv时上式取等号，故(x+y)min=(a+b)2。 2.2.7 消元法 消元法是指通过消去变量(未知数)从而达到解题的目的。该方法是求多元函数最值最基本的方法。 例2.2.7.已知3x2+2y2=9x,求s=2(x+y)的最值. 解:条件3x2+2y2=9x知y2=1(9x-3x2) 211981s=2(x2+y2)=2x2+(9x-3x2)=2-(x-)2+ 2228又y2=(9x-3x2)0, x2-3x0,x0,3 当x=3时,smax=18,当x=0时，smin=0。 而0,

30、3,函数s在0,3上是增函数，92122.3.8 柯西不等式法 柯西不等式:设a1,a2,.an;b1,b2.bn均为实数，则有(a1b1+a2b2+.anbn)2 2222(a12+a2+.+an)(b12+b2+.+bn)等号当且仅当ai=lbi(l是常数，i=1.,2,3.n) 时取得。 例2.2.8 设x,y,z0,且x+y+z=1,求u=1+4+9的最小值。 xyz解:由柯西不等式可得，u=1+4+9=(x+y+z)1+4+9 xyzxyz第 18 页 共 18 页 1492x+y+z=(1+2+3)=36 xyzy2z21112由x=及x+y+z=1可得x=,y=,z=,故umin

31、=36。 496322 2. 求函数最值思想方法总结 求解函数的最值问题，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何、向量等诸多数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。掌握一元函数问题最值的求解，是求其它多元函数最值的关键。 求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。应用实例中叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。 同时，求解多元函数最值问题时，联系题目中条件与最值问题所对应的几何意

32、义利用数形结合的思想，将多元函数问题化归为二元函数和一元函数变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一宝。 此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。均值不等式法就体现了这一思想，求解函数最值问题的方法很多，这里我们只是研究了其中一些方法，通过多种求解最值方法我们得到一题可以用多种方法来求解，一种方法亦可以用于多种问题的思想。 学习心得 我们组的论文题目是函数极值与最值研究，从第四周选题后，经过开题、检索文献、整理分析文献、拟定写作方案， 小组进行分工、讨论等。通过此次论文写作使我们充分认识了函数极值和最值以及掌握其求解方法，求解函数的极

33、值和最值问题，涉及到函数、不等式、复数、柯西不等式、向量等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用，让我们感受到了数学的真正魅力，数学来源于生活，而又高于生活，生活中处处离不开数学，数学让我们明白只有理论与实际第 19 页 共 19 页 相结合才能真正实现它的价值，我们才能用它来创造价值，满足我们的需要。时光飞逝，我们大三的生活即将结束，课程也差不多结束了，在此学校为我们开了数学分析研究这门课，对此老师安排了这次论文写作，它不仅是对我大学几年对数学知识学习成果的检验和总结，更是对能力的一种提升。 写作前，我们查阅了大量文献资料，进

34、行整理分析，提取有用信息，对此我们真的学到好多新知识，提高了文献检索能力和分析问题能力;在写论文过程中，我们体会到了学习数学的乐趣，体现了团队合作的默契，虽然有些意想不到的问题出现，弄的我们很头疼，但通过大家的努力还是能解决，然而解决问题后看到大家的喜悦及成就感真的很棒，增强了我们学习的自信心，相信对以后的学习、工作、生活都将有着很深的影响，锻炼了逻辑思维能力，提高了动手能力，以及在word中绘数学图形的操作能力，还有培养了我们发现问题、分析问题、解决问题的能力。当然我们也发现了自身存在的很多问题，比如知识的储备不够，发现自己还有许多东西需要学习，认识到学习是一个长期积累的过程，在以后的学习工

35、作生活中，都要做好准备，随时学习，时刻注意自身素质和能力的全面提高;在论文的写作过程中感触最深的是注意细节的重要性，写论文时，常常会遇到一些细小问题，如：字体、字间距、符号等，这些细节问题常常导致我们的论文一遍又一遍的修改，浪费了很多时间，造成很多麻烦，这也使我们意识到细节的重要性，使我们在以后的生活工作中更加的注意细节，有时往往就是一些细节问题决定了成败。 最后在写论文的过程中，得到了老师和同学们的帮助，在此，要感谢大家对我们的帮助和支持，谢谢! 致谢辞 这次论文在徐波老师的教导下完成的，X老师渊博的专业知识、严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严于律己、宽以待人的崇高风范，以及平易近人的人格魅力对我们影响深远。让我们树立了考研等学习目标、掌握了基本的研究方法，明白了第 20 页 共 20 页 许多为人处事的道理。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！ 时光匆匆如流水，转眼间大学三年过去了，春梦秋云，聚散真容易。修读课程也随之进入了尾声。在此，在大三下学校开了数学分析研究这课，为了让我们更好的掌握知识，老师安排了本次论文写作，对于此次论文的顺利完成