平面向量的坐标运算.ppt

《平面向量的坐标运算.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量的坐标运算.ppt（36页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、4.2 平面向量的坐标运算基础知识 自主学习要点梳理1.两个向量的夹角（1）定义 已知两个 向量a和b,作OA=a，OB=b，则 AOB=叫做向量a与b的夹角.(2)范围 向量夹角的范围是,a与b同向 时，夹角=;a与b反向时，夹角=.,非零,0180,0,180,(3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记 作.2.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理 定理：如果e1,e2是同一平面内两个 的向 量，那么对于这一平面内的任一向量a,一对实数1,2,使a=.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组.,90,ab,不共线,有且只有,1e1+2e2,基

2、底,(2)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1e1+2 e2的形式，我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直 线 时，就称为向量a的正交分解.(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面上的 向量a,有且只有一对有序实数x,y,使a=xi+yj,把有 序数对 称为向量a的（直角）坐标，记作a=，其中 叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上 的坐标.,互相垂直,(x,y),(x,y),y,x,设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是终 点A的坐标，即若OA=，则A点坐标为,反之亦成立.（O是坐标原点

3、）3.平面向量的坐标运算（1）加法、减法、数乘运算（2）向量坐标的求法 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量 的坐 标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线 a=.,(x,y),(x,y),终点,始点,b,x1y2-x2y1=0,基础自测1.（2010镇江调研）若向量a=(1,1)，b=(1,-1),c=(-2,1),则c=（用a,b表 示）.解析 设c=xa+yb,则（-2，1）=x（1，1）+y（1,-1）=(x+y,x-y),c=.,2.（2008安徽理

4、）在平行四边形ABCD中，AC为 一条对角线，若AB=（2，4）,AC=（1，3）,则 BD=.解析 如图所示，AD=BC=AC-AB=(-1,-1)，所以BD=AD-AB=（-3，-5）.,（-3，-5）,3.设a=b=且ab，则锐角x 为.解析 a=b=且ab,sin xcos x-=0,即 sin 2x-=0,sin 2x=1.又x为锐角，2x=,x=.,4.（2009湖北改编）若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=（4，2），则c=.解析 设c=a+b=（-,+）=(4,2)-=4,=3+=2,=-1 c=3a-b.,3a-b,典型例题 深度剖析【例1】如图，P是ABC内一点，且

5、满 足条件AP+2BP+3CP=0，设Q为CP 的延长线与AB的交点，令CP=p，试 用p表示CQ.选取BQ，QP两不共线向量作基底，运 用化归思想，最终变成xe1+ye2=0的形式求解，其中把题中向量用基底表示是关键.解 AP=AQ+QP，BP=BQ+QP，（AQ+QP）+2（BQ+QP）+3CP=0，AQ+3QP+2BQ+3CP=0，,分析,又A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，AQ=BQ，CP=QP，BQ+3QP+2BQ+3QP=0，（+2）BQ+(3+3)QP=0.而BQ，QP为不共线向量，+2=0,3+3=0,=-2,=-1.CP=-QP=PQ.故CQ=CP+PQ=2CP=2p.

6、,跟踪练习1 设两个非零向量e1和e2不共线.如果AB=e1-e2，BC=3e1+2e2，CD=-8e1-2e2，求证：A、C、D三点共线；证明 AB=e1-e2，BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,AC=AB+BC=4e1+e2=-（-8e1-2e2）=-CD,AC与CD共线，又AC与CD有公共点C，A、C、D三点共线.,【例2】（2009广东改编）已知平面向量a=（x,1）,b=（-x,x2），则向量a+b平行于.解析 a=(x,1),b=(-x,x2),a+b=(0,x2+1).由1+x20及向量的性质知a+b平行于y轴.,y轴,跟踪练习2（2009宁夏海南改编）已知a=(-3

7、,2),b=(-1,0)，向量a+b与a-2b垂直，则实数 的值为.解析 a=(-3,2),b=(-1,0),a+b=(-3-1,2),a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）.由（a+b）(a-2b),知4+3+1=0.=-,【例3】已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且uv，求实数x的值.两个向量共线的充要条件在解题中具有 重要的应用，一般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值，则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2-x2y1=0”比较简捷.解 因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,

8、所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3),又因为uv，所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即10 x=5,解得x=.,分析,跟踪练习3 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题：（1）若（a+kc）(2b-a)，求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.解（1）（a+kc）（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.（2）d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a

9、+b)且|d-c|=1,4(x-4)-2(y-1)=0(x-4)2+(y-1)2=1,【例4】(14分)已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四 边形的第四个顶点D的坐标.“以A、B、C为顶点的平行四边形”可以 有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；（3）ABDC.解题示范 解 设D的坐标为（x,y）.(1)若是ABCD，则由AB=DC得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),分析,D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.4分（2）若是ADBC，则由AD=CB得（x，y）-（1，0）=（0，2）

10、-（-1，-2），即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.D点坐标为（2，4）（如图中的D2）.8分（3）若是ABDC，则由AB=CD得（0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.,D点的坐标为（-2，0）（如图中的D3）.12分综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.14分,跟踪练习4 已知点A（-1，2），B（2，8）以 及AC=AB，DA=-BA，求点C、D的坐标 和向量CD的坐标.解 设点C、D的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2),由题意得AC

11、=（x1+1,y1-2）,AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为AC=AB,DA=-BA,所以点C、D的坐标分别是（0,4）,（-2,0）,因此CD=（-2，-4）.,思想方法 感悟提高高考动态展望平面向量的坐标运算法则是运算的关键，也是历年高考考查的一个重点内容.平面向量的坐标运算可将几何问题转化为代数问题，运用它可以解决平面几何（如解三角形）、三角函数和解析几何中的一些问题，突出对数形结合思想的考查.,方法规律总结1.坐标的引入使向量的运算完全代数化，成了数形 结合的载体，也加强了向量与解析几何的联系.2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.在处理分

12、点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内 分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：AP=2PB或AP=-2PB.3.中点坐标公式：P1（x1,y1）,P2(x2,y2),则P1P2的 中点P的坐标为 ABC中,若A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,则 ABC的重心G的坐标为,定时检测一、填空题1.（2009天津汉沽一中模拟）已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),则向量 a-b=.解析,(-1,2),2.(2010湖南衡阳四校联考)已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+nb与a-2b共线，则.解析 ma+

13、nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1).由于ma+nb与a-2b共线，则有 n-2m=12m+8n，,3.(2009宁夏、海南改编)已知a=(-3,2),b=(-1,0)，向量a+b与a-2b垂直，则实数的值 为.解析 a=(-3,2),b=(-1,0),a+b=(-3-1,2),a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）.由（a+b）(a-2b)知4+3+1=0.=,4.（2009湖北理改编）已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR，Q=b|b=(1,1)+n(-1,1),nR 是两个向量集合，则PQ=

14、.解析 P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR=a|a=(1,m),Q=b|b=(1-n,1+n),nR,a=b=(1,1),PQ=(1,1).,(1,1),5.（2009山东潍坊一模）已知向量a=b=（x，1）,其中x0,若（a-2b）（2a+b）,则x的值为.解析 a-2b=(8-2x,x-2),2a+b=(16+x,x+1),由已知（a-2b）(2a+b),显然2a+b0，故有（8-2x,x-2）=(16+x,x+1)8-2x=(16+x)x-2=(x+1)，解得x=4(x0).,4,即,6.（2010泰州模拟）已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b(a+b)，则实数的值是

15、.解析 a+b=(2,4)+(1,1)=(2+,4+).b(a+b),b(a+b)=0,即(1,1)（2+,4+）=2+4+=6+2=0,=-3.,-3,7.（2008辽宁文）已知四边形ABCD的顶点 A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且 BC=2AD，则顶点D的坐标为.解析 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设D（x，y),AD=(x,y-2),BC=2AD,(4,3)=(2x,2y-4).x=2,y=.,8.（2009辽宁改编）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC.已知A（-2,0）,B（6,8

16、）,C（8,6）则D点的坐标为.解析 设D点的坐标为（x,y）,由题意知BC=AD,即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,D(0,-2).,(0,-2),9.（2009浙江改编）已知向量a=（1，2），b=(2,-3).若向量c满足（c+a）b,c(a+b),则c=.解析 设c=（x,y）,则c+a=(x+1,y+2),又（c+a）b,2(y+2)+3(x+1)=0.又c（a+b）,(x,y)（3，-1）=3x-y=0.解得x=,y=,二、解答题10.（2009江苏金陵中学三模）已知A（-2，4）、B（3,-1）、C（-3,-4）且CM=3CA,CN=2CB,求点M、N及MN的

17、坐标.解 A（-2,4）、B（3,-1）、C（-3,-4）,CA=（1，8），CB=（6，3），CM=3CA=（3，24），CN=2CB=（12，6).设M（x，y），则有CM=（x+3，y+4），x+3=3 x=0 y+4=24，y=20,M点的坐标为（0，20）.,同理可求得N点坐标为（9，2），因此MN=（9，-18），故所求点M、N的坐标分别为（0，20）、（9，2），MN的坐标为（9，-18）.,11.（2010江苏丹阳高级中学一模）已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）.设 AB=a，BC=b，CA=c，且CM=3c，CN=-2b，（1）求3a+b-3c；（2）求满足

18、a=mb+nc的实数m，n.解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).（2）mb+nc=（-6m+n，-3m+8n），-6m+n=5 m=-1-3m+8n=-5 n=-1,，解得,.,12.（2010山东济宁模拟）在ABCD中，A（1，1），AB=（6，0），点M是线段AB的中 点，线段CM与BD交于点P.（1）若AD=（3，5），求点C的坐标；（2）当|AB|=|AD|时，求点P的轨迹.解（1）设点C的坐标为（x0，y0）,又AC=AD+AB=（3，

19、5）+（6，0）=（9，5）,即（x0-1,y0-1）=（9，5），x0=10，y0=6，即点C（10，6）.（2）由三角形相似，不难得出PC=2MP 设P（x,y），则,BP=AP-AB=（x-1，y-1）-（6，0）=（x-7，y-1）,AC=AM+MC=AB+3MP=AB+3（AP-AB）=3AP-AB=（3（x-1），3（y-1）-（6，0）=（3x-9，3y-3），|AB|=|AD|，ABCD为菱形，ACBD.ACBP，即（x-7，y-1）（3x-9，3y-3）=0.即（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，x2+y2-10 x-2y+22=0（y1）.（x-5）2+（y-1）2=4（y1）.故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.,返回,