《数学分析》课件(完整版).ppt
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1、目录,第十章 数项级数 5 无穷级数与代数运小结第十一章 广义积分 1 无穷限广义积分2瑕积分 第十二章 函数项级数 第十三章 幂级数 1 幂级数的收敛半径与收敛区域2幂级数的性质 3 函数的幂级数展开小结第十四章 傅立叶级数 1 三角级数与傅立叶级数2 傅立叶级数的收敛性 3任意区间上的傅立叶级数小结第十五章多元函数的极限与连续性 1 平面点集2 多元函数的极限与连续性,目录,第十六章 偏导数与全微分 1 偏导数与全微分的概念2 复合函数微分法 3 几何应用4 方向导数 5 泰勒公式小结第十七章 隐函数存在定理 1 单个方程的情形2 方程组情形第十八章 极值与条件极值 1 极值与最小二乘法2
2、 条件极值及Lagrange乘数法第二十章 重积分 1 重积分的概念2 重积分化累次积分 3 重积分的变量代换4 曲面面积第二十一章 曲线积分与曲面积分 1 第一型曲线积分与曲面积分 2第二型曲线积分与曲面积分第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 1各种积分间的关系2积分与路径无关 3场论初步第十七章第二十二章的小结附录:二次型,第十章 数项级数,5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律,如结合律,交换律,分配律,在无穷和中均不成立。具体地,我们有下面的一些结论。,定理 10.19 若级数 收敛,其和为,为自然数列,则 亦收敛于,1.结合律,对于收敛级数,可任意加括号,即,2.交换律,仅仅对
3、于绝对收敛的级数,交换律成立而对于条件收敛的级数,是靠正负抵消才可求和的,故重排后结果将任意。可见,绝对收敛才是真正的和。,定理 10.19 若级数 绝对收敛,其和为,设 为 的任意重排,则 亦绝对收敛,且和仍为,定理 10.21(Riemann),若级数 条件收敛,则经适当重排后,可使其和为任意的实数,或,或既不收敛,亦不发散于。,3.分配律,同样的,仅仅对于绝对收敛的级数,交换律成立,定理 10.22(Cauchy)若级数,绝对收敛,其和分别为,则它们各项之积 按任意方式排列后所得的级数亦绝对收敛,且和为,第十一章 广义积分,1 无穷限广义积分,定积分的两个限制,积分区间的有界性被积函数的
4、有界性实践中,我们却经常要打破这两个限制。如:关于级数收敛的Cauchy积分判别法;概率统计中,随机变量的空间通常是无限的;第二宇宙速度;物理中的 函数;量子运动;,无穷限积分的定义,设函数 在 有定义,在任意有限区间 上可积。若 存在,则称之为 在 上的广义积分,记为 此时亦称积分 收敛;若 不存在,则称积分 发散。,P.S.为一符号,表示的是一无穷积分;而当它收敛时,还有第二重意义,可用来表示其积分值。,1.2.当,均收敛时,定义 显然,的值与 的选取无关。,类似地,我们可以给出其它无穷积分的定义:,常用积分线性:当,均收敛时,,Chauchy 收敛原理,收敛 TH11.2 收敛 收敛。D
5、ef.绝对收敛 收敛;条件收敛 发散而 收敛。,比较判别法I(直接比较),设函数 在 有定义,在任意有限区间 上可积,(1)若,当 时,则 收敛 收敛;(2)若,当 时,则 发散 发散。,比较判别法II(用极限比较),设函数 在 有定义,在任意有限区间 上可积,且(1)若,则 收敛 收敛;(2)若,则 发散 发散。,比较判别法III(与 比较),设函数 在 有定义,在任意有限区间 上可积。(1)若 则 收敛;若 则 发散。(2)若 则 时 收敛,时 发散。,特别地,我们若可利用Taylor公式,求得,则,时 收敛,时 发散,时,只能于 时推得 收敛。,Question,我们将参照物取为幂函数,
6、而有了上述的比较判别法;那么,将参照物取为指数函数,结果又如何呢?无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法,都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性;而且,我们还有Cauchy积分判别法,使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么,是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢?某些结论不能推广的原因是什么呢?,积分第二中值定理,设 在 上可积,在 上单调,则 特别地,若 单调上升且,则 若 单调下降且,则,几何解释(情形),两个收敛判别法,(Dirichlet)(Abel),两个有用的结果,习题(P.57),1.(2)(4)(5)2.(1)(9)(10
7、)(14)(16)3.(1)(3)(5)9.,2 瑕积分,Def 11.2设函数 在 有定义,在任意区间 上可积,在 无界。若 存在,则称瑕积分 收敛,且积分值为该极限值,记为 若 不存在,则称瑕积分 发散。,P.S.发散时只是一个符号,不表示一个数值。,1.若 为瑕点,2.若 为瑕点,则当,均收敛时,定义,类似地,瑕点非左端点的瑕积分的定义为:,常用积分线性:当 瑕积分,均收敛时,,暇积分与无穷限积分的关系,设 有唯一瑕点,令,我们有如是,我们可以将无穷限积分的性质推广至瑕积分中来。下面,我们不加证明地把关于瑕积分的收敛判别法列举出来。,Chauchy 收敛原理,设 有唯一瑕点 收敛 TH1
8、1.2 收敛 收敛。Def.绝对收敛 收敛;条件收敛 发散而 收敛。,比较判别法I(直接比较),设 有唯一瑕点(1)若,当 时,则 收敛 收敛;(2)若,当 时,则 发散 发散。,比较判别法II(用极限比较),设 有唯一瑕点 且(1)若,则 收敛 收敛;(2)若,则 发散 发散。,比较判别法III(与 比较),设 有唯一瑕点(1)若 则 收敛;若 则 发散。(2)若 则 时 收敛,时 发散。,设 有唯一暇点,(Dirichlet)(Abel),习题(P.64),1.2.(1)(3)(9)(11)(12)3.(1)(7)4.(2)5.(1),第十二章 函数项级数,对于非初等函数,我们通常可以将之
9、表为函数项级数的形式。在本章中,我们主要研究这类函数的连续性,可导性及可积性。,考虑,定义,和函数的连续性,可积性条件,若 在 连续,在 一致收敛于,则(1)在 连续;(2)即此时无穷和与极限,积分均可交换。,和函数的可导性,若 在 有连续的微商,在 逐点收敛于,在 一致收敛于,则即此时无穷和与求导可交换。,第十三章 幂级数,幂级数应用非常广泛,比如:概率统计的离散型随机变量;利息理论(利息理论在化学,生物,医学,考古,金融,贸易等诸多领域应用非常广泛),1 幂级数的收敛半径与收敛区域,幂级数:形如 的级数,其中常数 称为幂级数的系数。Remark:1.作平移 后,级数可化为 故我们以后只研究
10、形如 的幂级数;2.幂级数必须严格按升幂排序,如 并非幂级数。,Abel第一定理,若幂级数 在点 处收敛,则当 时,绝对收敛;若 在点 处发散,则当 时,发散。,收敛半径,Th 13.2对任意幂级数 在 时绝对收敛,在 时发散,称此 为 的收敛半径。Th 13.3 若 满足 则 的收敛半径(约定:),习题(P.98),1.(6)(8)(9)(10)(11)(14)(16),2幂级数的性质,(Abel 第二定理)设幂级数的收敛半径,有(1)幂级数在 一致收敛;(2)若幂级数在 收敛,则幂级数在 一致收敛;(3)若幂级数在 收敛,则幂级数在 一致收敛。,幂级数的连续性,可导性,可积性,设 的收敛半
11、径为,则(1)在 连续,任意次可微,且逐项 可微,逐项可积。即,且(*),(*)的收敛半径仍为。(2)若 在 时收敛,则 在 连续。,习题(P.102),3.(1)(3)(7)(10)5.(1),3函数的幂级数展开,若幂级数 在 收敛到,即 则称 在 可以展开为幂级数。类似地,若 则称 在 可以展开为幂级数。,幂级数展开的唯一性,(1)若 在 可展开为幂级数 则(2)若 在 可展开为幂级数 则,通常称 为 的Maclaurin级数,为 在 点的Taylor级数。,Recall,若 在 无穷次可微,则有 Taylor 公式 其中,幂级数展开的条件,(充要条件)(必要条件)无穷次可微(充分条件)若
12、 的各阶微商在 一致有界,即 则,常用Taylor级数,Question,对于展式(N)证明:当 时,收敛域;当 时,收敛域;当 时,收敛域为。,习题(P.110),1.(1)(2)(8)(10)(14)3.(1)(4)4.,第十四章 傅立叶级数,Fourier级数是Fourier在研究热学时引入的,现今在光学,电磁学,辐射等方面已必不可少,另外,在近代概率论,分形理论中也有重要的应用。,1三角级数与傅立叶级数,我们尝试将 展为因为,均以 为周期,故我们先讨论以 为周期的。命题 1若 周期为,则对任意的,有,三角函数系,Def.三角函数系为集合Th 14.1三角函数系中任意两个不同函数的乘积,
13、在区间 上的积分为 0,即,函数空间的直角坐标系,于是,倘若我们在某类以 为周期的函数空间中定义内积,使对任意的以 为周期 的函数,有 则三角系中的函数是两两正交的。留意到 我们可以把三角函数系单位化,使之成为某类函数空间的单位正交系,如下,究竟是什么函数空间的直角坐标系呢?,三角级数的唯一性 若 为该函数空间的一函数,即有表式 并不妨设右边三角级数在 一致收敛,则,于是,为了让所有,都可定义,则 必须在 可积;倘若 有瑕点,则 必须绝对收敛。我们把满足以上条件的 称为在 绝对可积,记为。,Def 14.1,设 以 为周期,且。则由公式 所定义的,称为 的Fourier系数,称 为 的Four
14、ier级数,记为,Remark,并不意味着,后者成立包含两重意思:右边级数收敛且收敛于,前者仅表示 的Fourier级数为右边级数,而右边级数甚至可能不收敛。,习题(P.118),2.(1)(4)(5)(8)(10)3.,2傅立叶级数的收敛性,Def 称 在 逐段可微,若 可分为有限个区间,使得 在每个开区间 内可导,而在区间的端点有左右极限(在 点只有右极限,在 点只有左极限),且对任意 下两极限存在:,设 以 为周期,且在 满足 阶Lipschitz条件,即存在 与常数,使得 则 的Fourier级数在 收敛到。,Lipschitz判别法,Corollary 1设 以 为周期,且在 有左右
15、导数,则 的Fourier级数在 收敛到。,设 以 为周期,且在 逐段可微,则 的Fourier级数在 的连续点收敛到,在 的不连续点收敛到,Th 14.5,1875年,Weierstrass构造了第一个处处连续而处处不可微的函数:其中 为正奇数,满足,Example:设 以 为周期,且,则,Th 14.6(Fourier级数逐项可积性),设 以 为周期,且在 内除有限个可去间断点或第一类间断点外是连续的,且 则(1)收敛;(2)R,有,习题(P.140),1.(2)2.,3 任意区间上的傅立叶级数,设 以 为周期,且。则由公式 所定义的,称为 的Fourier系数,称 为 的Fourier级
16、数,记为,对于只定义于 的函数,若令 则化为定义于 上的 了。故下面我们只讨论定义于 的。,偶延拓,令 及 可将 延拓为 上的以 为周期的偶函数。Remark:若 在 连续,则 在 连续。,余弦级数,则 其中 Remark:若 在 逐段可微,则(在 的不连续点,上式理解为)限制回,得,奇延拓,令 及 可将 延拓为 上的以 为周期的函数。Remark:若 在 连续,则只有当 时,在 连续。,正弦级数,则 其中 Remark:若 在 逐段可微,则(在 的不连续点,上式理解为,特别地)限制回,得,习题(P.146),6.,第十五章 多元函数的极限与连续性,1平面点集,在直角坐标系中,平面上的每一个点
17、 可以与一个有序实数对 一一对应,其中 分别为 的横坐标与纵坐标。平面上两点,间的距离定义为 它满足(1)(2)(3)(三角不等式),集合,平面上的所有满足性质(P)的点所组成的集合可表为:如:的 圆邻域:的 方邻域:的 空心圆邻域:的 空心方邻域:,设 为平面点集,(1)内点:,(2)外点:,(3)边界点:,(4)聚点:,性质,Question,集合的拓扑类型,Question,请判断下列集合的类型:,Def 15.1,设 为平面点集,其中则,Cauchy收敛原理,点列 收敛,致密性定理,Def 15.2点集 有界,性质:点列 有界 有界.,Th 15.2有界点列必有收敛子列。,矩形套定理,
18、设 为平面上的闭矩形套序列,满足:则 即,Borel有限覆盖定理,Th 15.4设 为平面上的有界闭集,为 的覆盖,则 中存在有限开集,Def 15.3设 为开集族,称 为集合 的覆盖,若 即,Question,Borel有限覆盖定理表示有界闭集是紧致的。请问:有界与闭,两个条件都是必不可少的吗?,习题(P.164),2.3.4.,P.165.3(6),2 多元函数的极限与连续性,Def 15.4设 为平面点集,为对应关系,使,按对应关系,有唯一实数 与之对应,则称 为定义于 上的二元函数,记为 称 为函数 的定义域,为 的自变量,为因变量,为 的值域。习惯上记为或称 为函数 的图形。,椭圆抛
19、物面,锥面,半球面,双曲抛物面(马鞍面),双曲抛物面(马鞍面),平面,如此类推,元函数 是指从集合 到R中的对应关系。,二元函数的极限,Def 15.5设 在 某空心邻域有定义,为某确定常数。若 当 则 称 为 在 的极限,记为 或,Remark 在 某空心邻域有定义,可减弱为 为 定义域的聚点。,的等价定义,Remark,Heine定理,设 在点 某空心邻域 有定义,则 当且仅当对于 中的点列,若,必有,累次极限,我们考虑两种特别的路径。设 在 某空心邻域有定义。先固定,令,若 存在,记为 再令,若 存在,记为,则称 为 先对 后对 的累次极限,记作类似可定义,先对 后对 的累次极限,Que
20、stion,请判断以下推断是否正确:,全面极限与累次极限的关系,反之不然.,(2)Th 15.6若,二元函数的连续性,Def 15.6设 定义域为,则 在 点连续,Th 15.7(复合函数的连续性)设 在 连续,在 连续,则 在 点连续。,介值定理及一致连续,(介值定理)若 在区域 上连续,则 满足,(介值定理)若 在 上连续,则 将 中的连通集映为R中的连通集.,(一致连续)称 在集合 上一致连续,若当 时,,有界闭区域上连续函数的性质,(有界性定理)若 在有界闭区域 上连续,则 在 上有界。,(最值定理)若 在有界闭区域 上连续,则 在 上可达到最大值和最小值。,(一致连续性定理)若 在有
21、界闭区域 上连续,则 在 上一致连续。,习题(P.177),1.(1)(3)2.(3)(4)(5)(6)(12)(14)3.(1)(2)(4)(8)7.(1)(3)(4)(6)(7),第十六章 偏导数与全微分,1 偏导数与全微分的概念,1.偏导数,Def 16.1设函数 在 的某邻域有定义。将 固定为,若 存在,则称该极限值为 在 处关于 的偏导数,或偏微商,记作 或 类似地,若 存在,则称之为 在 处关于 的偏导数,或 偏微商,记作 或,几何意义,求偏导 的方法,(2)将 代入 中,再求,(1)将 看作常数,将 对 求导,求出,再将 点代入;,(3)一个小技巧:利用变元的旋转对称性。,连续与
22、偏导的关系,Q1:若 均存在,那么 一定在 连续吗?,Q2:若 在 连续,那么 一定存在吗?,两者均不然。Remark:分别反映了 在 方向的变化率,而连续性反映的是 在所有方向上的性质。,2.全微分,Def 16.2设 在 的某邻域有定义。若 的全增量 在 可表为 其中 只与 有关,而与 无关,则称 在 点可微,并称 为 在 点的全微分,记作 即 若 在区域 内任一点可微,称 在 内可微。,Remark(1)即 为 的线性主要部分.,(2)可表为 其中,3.连续,可导,可微之间的关系,Th 16.1若 在 点可微,则 在 连续。,Th 16.2若 在 点可微,则,存在,且,特别地,对于,,连
23、续,可导,可微之间的关系,Question若 存在,则 是否一定在 可微呢?,更一般地,对于 元函数若可微,则,连续,可导,可微之间的关系,Th 16.3若 在 某邻域内存在,且在 点连续,则 在 可微。,由,Th 16.3 可减弱为:若 存在,在 点连续,则 在 可微。,利用,进行近似计算。,4.高阶偏导数与高阶全微分,的二阶偏导数有四个,分别为:,同理可定义 的二阶以上的偏导数,如:,等.,往后,以 标记在区域 内所有 阶偏导数均存在且连续的函数集合。,Question:若 均存在,那么是否有,Th 16.4若 均在连续,则,Remark:P.194.19 给出了关于二阶偏导可交换次序的一
24、个条件更弱的结果,请大家自行证明。,高阶全微分,对于,若 均连续,有,形式上,可记为,类似地,若 则,习题(P.193),4.5.(1)8.15.16.(1)18.,2复合函数微分法,Th 16.5(复合函数求导的链式法则)设,若 在点 的所有偏导存在,又 在 的对应点 可微,则复合函数在点 的偏导数存在,且,隐函数微分法我们将在下一节介绍空间曲线,曲面的几何特征时捎带在予介绍。,Remark,(1)可用树表为:其中,每个变元所生成的枝点为此变元所依赖的所有变元。那么,为由 至 的所有路径之和。,Remark,(2)在 可微条件必不可少.,(3)类似地,对于,有,复合函数的全微分,(1)一阶全
25、微分的形式不变性.即无论 为中间变元或最终变元,对 都有,性质:,(2)二阶全微分无形式不变性.若 为最终变元,则;若 为中间变元,一般有,(3)求偏导的微分法,习题(P.208),1.(2)(5)9.,3几何应用,1.空间曲线的切线与法平面,过 点,垂直于 的平面 方程为:,Recall 过 点,平行于 的直线 方程为:,当 时,直线 意味着 即直线方程为,Assumpsit,设空间曲线 为 上一点。,以参数方程给出的曲线,可见,曲线 在 点的切方向 平行于,又因为 平行于,故 平行于,于是,曲线 在 点的切线方程为,以两曲面交线给出的曲线,设空间曲线 为 上一点。设上方程组在 的某邻域内能
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