量子力学辅导.ppt

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1、量子力学辅导,教学目的：,1、系统了解量子力学I的基本内容,2、系统掌握量子力学结题的基本思路和方法,3、为进一步学习量子力学II和考研打下坚实 的基础,第一部分 Schrdinger方程 一维定态问题,一、学习要点,(2)是单值的；,(3)与 是连续的。,1.在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不 考虑自旋运动的粒子的态，用波函数 表示.表示 时刻粒子处于空间 处 体积 元内的几率，即 代表几率密度。根据波 函数的物理意义,波函数 应具有如下性质：,上述方程称为能量的本征值方程。其定态解为,包含时间在内的定态波函数为,含时Schrdinger方程 的一般解为,3.一维束缚定态有如下性质：(

2、1)能量是非简并的；(2)波函数是实函数；(3)如果势函数 满足对称条件 则波函数 有确定的宇称,即为奇(偶)函数,6.在函数势场 中，定态波函数 在 点连续，但 在 点不连续：,7.波函数为 的一维运动粒子的动量几率分布 函数为,几率密度为,二、例题,量子力学中常用的二阶常系数 齐次线性微分方程的解,对方程,其特征方程为,解：,涉及的问题分三个区,I 区 阱外 波函数为0,II 区-ax0,III区 0 xa,II,III,其特征方程解为两个共轭复根,考虑到不涉及平面波，故波函数可写为形式,因为势函数满足对称性，故波函数具有确定的宇称。但在原点处波函数必为0，从而知道波函数是奇函数故可令,从

3、而有,归一化的波函数是,提示：,（2）除了要用边界条件外，还要用连续性条件,（3）涉及到波函数的连续条件时，一般要求解 超越方程组。本题中方程组是,（1）分区求解,提示：,（2）除了要用边界条件外，还要用跃变条件,（1）分区求解,（3）函数的作用,提示：,（1）熟练掌握谐振子能量本征函数及其特点,（2）了解函数的作用，会使用跃变条件,提示：,（1）尽管没有给出势场的具体形式，但薛定谔方程的 形式是确定的，可以从波函数出发来求势场。,（2）根据势场的性质确定波函数的特点及相关参数。,（3）根据所得波函数代入薛定谔方程求得能量差。,关键：等效方法 将长度变量变为角度变量 会使用相应函数的跃变条件,

4、关键：两维问题，消去相互作用，用一维方法求解,求解粒子能量本征值和本征函数；,提示：两个思路（1）写出无障时任意时刻的波函数利用初条件（2）将有障波函数向无障波函数展开,1.22 一个质量为 的粒子处于 的无限深 方势阱中，时，归一化波函数为,关键问题：所给波函数是体系的定态波函数吗？,1.31 设一维粒子由 处以平面波 入 射，在原点处受到势能 的作用。,(1)写出波函数的一般表达式；(2)确定粒子在原 点处满足的边界条件；(3)求出该粒子的透射 系数和反射系数；(4)分别指出 与 时的量子力学效应。,补充例题：,提示：这是个常规题，需要求出各区的波函数及反射系数，利用条件求解。,1、证明：

5、具有不同能量的两个束缚态，其波函数正交。,证明：令 分别对应能量，；结论与势 能的具体形式无关，应该从S.eq出发。,并对空间积分,因为束缚态边界条件是 由于，则有,即 正交。,2、在氢原子的一个能量本征态中，测得其轨道角动量为 零（s 态），而有两个同心球面是波函数的零点。求氢原子的能量。,解：三维有心力场系统波函数写成,其中 满足方程,分析：,求能量主要是求主量子数n，可通过与节点的关系来求。节点即波函数的零点，用节点法解题的依据是节点定理：对于一维束缚态，在基本区域内（不含边界点）基态无节点，第n 个激发态有n 个节点。,对于本问题，氢原子主量子数为,氢原子能量为,相当于 范围内的一维运

6、动,其行为可用径向量子数 描述。从波函数 的形式看，角度方向零点由 提供，径向零点由 提供。根据节点定理，对于确定的，径向基态无节点，第 个径向激发态 有 个节点。,第二部分 力学量算符,一、学习要点,1.在经典力学中的任一力学量 是坐标 和 动量 的函数，它对应量子力学中的厄米算符。的本征值为力学量的可测值。如果粒子的波函数是力学量算符 的本征函数,本征值为，则测量该粒子的力学量 时，得 如果粒子的波函数不是力学量算符 的本征函数，则测量该粒子的力学量 时，得 到的是平均值：,3.算符 的厄米算符的定义是,其中 与 是任意波函数。比较以上两式可以看出，如果满足条件：则是厄米算符。,厄米算符具

7、有如下性质：,(1)本征值是实数；,(2)本征函数具有正交性。,设力学量算符 的本征函数为，相应的本征值为：,如果，则 是正交的：,(3)在一定条件下，厄米算符本征函数具有完备性,厄米算符 的本征函数具有完备性是指任意波函数 可以通过 的所有本征函数全体集合 表示为,其中,如果 的个数为有限的，则是完备的。如果，则在本征值 无上限的条件下 是完备的。,(4)厄米算符 与 存在共同本征函数完备系的充 分必要条件是 与 对易。,4.量子力学中的基本对易关系是,5.算符函数的定义是,其中,6.算符 与 的不确定关系为,其中,不确定关系的一个重要例子是,力学量 为守恒量的条件是 不含，且 与哈密顿 对

8、易。,9.位力定理,则在此势场中束缚定态 上的动能与势能的平均值之间满足如下关系：,10.F-H(Feynman-Hellmann)定理,设粒子属于能量本征值 的本征态为，即,第一式对 求导得,上式左乘，并利用第二式和归一化条件，得到对束缚态，有,此式即为Feynman-Hellmann定理。比较重要！,其共轭方程为,二、例题,2.5 设算符，又设 为 的 本征矢,相应本征值为.求证 和 也是 的本征矢，并求出相应的本征值。,注意三问题：1.求算符的表达式勿忘作用任意波函数 2.不论在何种坐标中，是不变的 3.拉普拉斯算符在球坐标中的表示,2.6 粒子作一维运动，,定态波函数为,(2)利用(1

9、)推导求和公式,(3)证明,学会利用公式,思路：如何,同理,所以,又因为,证明：,由于,2.8 已知 是 和 的共同本征函数，本征值 分别为 和，令。,(1)证明 仍是 和 的共同本征函数，求出它们的本征值；,关键是要理解下式是如何来的？,2.13 设粒子处于状态,求轨道角动量 分量及 分量平均值 与，以及 与。,关键是如何求常数,考虑用球谐函数的正交归一性和角动量算符的对易关系,以上两式相乘并对全空间积分，有,2.19 一维谐振子处于定态，计算，检验测 不准关系。,注意适当时候会使用位力定理和F-H定理,提示：,则动量的几率分布函数可表示为,由此给出动能平均值,2.23 质量为 的粒子在外场

10、的作用下作一维运动，已知当其处于束缚态 时，动能平均值为，并已知 是实函数。试求当粒子处于态 时动量平均值 与动能平均值。,另外，如何理解：束缚态中动量的平均值为零？,思路比较明确，利用已知条件，并会证明束缚态中动量的平均值为零。,补充题,一电子在带电量为+Q 的真空点电荷势场中运动，设电子处于定态，利用位力(Virial)定理证明势能V与动能T存在关系,证明：,题目实已给出中心力场势的形式,利用位力定理,因为,所以,代入位力定理，有,即,第三部分 表象理论,一、学习要点,动量表象波函数 与坐标表象波函数 之间的关系是,对一维运动，以上两式变为,3.满足方程,应该学会把S方程直接从坐标表象变换

11、到动量表象,以一维运动为例，坐标表象中的S.Eq为,方程两边取动量表象，上式成为,按照约定，上式变为,得证。,对一维运动，以上两式变为,如果势能 不含t，则,E 为定态能量，满足定态方程,如果势能 可以表示成 的正幂次级数,则定态方程为,是 的第 个本征函数,在 表象中，力学量 表示为方矩阵,波函数 与算符 由 表象到 表象变换的公式为,将它们依次排列起来得到,注意：变换矩阵S的定义与教材中略有不同,则从原表象到新表象的变换矩阵元可表示为,意义：原表象第k个基矢在新表象第个基矢中 的分量。,建议使用本教参中的定义。,表象变换中基矢之间变换矩阵的问题,可简单证明如下：,其中 表示从Q表象（基矢为

12、）到Q表象（基矢为）的变换矩阵。,不失一般性，设F的本征态在Q表象的表示为，在Q表象的表示为，则有,表示。,显然 是幺正矩阵S的 行 列矩阵元。是的本征态。由上式可知，的第 个本征态在Q表象内用,即有,因而在Q表象内解出的 的第 个本征矢正好是S矩阵的第 列元素。故把 在Q表象内解得的本征矢按照本征值的顺序并列，就得幺正变换矩阵,二、例题,提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象 不过对势采用动量表象好一些。,解：利用在动量表象中的定态方程,其中对应束缚态,代入上式积分，得,方程右边与 无关，两边可对 求导，有,其解为,为求能量，将上式代入前式中的积分，有,由此得定态能量,代入波函数的形式解

13、内，并将其归一化，有,不如坐标表象中的解简单,试计算，验证测不准关系。,3.2 已知在 势阱 中的定态归一化波函数()为,3.4 质量为 的粒子在均匀力场 中运动，运动范围限制在。试给出动量 表象中的定态方程并求出定态波函数。,类比教材中在坐标表象下研究定域的几率守恒方法来做,提示：将力场变为势场,根据测量结果写出态矢量,3.9 厄米算符 与 满足 且。求(1)在 表象中算符 与 的矩阵表示；(2)在 表象中算符 的本征值与本征态矢；(3)求由 表象到 表象的幺正变换矩阵，并把 矩阵对角化。,解：(1)需要A表象的基矢是什么，即求A算符的本征基矢,令本征值为，本征态为，则有,显然,由于在A表象

14、中，A算符的矩阵表示为对角矩阵，对角元就是本征值，从而有,而由于A，B算符不对易，故无共同的本征态，在A表象下B算符不是对角矩阵，令为,从而有,由于B是厄米算符，故有,即,所以,从而有,其中为任意实数。,这样在A表象下,(2)A表象下B算符的本征值及本征态矢容易求出,3.10 在 的 表象中，基矢为 求 与 的矩阵表示。,令本征值为，本征矢为,即有,解得,(3)求A表象到B表象的变换矩阵：,将原表象A下求得的新表象B的本征态矢按照本征值的次序排列就是变换矩阵,此矩阵可以将B算符对角化，即,3.12 一个量子体系处于角动量 的共同本征 态上，总角动量平方值为。已知测量 得 值为 0 的几率是1/

15、2，求测量 得值为 的 几率。,波函数用球函数展开,角度部分波函数用Lx的本征函数展开,需要掌握几个球函数的表达式,3.18 在由正交基矢 构成的三维态矢空 间中，哈密顿算符 与力学量 的矩阵为,(1)证明 为守恒量；(2)求出 与 的共同本征态矢组。,补充题：,提示：注意利用曾书chap.5中的定理：非简并本征态必为某一守恒量的本征态。,1、质量为 的粒子在势场 中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。,解：采用狄拉克符号，能量本征方程可写为（1）,所以（2）,将（2）代入（1）得,已知,以 左乘上式得,其中 定义,上式即为 表象中的能量本征方程。其中,代入上式得（3）,证明：（1）,

16、（2）利用,则有,但由（1）得,即,代入前式 得,第四部分 中心力场问题,一、学习要点,1.在中心力场 中，定态波函数 可以表示为,其中 满足方程,满足方程与边界条件,2.带有电荷 的粒子在电磁场中的哈密顿为,波函数为 的粒子在电磁场中的几率流密度为,或,其中 为正则动量，与 分别是电磁场的矢势与标势。,5.在类氢离子势场 中，定态能量和定 态波函数为,其中 是Bohr半径，分别是主量子数、轨道量子数和磁量子数，且,另：若径向量子数用 表示，则有,二、例题,提示：这是一个球方势阱问题，且l=0，利用到径向波函数u(r)所满足的方程。另外，有限深势阱问题一般要涉及求解超越方程！,解：s波束缚态必

17、定是l=0的基态。设波函数为,则u(r)所满足的方程为,边条件是,则分区写出的u(r)所满足的方程为,容易求出满足边条件的解为,由波函数连续得,由波函数导数连续得,上下两式相比，有,提示：这仍是一个球方势阱问题思路同上题。另外，要考虑到利用势中波函数导数的跃变条件。,解：,则u(r)所满足的方程为,其中,如何求得？,利用边界条件（包含跃变条件）,得,两式相比化简，并令 x=2ka 得,其解可通过求超越方程得到,何时有解？,显然唯有,此时容易解出存在束缚态的条件,4.4 设粒子的定态波函数，其中 与 是常数。已知。求定态能量 和势能。,分析：这显然是一个中心力场问题。,给出的是定态波函数，去求势

18、函数，因而是一个反问题。,其基本思路是，写出径向定态方程，代入定态波函数，利用所给条件，求出定态能量和势能函数。,思考：如何处理？,4.7 质量为 电荷为 的粒子在方向互相垂直的 均匀电场 和均匀磁场 中运动，求定态能 量与波函数。,分析：这是一个粒子在电磁场中的运动问题。其中有 电场，也有磁场，故H取其完全形式。,解：,设电场方向沿y轴，强度为；磁场方向沿z轴，强度为B。取不对称规范，即,其中,则,这样，电磁场的矢势和标势分别为,相应的电场和磁场分别为,哈密顿的完全形式是,而由于 是守恒量，可以认为粒子在x,z方向的运动是自由粒子运动平面波函数，故它们的共同本征态可以写为,代入哈密顿算符的本

19、征值方程,可以得到 所满足的方程,这里 可以作为常数处理。令,上式可变为,这是我们熟知的形式-,一维谐振子的定态方程。,其解为,将上述变量进行相应代换，就得到粒子的定态能量和波函数。,4.8(1)已知带有电荷 的粒子在磁场 与势场 中运动。求带电粒子速度分量算符的对易关系 的表达式。(2)质量 带电荷 的粒子在磁场中的哈密顿为 请问在什么情况下它可以写成 的形式？(3)设，略去第二式中 的 项，求出与 相应的Schrdinger方程的解。,对第三问进行分析：,设 方向为z方向，则S-方程为,因势函数中含有时间，无法进行分离变量。,可用动量表象试一下。方程变为,为有利于求解，方程可化为,积分后得

20、,这就是动量表象中S-方程的解。,4.9 处于基态的类氢原子经 衰变，核电荷数突然 由 变为，求原子处于 态的几率。已 知类氢原子定态波函数为,4.10 氢原子处于基态。假定库仑作用在 时突 然消失，电子离开原子像自由电子那样运动。试求 时测量电子动量大小在 内的 几率。,提示：可以认为动量方向是沿z方向，从而有,问题：电子离开原子后，动量分布还会发生变化吗？,4.13 在势场 中粒子处在定态,证明粒子动能 的平均值为；如果 是 的 次齐次函数，证明，并利用此式 计算氢原子基态的。,提示：此时用FH定理是较好的选择，关键是寻找合适的H。,解：中心力场中的波函数为,满足方程,.内存在1/r2,故

21、可将其写为形式,其中,此时可以利用F-H定理。,问题：选择什么作为参数？,答：看本征能量是什么形式,本体系中，,唯有选择l为参数,利用,将以上两式代入得,4.17 氢原子处在基态，求 的 平均值及动量的几率分布函数，并通过 计算 来检验测不准关系。,4.23 一个质量为 的粒子在对数势场 中运动，式中 与 是同质量 无关的常数。(1)证明在所有态上均方速度相同，求出此均方 速度；(2)证明任何两定态能量之差同粒子质量无关。,讲课时讲过此题，考虑用位力定理和F-H定理。,证明：,1),为能量本征态。由位力定理,但,所以,或,由此得,且,2),由F-H定理，得,积分得,所以,这是与m无关的常数量。

22、,4.25 设一微观粒子在中心力场 中运动且处于能 量和角动量的某一共同本征态。(1)在球坐标系中写出能量本征函数的基本形式，写出势能 在此态上的平均值 的表达 式，并最后表成径向积分的形式；(2)设 是 的单调上升函数(即对任意，有)证明对任意给定的，均有 其中 是径向波函数。,对于，我们注意到,因此，在 是 的单调上升函数的前提下，无论 取任何有限值，必定有,解:(2)由于 是 的单调上升的函数，故总可以 找到某个,使得.对于,显然有,4.26 在 时，氢原子的波函数为 其中下标分别是量子数 的值，忽略自旋 和辐射跃迁。(1)求体系的平均能量；(2)在任意 时刻体系处于 态的几率是多 少？(3)在任意 时刻体系处于 态的几率是多少？(4)写出任意 时刻体系的波函数。,4.27 质量为 电荷为 的粒子在均匀定常磁场中 运动，取不对称规范：为磁场的大小，则可知 是守恒量。证明下面的量：也为守恒量。请问它与 是否可以同时被观测？,