统计学基础知识课件.ppt
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1、1,第二章 统计学基础知识回顾,2,主要内容,第一节 总体、样本和随机函数第二节 对总体的描述随机变量的数字特征第三节 对样本的描述样本分布的数字特征第四节 随机变量的分布总体和样本的连接点第五节 通过样本,估计总体(一)估计量的特征第六节 通过样本,估计总体(二)估计方法第七节 通过样本,估计总体(三)假设检验,3,四个基本定义与统计学的逻辑结构,总体和个体样本和样本容量随机变量统计量统计学的逻辑结构,4,总体(集合)和个体(构成集合的元素),研究对象的全体称为总体或母体,组成总体的每个基本单位称为个体。(1)按组成总体个体的多寡分为:有限总体和无限总体;(2)总体具有同质性:每个个体具有共
2、同的观察特征,而 与其它总体相区别;(3)度量同一对象得到的数据也构成总体,数据之间的差 异是绝对的,因为存在不可消除的随机测量误差;(4)个体表现为某个数值是随机的,但是,它们取得某个 数值的机会是不同的,即它们按一定的规律取值,即 它们的取值与确定的概率相对应。,5,样本和样本容量,总体中抽出若干个个体组成的集体称为样本。样本中包含的个体的个数称为样本的容量,又称为样本的大小。抽样是按随机原则选取的,即总体中每个个体有同样的机会被选入样本。,6,随机变量,根据概率不同而取不同数值的变量称为随机变量(Random Variable)。注意:(1)一个随机变量具有下列特性:RV可以取许多不同的
3、数 值,取这些数值的概率为p,p满足:0=p=1。(2)随机变量以一定的概率取到各种可能值,按其取值情 况随机变量可分为两类:离散型随机变量和连续型随 机变量。离散型随机变量的取值最多可列多个;连续 型随机变量的取值充满整个数轴或者某个区间。,7,离散型随机变量与连续型随机变量,10 20 30 40 50,1.0,概率,概率,x,x,1.0,离散型随机变量,连续型随机变量,8,总体与随机变量的关系,表示总体状况的数量特征,在总体中是参差不齐的,往往以一定的概率取不同的数值,显然对于这样的数值我们采用一般的变量是无法加以描述的。但是。可以采用一种特殊的变量来表示它们。这个特殊变量就是随机变量。
4、因为,根据随机变量的定义,随机变量以一定的概率取许多不同的值,而且概率p满足:0=p=1。由于我们主要研究总体的数量特征,可以直接用随机变量来表示所研究的总体。,9,总体、随机变量、样本间的联系,总体就是一个随机变量,所谓样本就是n个(样本容量n)相互独立且与总体有相同分布的随机变量X1,Xn。每一次具体抽样所得的数据,就是n元随机变量的一个观察值,记为(X1,Xn)。通过总体的分布可以把总体和样本连接起来。,10,总体分布是总体和样本的连接点,所谓分布,它是从全局而言的。通俗地说,分布就是某个对象在什么地方,堆积了多少。任何一个随机变量都有自己的分布,这个什么地方就是在数轴上取什么值,堆积多
5、少就是在那里占有的比例是多少或者概率有多大。总体可以表示为随机变量,并具有自身的分布。样本则是相互独立与总体具有相同分布的n元随机变量。因此,总体分布是总体和样本的连接点。从而,可以通过对样本特征的研究达到对总体进行研究的目的。因为它们具有相同的分布。,11,统计量,设(x1,x2,xn)为一组样本观察值,函数f(x1,x2,xn)若不含有未知参数,则称为统计量。统计量一般是连续函数。由于样本是随机变量,因而它的函数也是随机变量,所以,统计量也是随机变量。统计量一般用它来提取或压榨由样本带来的总体信息。,12,样本与总体之间的关系,样本是总体的一部分,是对总体随机抽样后得到的集合。对观察者而言
6、,总体是不了解的,了解的只是样本的具体情况。我们所要做的就是通过对这些具体样本的情况的研究,来推知整个总体的情况。,Xn+1,Xn,X1,样本,总体,13,统计学的逻辑结构,(1)总体和样本 引入一个随机变量来描述总体(2)对总体的描述:随机变量的数字特征(3)对样本的描述:样本分布的数字特征(4)总体与样本的连接点:随机变量的分布(5)如何用样本的数字特征估计总体的数字特征及数据生成过程中的各种参数 a 估计量的优良性 b 估计方法 c 对估计量的检验假设检验,14,a 估计量的优良性,1、无偏性2、有效性3、均方误最小4、一致性,15,b 估计方法,矩法,最大似然法,最小二乘法,总体分布未
7、知,正态总体,一般总体(大样),已知方差,方差未知,一般总体(大样),正态总体,估计期望,单个总体,两个总体,估计方差(常用小样本下,正态总体估计其它参数),点估计,区间估计,16,c 对估计量的检验假设检验,1.对总体分布特征的假设检验(1)一个正态总体的假设检验a 检验均值:已知方差和未知方差b 检验方差:未知均值(双尾和单尾)(2)两个正态总体的假设检验a 检验均值:未知方差但可假设其相等b 检验方差:未知均值(双尾和单尾)(3)总体分布的假设检验a 总体为离散型分布b 总体为连续型分布2.对各种系数、参数估计值的假设检验,17,一、随机变量的分布,18,(一)离散型随机变量的分布,定义
8、:如果随机变量只取有限个或可列多个可能值,而且以确定的概率取这些值,则称为离散型随机变量。通常用分布列表示离散型随机变量:的概率分布也可用一系列等式表示:P(=xi)=pi(i=1,2,)称为的概率函数。显然满足概率的定义:离散型随机变量的分布就是指它的分布列或概率函数。,19,离散型随机变量举例1,例1 一批产品的废品率为5%,从中任取一个进行检验,以随机变量来描述这一试验并写出的分布。以X=0表示“产品为合格产品”,X=1表示“产品为废品”,那么分布列如下:其概率函数p(X=0)=0.95,p(X=1)=0.05,或p(X=i)=(0.05)i(0.95)1-i(i=0,1),20,离散型
9、随机变量举例2,用随机变量X描述掷一颗骰子的试验。分布的概率函数为:P(X=i)=1/6(i=1,2,3,4,5,6),21,(二)随机变量的分布函数,定义:若X是一个随机变量(可以是离散的,也可以是非离散的),对任何实数x,令F(x)=P(X=x),称F(x)为随机变量X的分布函数。F(x),即事件“X=x”的概率,是一个实函数。对任意实数x1x2,有P(x1Xx2)=P(X=x2)-P(X=x1)=F(x2)-F(x1),x2,x2,F(x),F(x),X,x1,x1,22,分布函数F(x)的性质,23,分布函数举例,例3 求例1中的分布函数例4 求例2中的分布函数,24,(三)连续型随机
10、变量的分布,定义:对于任何实数x,如果随机变量X的分布函数 F(x)可以写成概率分布密度函数的性质:,25,连续型随机变量分布函数举例,26,二、二元随机变量,n元随机变量的定义:每次试验同时处理n个随机变量(X1,X2,Xn),它们的取值随试验的进行而变化。如果对任何一组实数(x1,x2,xn),事件“X1x1,X2x2,Xnxn”有着确定的概率,则称n个随机变量(X1,X2,Xn)总体为一个n元随机变量。n元随机变量分布函数的定义:n元函数F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn)(x1,x2,xn)属Rn,为n元随机变量分布函数。离散二元随机变量的定义:如果二元随机变量(
11、X,Y)所有可能取值为有限或可列多个,并且以确定的概率取各个不同数值,则称(X,Y)为二元随机变量。,27,(X,Y)的联合分布表和联合分布函数,(X,Y)为离散型的二元随机变量,通常用联合分布函数与联合分布表表示。,28,离散二元分布函数的示例,例6 同一品种的5个产品中,有2个正品,3个次品,每次从中抽取一个进行质量检查,不放回的抽取,连续两次。令“Xi=0”表示第i次抽取到正品,而“Xi=1”表示第i次抽取到次品,写出(X1,X2)的分布。解 p(X1=0,X2=0)=p(X1=0)P(X2=0)=(2/5)(1/4)=1/10 p(X1=0,X2=1)=p(X1=0)P(X2=1)=(
12、2/5)(3/4)=3/10 p(X1=1,X2=0)=p(X1=1)P(X2=0)=(3/5)(2/4)=3/10 p(X1=1,X2=1)=p(X1=1)P(X2=1)=(3/5)(2/4)=3/10,29,连续二元随机变量的定义,30,三、独立性,(一)事件的独立性(二)随机变量的独立性,31,(一)事件的独立性,定义1.12 事件的独立性的定义 如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的的影响,即P(AB)=P(A),则称事件A对于事件B独立。显然,若事件A对于事件B独立,事件B对于事件A也一定独立,我们称事件A与事件B相互独立。A与B独立的充分必要条件是:P(AB)=P(A)P(B)
13、,32,(二)随机变量的独立性,定义1.13 边际分布的定义 离散型二元随机变量(X,Y)中,分量X(或Y)的概率分布称为(X,Y)的关于X(或Y)的边际分布,边际分布又称边缘分布。定义1.14 随机变量相互独立的定义 对于任何实数x,y,如果二元随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)等于X和Y的边际分布的乘积,即 F(x,y)=FX(x).FY(y)则称X与Y相互独立。,33,四、随机变量函数的概念和分布,定义1.15 随机变量函数的定义 设f(x)是定义在随机变量X的一切可能取值集合上的函数。如果对于X的每一个可能值x,都有另一个随机变量Y的取值y=f(x)与之相对应,则称Y为X的函
14、数,记作Y=f(X)。我们常常遇到一些随机变量,它们的分布往往难于直接得到(例如滚珠体积的测量值等),但与它们有关系的另一个随机变量的分布却是容易知道的(如滚珠直径的测量值)。因此,就要研究两个随机变量之间的关系,然后通过它们之间的关系,由已知随机变量的分布求出与之有关的其它随机变量的分布。其间的关系通常用函数关系表示。,34,第二节 对总体的描述随机变量的数字特征,一、数学期望二、方差三、数学期望与方差的图示,35,一、数学期望,研究数字特征的必要性两个最重要的数字特征(1)数学期望(2)方差,36,研究数字特征的必要性,总体就是一个随机变量。对总体的描述就是对随机变量的描述。随机变量的分布
15、就是对随机变量最完整的描述。但是,(1)求出总体的分布往往不是一件容易的事情;(2)而且,在很多情况下,我们并不需要全面考察随机变量的变化情 况,只需要了解总体的一些综合指标。一般说来,常常需要了解总体的一般水平和它的离散程度;(3)如果了解总体的一般水平和离散程度,就已经对总体有了粗略的了解了;(4)在很多情况下,了解这两个数字特征还是深入求出总体分布的基础和关键。,37,数学期望的定义,定义2.1 离散型随机变量数学期望的定义 假定有一个离散型随机变量X有n个不同的可能取值x1,x2,xn,而p1,p2,pn是X取这些值相应的概率,则这个随机变量X的数学期望定义如下:数学期望描述的是随机变
16、量(总体)的一般水平。定义2.2 连续型随机变量数学期望的定义,38,女儿期待父亲钓多少鱼回家?,数学期望是最容易发生的,因而是可以期待的。它反映数据集中的趋势。,39,数学期望的性质,(1)如果a、b为常数,则 E(aX+b)=aE(X)+b(2)如果X、Y为两个随机变量,则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)(3)如果g(x)和f(x)分别为X的两个函数,则 Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)(4)如果X、Y是两个独立的随机变量,则 E(X.Y)=E(X).E(Y),40,求离散型随机变量数学期望举例,例1 甲、乙两射手在一次射击中的得分(分别用X、Y表示)的分布率如下:试比较两射
17、手的射击技术水平,并计算如果二人各发一弹,他们得分和的估计值。解 EX=1 0.4+2 0.1+3 0.5=2.1 EY=1 0.1+2 0.6+3 0.3=2.2 E(X+Y)=2.1+2.2=4.3 EXEY 乙射手射击水平比较高 二人各发一弹,得分总和最可能在4.3分左右(即4分或5分),41,二、方差,定义2.3 离均差的定义 如果随机变量X的数学期望E(X)存在,称 X-E(X)为随机变量X的离均差。显然,随机变量离均差的数学期望是0,即 E X-E(X)=0定义2.4 连续型随机变量的方差定义2.5 随机变量离均差平方的数学期望,叫随机变量的方差,记作Var(x),或D(x)。方差
18、的算术平方根叫标准差。,42,方差的意义,(1)离均差和方差都是用来描述离散程度的,即描述X对于它的期望的偏离程度,这种偏差越大,表明变量的取值越分散。(2)一般情况下,我们采用方差来描述离散程度。因为离均差的和为0,无法体现随机变量的总离散程度。事实上正偏差大亦或负偏差大,同样是离散程度大。方差中由于有平方,从而消除了正负号的影响,并易于加总,也易于强调大的偏离程度的突出作用。,43,方差的性质,(1)Var(c)=0(2)Var(c+x)=Var(x)(3)Var(cx)=c2Var(x)(4)x,y为相互独立的随机变量,则 Var(x+y)=Var(x)+Var(y)=Var(x-y)(
19、5)Var(a+bx)=b2Var(x)(6)a,b为常数,x,y为两个相互独立的随机变量,则Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)(7)Var(x)=E(x2)-(E(x)2,44,例2 计算本节例1中甲射手的方差,例1 甲、乙两射手在一次射击中的得分(分别用X、Y表示)的分布率如下:E(X)=2.1 Var(X)=(-1.1)2 0.4+(-0.1)2 0.1+0.92 0.5=0.89,45,三、数学期望与方差的图示,数学期望描述随机变量的集中程度,方差描述随机变量的分散程度。1方差同、期望变大 2期望同、方差变小,46,第三节 对样本的描述样本分布的数字特征,一、样本
20、分布函数二、样本平均数三、样本方差,47,一、样本分布函数,48,样本分布函数举例,49,二、样本平均数,总体的数字特征是一个固定不变的数,称为参数;样本的数字特征是随抽样而变化的数,是一个随机变量,称为统计量。定义3.1样本平均数的定义样本平均数用来描述样本的平均水平(一般Common)水平。,50,三、样本方差和标准差,定义3.2 样本方差和标准差的定义,51,第四节 随机变量的分布总体和样本的连接点,一、几种重要的分布二、各种分布之间的联系三、分布是总体和样本之间的连接点,52,一、几种重要的分布,如果一个随机变量的分布已经确定,那么这个随机变量的一切性质对于我们便都是已知的。因为随机变
21、量的分布是对随机变量最完整的描述。例如X是广西十万大山中树木的高度,它的分布函数为F(x)=P(X=x)。此时,你对任意给定的高度x,都确知不超过这个高度的树木在整个十万大山中所占的比例,你还会说整个十万大山树木高度的情况不清楚吗?再如,已知X服从数学期望和方差已知的正态分布,那么你便了解这个X自身的一切性质。可以通过查正态分布表确定研究中所需的一切数据。分布的数学形式和图形属“技术问题”,精力应集中于X究竟属于何种分布上。,53,1.分布,(1)分布的定义(2)定理4.1 分布的数学期望和方差,54,2.指数分布,(1)指数分布的定义(2)定理4.2 指数分布的数学期望和方差,55,3.2
22、分布,(1)定义4.3 2 分布的定义(2)定理4.3分布的和仍然服从分布,56,定理4.3推论:2 分布的和仍然服从 2 分布,若X1,X2,Xn相互独立,且Xi服从具有ni(i=1,2,,n)个自由度的 2 分布,则它们的和X1+X2+Xn 服从具有 ni 个自由度的 2 分布。,57,2 分布的图象,58,4.正态分布,定义4.4正态分布的定义定理4.4 正态分布的数学期望和方差定义4.5 标准正态分布,59,正态分布的标准化,定理4.5 正态分布标准化,60,5.t分布,定义4.6 t分布的定义,61,t分布与t分布函数,样本统计量的抽样分布,并不完全服从正态分布,而是服从与正态分布相
23、似的t分布。当样本容量不大于30,而且总体标准差未知时,可以使用t分布。t分布为对称分布。对于不同的样本容量都有一个不同的t分布,随着样本容量增加,t分布的形状由平坦逐渐变得接近正态分布。当样本容量大于30时,t分布就非常接近于正态分布。,62,t分布和正态分布,63,6.F分布,定义4.7 F分布的定义,64,F分布的图象,65,二、各种分布之间的联系,1.一般正态分布与标准正态分布的关系 定理4.6 如果XN(,2),则(X-)/N(0,1)2.标准正态分布与X2分布之间的关系 定理4.7 如果XN(0,1),则X2 X2(1),即服从具有1个自由度的分布。3.标准正态分布与t分布之间的关
24、系 其密度函数见定义4.6。,66,二、各种分布之间的联系,4.标准正态分布(分布)与F分布之间的关系5.关于正态分布的和,67,二、各种分布之间的联系,6.关于X2分布,68,69,总体与样本间的联系在于具有相同的分布,总体就是一个随机变量,所谓样本就是n个相互独立的与总体具有相同分布的随机变量x1,xn,即n元随机变量。以上的定理就是将总体与样本间的这种联系具体化,从而为达到通过样本的特征估计和代替总体的特征铺平道路。例如,已知一个研究对象的数量特征服从N(,2),那么依据定理4.6,首先将其标准化,然后查标准正态分布表,就可以获得所需的信息。如果,对研究对象了解的信息并不完备,只知其属于
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