《高等动力学》PPT课件.ppt
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1、多刚体系统动力学是60年代在经典力学基础上发展起来的力学新分支。它是航空航天器、机器人、车辆、兵器与机构等复杂机械系统的力学模型。研究多刚体系统动力学主要基础工作是刚体动力学。通常所说的刚体动力学,其主要内容是研究刚体绕定点的运动。刚体绕定点运动是从十八世纪开始研究的。由于航海事业的发展,首先提出了关于船舶摇摆运动规律的问题。陀螺仪作为控制系统中的量测元件或执行元件已广泛用于航空、航海与航天技术中。此外,刚体动力学领域还重点研究了含有陀螺效应的各种系统的共同特性,从而形成了陀螺耦合系统动力学和转子动力学。,机械学院,机械学院,刚 体 动 力 学,自从1957年人类首次发射人造地球卫星以来,航天
2、技术(卫星、飞船、空间站等)发展得十分迅速,因而形成了一门新的新兴学科,它主要包括轨道力学及姿态动力学。其研究对象从刚体动力学模型过渡到变形体或混合系统的力学模型。刚体动力学的范畴的实例包括机器人、航天器、跳高运动员、体操及跳水运动员的空翻动作模拟及宇航员在太空的动作规范等,因此,通常将以上研究对象简化成若干刚体铰接而成的树状结构。形成了多体系统动力学问题。目前,研究多刚体系统动力学的各种方法很多,研究的课题多在带有挠性部件的多体系统上。并且进展很快。,机械学院,机械学院,刚 体 动 力 学,玩具陀螺,刚体的定点运动,第1章 刚体运动学,机械学院,刚 体 动 力 学,行星锥齿轮,机械学院,刚
3、体 动 力 学,玩具陀螺,陀螺仪,机械学院,刚 体 动 力 学,玩具陀螺,科学家称之为陀螺的“定轴性”。飞机上的方向仪就叫“陀螺罗盘”。鱼雷上的“陀螺自动操纵舵”。军舰艇上的航海陀螺罗盘 火箭上的陀螺导航仪 现在的各种导弹中的控制系统或自动驾驶仪,也是采用了类似的陀螺仪来使导弹保持“平衡”状态。为了克服摩擦:在真空中悬浮的陀螺、液体中悬浮的流体陀螺、振动陀螺、原子陀螺、激光陀螺、液浮陀螺、静电陀螺、动压陀螺及定向精度高的动力调谐陀螺仪等 陀螺理论也在飞速发展。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.1 刚体定点运动的运动方程,研究刚体定点运动首先要确定刚体在空间的位置。建立静坐标系Oxyz和随体坐
4、标系Oxyz。随体坐标系的任一根轴(轴Oz)相对Oxyz的位置,可由三个方向角1、2、3确定,此三个角不是独立的,图1-2 图1-3,再确定随体坐标系相对定坐标系绕Oz轴的转角4,则随体参考系相对固定参考系的位置将唯一地确定。,机械学院,刚 体 动 力 学,确定随体坐标系的位置需要三个独立的参数,或三个广义坐标,给出任意瞬时的随体坐标系Oxyz和定坐标系Oxyz。Oxyz系的Oxy平面与Oxyz系的Oxy平面的交线ON称为节线。刚体的位置可由图示的、和三个角唯一地确定:,图1-4,进动角xON,章动角zOz,自转角NOx。、和统称为欧拉角。,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动
5、力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,这个连续转动的特点是,任一角度的大小变化均不影响其它二个角度之值,是彼此独立的三个角度;若在下列范围内改变、和角的数值,可得到刚体可能具有的任意位置:,刚体作定点运动时,欧拉角、和是时间的单值连续函数,可分别表示为,这就是定点运动刚体的运动方程。,机械学院,刚 体 动 力 学,定点运动刚体从某一位置移动到另一位置的位置变化称为有限位移。,欧拉角(、)是顺序分别转过、角有限位移到达。这三个有限位移的顺序是不能改变的。定点运动刚体有限位移的这一特性称为定点运动刚体有限位移顺序的不可交换性。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.2 刚体定点运动的有限位移与无限小位
6、移,1刚体定点运动的有限位移,机械学院,刚 体 动 力 学,定量分析,随体坐标系Oz轴转过角后,此时,刚体上任意一点M在固定参考系Oxyz中的坐标为,写为矩阵形式,令,称为方向余弦矩阵。,机械学院,刚 体 动 力 学,同理,绕轴ON(或Ox1)转过角(图17b),随体参考系到达Ox2y2z2所示位置,刚体上任意一点M在两个参考系中的坐标有下列关系:,令,机械学院,刚 体 动 力 学,同理,若刚体继续绕轴Oz2转过角至Ox3y3z3所示位置,则刚体上M点在Ox2y2z2与Ox3y3z3两个参考系中的坐标有下列关系:,令,机械学院,刚 体 动 力 学,此时,随体参考系变化到了Ox3y3z3位置,刚
7、体上任意一点M在固定参考系Oxyz中的坐标为,令,上式可写为,机械学院,刚 体 动 力 学,如果已知刚体的连体坐标系相对定参考系的欧拉角,则可以计算出刚体的连体坐标系相对定参考系的方向余弦矩阵;反过来,如果已知刚体的连体坐标系相对定参考系的方向余弦矩阵,那么反解矩阵方程,则可得到确定其欧拉角的几个表达式,即,其中,cij表示方向余弦矩阵C(,)中的第i行的第j列元素(i,j=1,2,3)注意求得的欧拉角将是多组解,但各组解的刚体位置是相同的,因此,只选择其中的一组解。,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-1 设有一OAB由图(a)所示的位置绕点O运动至图(b)所示的位置,图中固定坐标系为Oxy
8、z和随体坐标系为Oxyz。求OAB运动至图(b)所示的位置时,其连体坐标系相对固定坐标系的欧拉角。,机械学院,刚 体 动 力 学,解:由图(b)所示的几何关系可以看出,其连体坐标系相对固定坐标系的方向余弦矩阵为,由式中的第一、二式,得到,章动角为,机械学院,刚 体 动 力 学,进动角为=,自转角为,欧拉角为,机械学院,刚 体 动 力 学,2。刚体定点运动的位移定理(达朗贝尔欧拉定理)随体坐标系由最初位置至任一位置,可依次转过三个欧拉角达到,下面将证明上述有限位移可通过一次转动而实现。位移定理:定点运动的刚体,从某一位置到达另一位置的任何位移,可以绕着通过其定点的某一轴作一次有限转动而实现。,大
9、圆弧AB通过定点O的OC*轴经过一次转动角,即可到达A B的位置。,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-2 如图(a)所示为一长方体,初始时其棱边OA,OE,OC分别与Ox,Oy,Oz三轴重合。令此长方体先绕Oz(OC)转过900()到达图(b)所示位置;再绕Oy(OA)转过900()到达图(c)所示位置;,机械学院,刚 体 动 力 学,(a)(b)(c),最后绕轴Ox(OC)转过900()到达图(d)所示位置。显然,长方体通过三次转动所到达的最终位置也可由绕Ol轴一次转过1800而达到,如图(e)所示(其方向矢量l=i+k)。,机械学院,刚 体 动 力 学,(d
10、)(e),事实上,除定点以外刚体上存在一点,在三次坐标变换(转动)后位置不变。,当=900时,C(,)为,代入上式可得,确定的直线方程为(x=z,y=0),机械学院,刚 体 动 力 学,当刚体从某一位置作微小位移,中到达新的位置时,可以认为,变换矩阵可写为,略去矩阵中的二阶微量为,机械学院,刚 体 动 力 学,3、刚体定点运动的无限小位移,相应地,矩阵C(),C(),C()可分别表示为,由此可知,无论按怎样的顺序进行矩阵C(),C(),C()的乘法运算,其乘积在略去二阶微量后均相等。这表明,无论按什么顺序,绕Oz,ON,Oz三轴分别转过微小角度,刚体都将达到同一位置。这一位置同样可以绕过O点某
11、一轴转动一微小角度达到。,机械学院,刚 体 动 力 学,=1+2=2+1,无限小角位移合成定理:刚体绕相交轴的两个无限小转动可以合成一个无限小转动;合成转动的角位移矢等于两个分转动角位移矢的矢量和,与转动的先后次序无关。,机械学院,刚 体 动 力 学,M点到达M点,M点的矢径为,M点到达M点,其矢径为 r=r+r2=r+(2r)=r+1r+2(r+1r)=r+(1+2)r+2(1r)略去二阶微量,则有r=r+(1+2)r(A),根据欧拉定理,由M点到达M点可以通过一次转动无限小角位移来实现,即有r=r+r(B)比较式(A)、式(B),得=1+2,机械学院,刚 体 动 力 学,同理可得=1+2=
12、2+1(F)故无限小转动的合成,遵守加法的交换律。由此可知,无限小位移 是矢量。,设M为刚体上某一点,其矢径为r,当刚体绕轴OA转过时,M的微小位移r可近似地表示为,同时,M点绕Oz,ON,Oz三轴分别转过微小转角,达到同一位置,因此M点的位移为r,则有,由此得到,机械学院,刚 体 动 力 学,1.3 定点运动刚体的角速度及角加速度,刚体的定点运动可以看成按时间顺序,绕通过定点O的一系列瞬轴的瞬时转动。,刚体在瞬时t 绕瞬轴转动的角速度为,方向沿瞬轴OC,指向按右手规则确定。,根据无限小角位移合成定理,即,机械学院,刚 体 动 力 学,向静坐标系各轴投影的矢量形式为,瞬时角速度公式向静坐标系O
13、xyz投影与欧拉角速度的关系为,机械学院,刚 体 动 力 学,定点运动刚体的瞬时角速度公式。,瞬时角速度公式向随体坐标系Oxyz中的投影与欧拉角速度的关系式为,称为欧拉运动学方程,机械学院,刚 体 动 力 学,卡尔丹角:设随体坐标系为Oxyz,刚体绕x轴转角,再绕y1轴转角,最后绕新z轴转角达到所示位置。则、角即称为卡尔丹角。实际上,这三个角在陀螺仪中有明确的物理意义。即为外仪表壳体的转角,简称外环转角;为内环相对外环的转角,简称内环转角;为陀螺转子相对内环的转角,简称转子的自转角。,机械学院,刚 体 动 力 学,卡尔丹角的方向余弦矩阵,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力
14、学,工程上往往只关心z轴(陀螺轴)的运动,取随体坐标系Oxyz与内环相固结,称为陀螺坐标系,令=0,即得陀螺坐标系的方向余弦矩阵C(,)。,卡尔丹角中角速度的矢量式,向随体坐标系Oxyz投影得运动学方程式,同样,可将上式对求解,得到相对卡尔丹角的微分方程式,机械学院,刚 体 动 力 学,在船舶、飞机、火箭及卫星等飞行器中,主要是研究它们的姿态运动,即:它们在参考空间中的方位。并且是通过随体坐标系和定坐标系之间的夹角表示。两个坐标系的原点均取在载体的质心上。,定参考坐标系称为地理坐标系或东北天坐标系。与载体相固结的坐标系称为载体坐标系,,机械学院,刚 体 动 力 学,姿态角:,载体坐标系与定坐标
15、系关系为:将纵轴yC向坐标平面(水平面)上投影得m轴,则纵轴yC与m轴的夹角 称为俯仰角,m轴与N轴的夹角 称为航向角,横轴xC与n轴的夹角 称为倾斜角。角、完全确定了载体的姿态,因而称为载体的姿态角。,机械学院,刚 体 动 力 学,图1-17,2、定点运动刚体的角加速度,机械学院,刚 体 动 力 学,在定点运动中,角加速度矢与角速度矢不共线;在定轴运动中,和则共线,同在转轴上。,角加速度也是一个矢量,其方向沿角速度矢量的矢端曲线的切线方向,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,在任一瞬时,刚体的定点运动既然可以看作是绕瞬轴的转动,就可以应用速度、加速度矢量式求此瞬时定点
16、运动刚体内任一点的速度和加速度。,1.4 定点运动刚体内各点的速度和加速度,1.4.1 矢径法,点M的速度为,点M的加速度为,机械学院,刚 体 动 力 学,刚体定点运动时,刚体内任一点的速度等于绕瞬轴转动的角速度与矢径的矢量积,该点的加速度等于绕瞬轴的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。,结论:,点M的速度为,点M的加速度为,注意到瞬轴上任一点的瞬时速度为零,矢径r和角速度矢必在同一直线上,因此,r和在直角坐标系Oxyz上的投影互成比例。,1.4.2 直角坐标法,1.瞬轴位置的确定,机械学院,刚 体 动 力 学,解析法:先求出瞬轴的位置,再写出速度和加速度在直角坐标系中的投影表达式。
17、,静坐标系中的瞬时转动轴方程,连体坐标系中的瞬时转动轴方程,机械学院,刚 体 动 力 学,2.速度投影的解析式,点M在静坐标系的矢径r为 r=xi+yj+zk,其中,M点的速度在静坐标轴上的投影为,M点的速度为,M点的速度矢量表达式为,机械学院,刚 体 动 力 学,注意:M点相对于静坐标系Oxyz是运动的,所以,M点的坐标x、y、z为时间t的函数。而M点相对于固结在刚体上的随体坐标系Oxyz是固定不动的,所以,M点的坐标x、y、z为定值。,随体坐标系中的矢径r为 r=xi+yj+zk,同理,速度v在连体坐标系Oxyz上的投影为,3.加速度投影的解析式,r=xi+yj+zk,机械学院,刚 体 动
18、 力 学,M点的速度矢量表达式为,其中,M点在静坐标系中的加速度投影解析式。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.4.3 几何法,根据几何关系,判断刚体上除定点O以外速度为零的点C,OC连线即瞬轴。在确定瞬轴的位置后,直接求解各点的速度、加速度的大小和方向。,注意到瞬轴上任一点的瞬时速度为零,则角速度矢必与瞬时轴重合。一般来说,绝对角速度a的作用线就是刚体运动的瞬时轴。,只要找到绝对速度等于零的C点,直线OC是刚体运动到图示位置的瞬轴。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.角速度合成定理,根据点的速度合成定理,有,代入整理得,角速度合成定理:刚体的绝对角速度等于牵连角速度和相对角速度的矢量和。,机
19、械学院,刚 体 动 力 学,这是一种特殊的定点运动。OC为瞬时轴。因为O点的速度为零,vee h22OAC面积,vrr h22OBC面积,OABC是平行四边形,OAC面积OBC面积,所以C点的绝对速度为零。,一般来说,绝对角速度a的作用线就是刚体运动的瞬时轴。,在刚体上取一点M,O点到M点的矢径为r,在刚体绕瞬轴的绝对转动中,M点的绝对速度为,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,2.角加速度合成定理,根据角速度合成定理,有 a=e+r将式求导数,得,即,得到,由泊松公式,角加速度合
20、成定理:刚体的绝对角加速度等于牵连角加速度加相对角加速度再加上牵连角速度与相对角速度的叉积。,注:同一刚体对不同参考系的角加速度之间的关系。,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-3 在图中,锥齿轮、的顶角各为60及30,齿轮固定,齿轮在齿轮上滚动,齿轮一方面绕其中心轴OB转动,同时,OB轴又绕固定轴OA转动,已知OB轴绕OA轴转动的角速度为1,如图所示。求齿轮绕OB轴转动的角速度2及绝对角速度。,机械学院,刚 体 动 力 学,解:瞬时轴应为OD轴,如图所示。,12,,由此可得,根据正弦定律:,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-4 如图所示,一底面半径为R,半顶角为的圆锥体在水平面上作纯滚动。
21、已知中轴线OO绕铅直轴Oz转动的角速度为,求圆锥体底面圆周上任一点B的速度及加速度。,解:1.求点B的速度。,e=,圆锥体在水平地平面上作纯滚动,由角速度图所示的几何关系,机械学院,刚 体 动 力 学,点B的绝对速度,矩阵形式为,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,2 求点B的加速度,由角加速度合成定理,求点B的加速度矢量式为,由于,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-5 刚体作定点运动的角速度在静坐标系上的投影为在瞬时t1s时,刚体内点M的坐标为x=0、y=0.2m、z=0.3m。试求点M在此瞬时的速度和加速度。,解:用直角坐标法求解,在
22、瞬时t=1s时,速度的投影公式,机械学院,刚 体 动 力 学,M点的速度的大小为,得,x=0y=0.2mz=0.3m,机械学院,刚 体 动 力 学,x=0 y=0.2m z=0.3m,由公式求M点的加速度为,其中,t=1s 时,机械学院,刚 体 动 力 学,代入公式得,M点的加速度的大小和方向余弦为,机械学院,刚 体 动 力 学,例1-6 行星锥齿轮轴OA以匀角速度1绕铅直轴OB转动,带动行星锥齿轮A在圆锥支座B上纯滚动,如图示。已知:OAl,OBr,OAOB,求齿轮A上点M的速度和加速度。,机械学院,刚 体 动 力 学,OC为图示瞬时的瞬时转动轴,,解:此机构的几何关系直观明确,可采用两种方
23、法求解。(1)用矢径法求解,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,(2)用几何法求解 OC连线为瞬时转动轴。齿轮绕瞬轴转动的角速度为,常量,转动加速度,机械学院,刚 体 动 力 学,矢径法、几何法求得的结果是一致,a=a1+a2,向轴加速度,M点的加速度,机械学院,刚 体 动 力 学,1.5 刚体的一般运动,机械学院,刚 体 动 力 学,1.5.1 刚体一般运动的运动方程,建立静坐标系Oxyz。以O 为基点,建立平移动坐标系Oxyz建立连体坐标系O,这就是刚体一般运动的运动方程,刚体的一般运动是两种运动的合成。1、平行移动。2、刚体的定点运动。,机械学院,刚 体 动 力
24、学,1.5.2 一般运动的刚体内任一点的速度,由点的速度合成定理,作一般运动的刚体内任一点的速度,等于基点的速度与该点随刚体绕基点转动的速度的矢量和。,机械学院,刚 体 动 力 学,1.5.3 牵连运动为平移时刚体内任一点的加速度,牵连运动为平移时的加速度合成定理,牵连运动为平移时,刚体内任一点的加速度,等于基点的加速度与绕基点作定点转动的加速度的矢量和,机械学院,刚 体 动 力 学,1.5.4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,静坐标系为Oxyz,动坐标系为Oxyz并作一般运动(转动)。动点M在动坐标系中的运动方程为,M点的相对速度和相对加速度,机械学院,刚 体 动 力 学,点的速度合成定
25、理,M点的加速度为,机械学院,刚 体 动 力 学,当牵连运动为一般运动时,动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,机械学院,刚 体 动 力 学,第2章 刚体动力学,在动力学普遍定理和达朗贝尔原理中,分别论述了刚体平移、定轴转动和平面运动的动力学问题。本章将论述定点转动和一般运动刚体的动力学问题。运动学的结论:刚体的一般运动可以分解为随同质心的平移和相对质心的转动。本章的重点:1、刚体绕定点转动运动微分方程 2、绕质心转动
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