传热学第四章课件.ppt
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1、(1) 理论分析方法 在理论分析的基础上,直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分,这样获得的解称之为分析解(解析解),或叫理论解;,第四章导热问题的数值解法,1. 求解导热问题的三种基本方法,(1) 理论分析法;(2) 数值计算法;(3) 实验法,2. 三种方法的基本求解过程,4-1 导热问题数值求解的基本思想,3. 三种方法的优缺点,(1) 分析法能获得所研究问题的精确解,可以为实验和数值计算提供比较依据;分析解具有普遍性,各种情况的影响清晰可见;局限性很大,对复杂的问题无法求解;,(2) 数值计算法 把原来在时间和空间连续的物理量的场,用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方法
2、建立起来的关于这些值的代数方程,从而获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下,对所研究对象的传热过程进行观察、测量,(2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点,适应性强,特别对于复杂问题更显其优越性;与实验法相比成本低(3) 实验法 是传热学的基本研究方法适应性不好;费用昂贵数值解法:有限差分法(finite-difference) 有限元法(finite-element) 边界元法(boundary- element),4. 导热问题的数值求解基本步骤,二维矩形域内稳态无内热源,常物性的导热问题。,(1)
3、 建立控制方程及定解条件,控制方程:,边界条件:,(2) 区域离散化,网格线:与坐标轴平行的线节 点:网格线的交点步 长:两相临节点间的距离控制容积:节点所代表的区域界面线:控制容积的边界线,(3) 区域离散化,离散方程:节点上物理量的代数方程,如tm,n,(4) 设立迭代初场,对各点物理量设置初始值,(5) 求解代数方程组,采用迭代法求解方程组,(6) 解的分析,根据温度分布,求热流,1. 建立离散方程的常用方法,(1) Taylor(泰勒)级数展开法(2) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)(3) 控制容积积分法(4) 多项式拟合法,4-2 内节点离散方程的建立方法,2. 泰勒级数展开法,根
4、据泰勒级数展开式,用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i+1,j)的温度ti+1,j,用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的温度ti-1,j,若取上面式右边的前三项,并将两式相加,移项整理即得二阶导数的中心差分:,截断误差 未明确写出的级数余项中的x的最低阶数为2,同样可以写出:,根据,如果x=y ,则,对于无内热源,且x=y,有内热源,无内热源,一阶、二阶导数的常用差分表达式,例:有人对一阶导数 提出了如下表达式,试判断该表达式是否正确,为什么?,将 代入 可得,答:该表达式不正确,正确式应为,(2) 控制容积平衡法(热平衡法),基本思想:对每个有限大小的控制容积应用
5、能量守恒,从而获得温度场的代数方程组 它从基本物理现象和基本定律出发,不必事先建立控制方程,依据能量守恒和Fourier定律即可。,流入控制体的总热流量控制体内热源生成热流出控制体的总热流量控制体内能的增量,能量守恒:,即:,从所有方向流入控制体的总热流量控制体内热源生成热控制体内能的增量,稳态、无内热源时:,内部节点(m,n):,从所有方向流入控制体的总热流量0,根据傅立叶定律,如果x=y,则,如果有内热源,且x=y ,则,4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解,1. 边界节点离散方程的建立:,(1) 平直边界上的节点,(2) 外部角点,(3) 内部角点,(1) 第二类边界条件:将q
6、w带入边界点离散方程即可 绝 热 qw=0 非绝热 qw=const,(3) 辐射边界条件:将qw=(Tf4 T 4m,n)带入边界点离散方程,边界热流密度qw的情况,(2) 第三类边界条件:将qw=h(tftm,n)带入边界点离散方程,平直边界,外部角点,内部角点,2.节点方程组的求解,写出所有内节点和边界节点的温度差分方程,n个未知节点温度,n个代数方程式:,代数方程组的求解方法:直接解法、迭代解法,直接解法:通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法,迭代解法:先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛
7、。,缺点:所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题(若物性为温度的函数,节点温度差分方程中的系数不再是常数,而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新),迭代解法有多种:简单迭代(Jacobi迭代)、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等,高斯-赛德尔迭代的特点:每次迭代时总是使用节点温度的最新值,在计算后面的节点温度时应按下式(采用最新值),例如:根据第 k 次迭代的数值,可以求得节点温度,判断迭代是否收敛的准则:,K、k+1迭代次数;,第k次迭代得到的最大值,当有接近于零的t 时,第三个较好,允许的偏差;相对偏差一般取10-310-6,判断迭代能否收敛的准则:,系数矩
8、阵主对角占优,即主对角的系数大于或等于其他变量系数绝对值之和。,例 如图有一矩形薄板,已知a=2b,在边界x=0和y=0处是绝热的,在x=a处给出第三类边界条件,即给定h和tf,边界y=b处壁面保持恒定温度tb。试写出各节点的离散方程。,解:对于无内热源二维稳态导热,采用均匀网格,x=y=b/2,用矩阵的形式可写为,例 有一各向同性材料的方形物体,其导热系数为常数。已知各边界的温度如图所示,求其内部网格节点的温度。,解:各节点的温度表达式为,设各节点的初始温度为,4-4 非稳态导热问题的数值解法,稳态导热,非稳态导热,本节重点: (1) 非稳态项离散的方法; (2) 扩散项离散时所取时间层的不
9、同对计算带来的影响。,1. 一维非稳态导热时间空间区域的离散化,时间步长:从一个时间层到下一个时间层的间隔,,。,(1) 基本概念,(2) 非稳态项的离散,非稳态项的离散有三种不同的格式: 向前差分 向后差分 中心差分,向前差分 将函数t在节点(n,i+1)对点(n,i)作泰勒展开,向后差分 将函数t在节点(n,i-1)对点(n,i)作泰勒展开,中心差分 将函数t在节点(n,i+1)及(n,i-1)对点(n,i)的泰勒展开式相减,2. 一维非稳态导热微分方程的离散方法,(1) 泰勒级数展开法,一维非稳态导热微分方程中的扩散项离散与稳态导热微分方程中的方法相同,对一维非稳态导热微分方程中 扩散项
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- 传热学 第四 课件
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