分析力学第2章动力学普遍方程和拉格朗日方程课件.ppt
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1、.,第二章 动力学普遍方程和拉各朗日方程,.,摆长不定,如何确定其摆动规律?,混沌摆问题,多杆摆问题,.,.,其加速度为,令,R=P+T,则,ma = R = P + T,摆锤M在受到P、T的同时,将给施力体(地心和绳子)一对应的反作用力,反作用力的合力为,R=R= ma,此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”,称为惯性力。,图示圆锥摆摆长为l,摆锤M的质量m,在水平面内作匀速圆周运动,速度为v,锥摆的顶角为2,摆锤 M 受力如图。,.,若用Fg表示惯性力,则有 Fg = ma,.,设质点M的质量为m,受力有主动力F、约束反力FN,加速度为a,则根据牛顿第二定律,有,ma = F+FN
2、,Fg= ma,令,则,F+FN+Fg = 0,形式上的平衡方程,.,设质点系由n个质点组成, 第i个质点质量为mi,受力有主动力Fi ,约束反力FNi ,加速度为ai ,假想地加上其惯性力Fgi=miai ,则根据质点的达朗伯原理,Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡力系,即,Fi + FNi +Fgi=0 (i =1,2,n),MO(Fi) + MO( FNi ) + MO( Fgi ) =0,Fi + FNi +Fgi=0,质点系的达朗伯原理,即,或,.,1 .动力学普遍方程,设质点系由n个质点组成,第i个质点质量为mi,受主动力Fi,约束反力FNi,加速度为ai,虚加上其惯性力F
3、gi=miai,则根据达朗伯原理, Fi 、FNi 与Fgi,应组成形式上的平衡力系,即Fi + FNi +Fgi= 0,若质点系受理想约束作用,应用虚位移原理,有,.,或,动力学普遍方程,则动力学普遍方程的坐标分解式为,若,.,.,研究整个系统,进行受力分析;,解:,设杆的加速度为a,则,Fg1= m1a,,Fg2= m2a,,给连杆以平行于斜面向下的虚位移s,,则相应地两轮有转角虚位移,且,根据动力学普遍方程,得:,于是,解得,.,.,.,.,.,(a)(b),.,.,.,.,.,2. 拉格朗日方程,n个质点的系统受到k 个如下形式的完整约束fi ,又若系统中质量为mj的第j个质点受主动力
4、Fj,则系统的运动满足3n个方程如左,称为第一类拉格朗日方程,i称为拉各朗日未定乘子。,*第一类拉格朗日方程用到的较少,.,拉格朗日,1736 1813,法籍意大利人,数学家、力学家、天文学家,十九岁成为数学教授,与欧拉共同创立变分法,是十八世纪继欧拉后伟大的数学家。,.,用q1,q2,qN表示系统的广义坐标,第i个质点质量为mi,矢径为ri。则 ri= ri(q1,q2,qN,t),对上式求变分得,动力学普遍方程可写成,其中,.,根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式,有,因为系统为完整约束,广义坐标相互独立,所以广义坐标的变分qk是任意的,为使上式恒成立,须有,(k =1,2,N),
5、广义力,广义惯性力,.,对式,中广义惯性力进行变换:,.,将下列两个恒等式(有关证明请参阅教材P46),( 广义速度),得,所以,代入第一项中的括号内,代入第二项中的括号内,.,得到,这就是第二类拉格朗日方程,是一个方程组,该方程组的数目等于质点系的自由度数,各方程均为二阶常微分方程,揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。,则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式,于是,对保守系统,拉格朗日方程可写成,.,用函数L表示系统的动能T与势能V之差,即 L = TV,L称为拉格朗日函数或动势。,则在保守系统中,用动势表示的拉格朗日方程的形式为,.,1.拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题
6、的普遍方程,是分析力学中的重要方程。,2.拉格朗日方程是标量方程,以动能为方程的基本量,是用广义坐标表示的运动微分方程。,3.拉格朗日方程形式简洁,运用时只需要计算系统的动能;对于保守力系统,只需要计算系统的动能和势能。,.,1.静力学:对受完整约束的多自由度的平衡问题,根据虚位移原理,采用广义坐标,得到与自由度相同的一组独立平衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件,避开了未知的约束反力,使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。,2.动力学:对受完整约束的多自由度的动力学问题,可以根据能量原理,采用广义坐标,推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方程,称为拉格
7、朗日第二类方程,简称为拉格朗日方程。,.,1.确定系统的自由度数(广义坐标数);,2.选广义坐标;,3.计算系统的动能T,且用广义速度来表示动能;,4.计算广义力(对保守系统可计算势能);,5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。,.,例1 位于水平面内的行星轮机构中,质量为m1的均质细杆OA,可绕O轴转动,另一端装有质量为m2、半径为r的均质小齿轮,小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当细杆受力偶M的作用时,求细杆的角加速度 。,.,解:,研究整个系统,选广义坐标,,则,系统的动能为,T = TOA+ T轮,.,又关于广义坐标的广义力为,代入Lagrange方程:,于是得,.,例2 质
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