等价关系的应用数学毕业论文范文.doc
《等价关系的应用数学毕业论文范文.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等价关系的应用数学毕业论文范文.doc(27页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、装订线 本科生毕业论文(设计) 题目:等价关系的应用 浅谈等价关系在大学数学一些课程中的应用摘 要等价关系作为集合元素之间的一种特殊二元关系,在大学数学多门课程中均有广泛应用,例如数学分析,高等代数,近世代数,离散数学,点集拓扑等基础课程和专业核心课程本文首先从等价关系的两种定义出发,通过等价关系的不同定义其在高等代数中的矩阵合同、相似概念;近世代数中的陪集、商群概念;离散数学中的等值式;图论及点集拓扑中的连通关系、商空间等概念,并讨论这些概念在一些课程中的作用其次,讨论等价关系在高等数学的求解极限中的应用最后,本文讨论了等价关系在大学课程之外的应用拓展关键词:等价关系;相似;陪集;商群;商空
2、间ABSTRACT装订线As a special mutual relation within elements of a set, equivalence relation play an important and wide role in the university mathematics courses, such as mathematical analysis, advanced algebra, modern algebra, discrete mathematics, point set topology and other basic curriculum and the
3、professional core courses. Firstly, from the two definition of equivalence relation, this paper define the concepts of matrix similar in Higher Algebra, the conset quotient groups of modern algebra, equivalent type of the discrete mathematics,connected relation, quotient space concepts of graph theo
4、ry and topology through different equivalence classes and discuss application of these concepts in those courses. Secondly,this paper is using the equivalent relation to solving limit of higher mathematics. Finally, this paper discusses the application development of equivalent relation which is out
5、side of university courses.Key words: equivalence relation ; similar ; conset ; topology of connected relation ; quotient space目 录摘 要IABSTRACTII1引言12基本概念23等价关系与集合分类间的关系43.1由集合分类唯一确定一等价关系43.2等价关系唯一确定一集合分类43.3简单的应用64等价关系在几门课程中的应用74.1数学分析中的等价关系74.2高等代数中的等价关系94.2.1初等变换94.2.2矩阵的相似104.2.3矩阵的合同104.3等价关系在离散
6、数学中的引出的新概念114.4等价关系在近世代数中的引出的新概念134.4.1陪集134.4.2商群154.5等价关系在点集拓扑中的引出的新概念154.5.1商空间154.5.2连通分支164.5.3道路连通空间175等价关系的发展以及应用拓展186小结20参考文献21致谢221 引言大学四年,在开设的数学与应用数学基础、核心课程中,我们发现,大多课程都是以集合作为第一章内容,随后利用集合定义映射、函数等概念,反之两集合元素之间的关联体现元素与元素之间关联,而映射和函数均为一种特殊的关系在集合的所有关系中,有一种特殊的关系等价关系出现在了大学数学众多课程中,例如:数学分析中等价无穷小的概念,高
7、等代数中矩阵的合同、相似、等价概念,近世代数的中集合的分类等等基于此,本文从等价关系的两种定义出发,即代数角度和集合角度的定义出发,通过其等价类来统一总结与等价关系息息相关的这些概念,一方面有助于对这些课程中新概念的理解,另一方面进一步了解等价关系以及各种具体的等价类,有助于大家对等价关系的更深理解,并提高大家抽象思维能力和逻辑推理能力,为今后进一步学习和掌握与等价关系相关的新概念打好基础所以有必要对等价关系做一个更为深刻的理解本文首先介绍了等价关系的定义,其次分析了等价关系在数学分析、高等代数、离散数学、近世代数和离散数学等课程中的主要应用,最后对这些应用作了分析与拓展,使大家对等价关系有更
8、为透彻的把握,也希望大家有一个大致的轮廓:以等价关系为主线,周围延伸出其在一些课程的应用2 基本概念首先,从代数和集合两个角度分别给出等价关系的定义.定义 2.1 一个到的映射叫做的元间的一个关系若=对,就说和符合关系,记成定义 2.2 设为非空集合 上的二元关系如果满足自反的、对称的和传递的,则称为 上的等价关系(1) 反射律( 自反性) : , 均有;(2) 对称律(对称性): , 均有;(3) 推移律( 传递性) : , 均有.等价关系是指非空集合中二元反射律,对称律及推移律的一种二元关系,也就是定义2.3 设是一个非空集合,是中的一个二元关系,它满足以下条件: 1.,均有; 2.,若有
9、,则有; 3.,若有及则有就叫集合的一个等价关系这个定义也可改写为较简单的定理2.1 设是一个非空集合,是中的一个二元关系,它满足以下条件:1,均有;2,若有及,则定有.就叫集合的一个等价关系 再来看为何前两个定义是一致的说明:(i)由定义2.1的自反性推出定义2.2中的第二条是显然的,这里就不再讨论了(ii)由的对称律知,所以有 ,又,所以有 证毕 数学中,等价关系有很多,例如,容易验证:为等价关系,我们称之为平凡的等价关系 下面再举几个例子 例1 集合的幂集中两个元素之间的“相等关系”可以理解为的子集,容易验证它是自反的,对称的,传递的因此是中的一个等价关系例2 集合的幂集中的两个元素之间
10、的“包含关系”可以理解为集合的子集显而意见他是自反的,传递的,但是他不是对称的,因此不是中的一个等价关系 例3 实数集合中有一个通常的小于等于关系,即的子集容易验证关系是传递的,但是反对称的,反自反的所以不是上的等价关系3 等价关系与集合分类间的关系本节中,我们讨论等价关系与集合的分类之间的一一对应关系,近世代数中的内容告诉我们,集合的任一等价关系可唯一的确定集合的一种分类,反之,集合的任一分类可唯一地确定一等价关系本文就是从等价关系确定的等价类出发,来讨论几门课程中与等价关系息息相关的新概念3.1 由集合分类唯一确定一等价关系先来看集合的分类定义 3.1.1若把一个集合分成若干个叫做类的子集
11、,使得的每一个元属于而且只属于一个类,那么这些类的全体叫做集合的一个分类等价关系于集合的分类的关系由以下的两个定理可以看出定理 3.1.1 集合的一个分类决定的元间的一个等价关系我们利用给的分类来做一个等价关系规定:,当而且仅当,在同一类 这样规定的 显然是的元间的一个关系只需证明,它是一个等价关系即可 (i)与同在一个类,即; (ii)若和同在一类,那么与也在一类,即; (iii)若,同在一类,且,同在一类,因为类与类之间两两无交,所以,也在同一类,即 从而命题得证3.2 等价关系唯一确定一集合分类 反之,下面的定理告诉我们:集合中元之间的一种等价关系亦能唯一确定集合的一种分类 定理3.2.
12、1 集合元间的一个等价关系决定的的一个分类 我们利用给定的等价关系来做一个的分类把所有同的一个固定元等价的元都放在一起,作为一个子集,这个子集有符号来表示我们说,所有这样得到的子集就做成的一个分类可以分三步来证明这一点(I) 假定 那么,由等价关系的性质以及 和 的定义, 这就是说,(1) 但由等价关系的相关性质, 因此同样可以推得(2) 由(1)与(2), (II) 的每一个元只能属于一个类,假定 那么由,的定义, ,这样有上面的定理3.1.1证明的(ii) ,(iii)步得 ,于是由(i)可得 =(III)的每一个元的的确属于某一个类因为,由定理3.1证明的(i)以及上述类的定义, 证完
13、由此可见,集合的等价关系与集合的分类之间有一一对应的关系,而本文正是基于这种对应关系,由集合的某一种等价关系确定的等价类诱导出数学分析、高等代数、近世代数等课程中的几个重要概念及应用3.3 简单的应用 等价关系及对应的等价类例子在生活中随处可见,比如定义一个班级同学的性别关系:甲乙满足关系当且仅当甲乙同性别(甲乙分别是指同学甲、乙),显然其为等价关系,利用等价关系确定等价类的方法很快得出两个等价类:男生、女生下面再介绍等价关系的两个简单应用的例子来说明如何利用等价关系来确定相应的等价类. 例 1 我们取一个固定的整数,利用这个,我们规定的元间的一个关系,当而且只当的时候,这里表示能整除可以验证
14、这就一个等价关系 例 2 定义在整数集上的关系,则可以验证是等价关系,并且有4 等价关系在几门课程中的应用4.1 数学分析中的等价关系数学分析中,等价关系主要是指等价无穷小,有时候当我们在求极限时,我们可以不用罗比达法则,而利用等价无穷小会往往会给我们的求解带来极大地方便定义4.1 若性质 ,则; .1) 自反性:;2) 对称性:;3) 传递性:.综上所述,等价无穷小是等价关系.常见的等价无穷小:当时,从等价关系的角度来看,求极限时,将比值极限为1的两个无穷小量定义为等价关系,从而根据此等价关系将比值极限为1的无穷小量归为一类,在求极限时可以相互替代,给大家在求极限时带来很大的方便.例1 求极
15、限解 因为,例 2 解 利用,则例 3 解 此题如果不用等价无穷小,在第二步的时候就要使用罗比达法则对分子分母分别求导,读者可以自己尝试,但这样可能会带来一定的计算量同时还有可能出错例 4 解 有,从而 从以上四例可以看出如果用罗比达法则去解题都会带来很大的计算量,而且很容易出错,而利用等价无穷小去求解极限,它大大提高了求解的效率和正确率,从而带来了解题的方便性4.2 高等代数中的等价关系4.2.1 初等变换在高等代数中我们讲的等价关系主要是讲矩阵的等价在讲等价矩阵之前,我们先定义初等变换定义4.2.1 对矩阵施行一下三种运算称为初等行(列)变换:(1) 对调矩阵的某两行(列);(2) 非零数
16、乘以矩阵的某一行(列);(3) 一个数乘以矩阵的某一行(列)加到另外一行(列)我们再来看等价矩阵定义4.2.2 若矩阵经有限次的初等行变换变成矩阵,则称与行等价,记为;若矩阵经有限次的初等列变换变成矩阵,则称与列等价,记为;若矩阵经有限次的初等变换变成矩阵,则称与等价,记为所以初等变换满足等价关系,也就满足等价关系的自反性、对称性和传递性4.2.2 矩阵的相似定义4.2.3 设,为阶方阵,若存在可逆矩阵,使得则称与相似值得一提的是相似矩阵也必须满足反身性、对称性和传递性,因为矩阵相似必等价由定义我们注意两点:1 单位矩阵和矩阵或者单位矩阵相似的只能是他们本身 即,2 存在可逆矩阵.易知所以我们
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 等价 关系 应用 数学 毕业论文 范文
![提示](https://www.31ppt.com/images/bang_tan.gif)
链接地址:https://www.31ppt.com/p-3990589.html