函数极值求法及其应用 毕业论文.doc
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1、 毕业论文题 目 函数极值求法及其应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 专 业 数学与应用数学 学 号 研究类型 研究综述 指导教师 提交日期 2012-5-25 原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名: 年 月 日 论文指导教师签名:函数极值求法及其应用 摘 要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数
2、和多元函数极值的求法及其应用,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用The Extreme Value Method and Application of Function Abstract: The extreme of function is an important content of the function natural form and has a generally application in a lot of math problem. For this reason, the paper not onl
3、y discussed the extreme value method and application of the function and multiple function, but also discussed the extreme value method and application of the function and multiple function, but also taken a simple discussion of functional extreme value the method, and give the relevant application
4、at the same time.Key words: the extreme value of function, conditional extreme, functional extreme ,Application目 录引言11.一元函数的极值1 1.1一元函数的极值第一充分条件1 1.2一元函数的极值第二充分条件2 1.3一元函数的极值第三充分条件32.多元函数的极值4 2.1二元函数极值4 2.1.1二元函数取极值的充分条件4 2.2 元函数极值5 2.2.1.利用二次型求多元函数极值5 2.2.2.利用梯度及内积计算多元函数的极值6 2.2.3利用方向导数判断多元函数的极值7 2
5、.3函数极值的应用(用极值的方法证明不等式)83.条件极值9 3.1条件极值的解法93.2利用条件极值证明不等式124.泛函极值及其应用13 4.1泛函的定义13 4.2相对极值13 4.2.1绝对极值与相对极值的定义13 4.2.2相对极值的必要条件13 4.3 泛函极值的应用15 4.3.1 最小旋转面问题15 4.3.2最速降线问题 15结束语17参考文献18致谢19函数极值求法及其应用马富荣(天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000)摘 要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用问题,而且对泛函
6、极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用引言 函数的极值问题是高等数学中的一个重要内容.在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微积分学中占有很重要的地位.在各类大型考试中,极值也是重要的考点,常以该知识点的证明及应用出现.函数极值问题也是培养发散思维与创新性思维的重要手段之一,能有效提高解题和应用能力.鉴于其解法较为灵活、综合性强、能力要求高.故在解决这类问题时,要求掌握很多数学知识,综合应用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.1一元函数的极值定义 设函数在的某领域U()内有定义.如果对于取心邻域U()内的任,有或.
7、那么就称是函数的一个极大值或极小值.(将改为,则称为严格极大值或严格极小值).1.1一元函数的极值第一充分条件设函数在处连续且在的某去心邻域U()内可导.(1)若(,)时, 0,而(,)时, 0,则在处取极大值.(2)若(,)时, 0,则在处取极小值.(3)若U(,)时,符号保持不变,则在处没有极值.例1. 求=的极值.解 先求导数 再求出驻点:当时,.判断函数的极值如下表所示:x+00+0+极大极小无所以在=-2时取极大值,在时取极小值.1.2一元函数的极值第二充分条件设函数在点具有二阶导数,且=0,0.则:(1)当0,函数在点取极小值.(3)当=0,其情形不一定.例2. 求函数的极值.解
8、由得的驻点为.=,所以在处取得极小值,在处由第二充分条件无法判定,由第一充分条件得:在处都没有极值.1.3一元函数的极值第三充分条件设任意函数在有阶导数,且直到导数都为零,而阶导数不为零.(1)当为偶数时在取极值,当 ()0时取极小值. (2)当为奇数时在点不取得极值.上面给出了求函数极值的3种充分条件,第1充分条件适合于所有的连续函数,第3充分条件也就是第2充分条件的特殊情况,每种求极值的充分条件的方法和步骤都是一样的.总结 一元函数求极值的方法步骤(1)求可疑点,可疑点包括()稳定点(亦称为驻点或逗留点,皆指一阶导数等于零的点);()导数不存在的点;()区间端点.(2)对可疑点进行判断,其
9、方法是()直接利用定义判断;()利用实际背景来判断;()查看一阶导数的符号,当从左向右穿越可疑点时,若的符号a.由“正”变为“负”,则为严格极大值;b.由“负”变为“正”,则为严格极小值;c.不变号,则不是极值. ()若=0, ()若为偶数,则为极值:若为奇数,则不是极值.2.多元函数的极值2.1 二元函数极值在现实的社会研究中,关系到二元函数极值的问题更为广泛,它与实践联系的更紧密,所以研究二元函数的极值意义是重大的.定义 设函数在点的某邻域内有定义,对于该邻域内异于的点;如果适合不等式则称函数在点有极小值.2.1.1二元函数取极值的充分条件若函数在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数,且=
10、0,=0.令,则: (1)当时,有极值.且当时取极大值,当时取极小值.(2)当时,没有极值. (3)当时,不能确定.例3. 求的极值.解 设,则,解方程组 得驻点: .对于驻点有,故 .因此 在点取得极小值.对于驻点,有,.故 .因此 在点不取得极值.2.2 元函数极值2.2.1利用二次型求多元函数极值定义 设函数在点有连续的二阶偏导,称矩阵 为函数在点的海瑟矩阵.定理 1 ( 充分条件) 如果函数, E, 在驻点的某邻域U() 内, 具有Hesse矩阵A, 则( 1) 若A为正定(或半正定) 矩阵时, 在点取严格极大(或极大) 值;( 2) 若A为负定(或半负定) 矩阵时, 在点 取极小(或
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