10个导数题.docx

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1、10个导数题极值点偏移的问题 1.已知f(x)=lnx-ax,(a为常数）若函数1f(x)在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；1当a=1时，试比较f(m)与f的大小；mf(x)有两个零点x1,x2,证明：x1x2e2变式：已知函数f(x)=lnx-ax2，a为常数。?讨论f(x)的单调性；若有两个零点x1,x2,，试证明：x1x2ex2.已知f(x)=x2+ax+sin,x(0,1);2(1)若f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；当a=-2时，记f(x)取得极小值为f(x0)若f(x1)=f(x2),求证x1+x22x013.已知f(x)=lnx-ax2+x,(aR)2(1)若f(1

2、）=0，求函数f(x)的最大值；令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的单调区间；若a=-2,正实数x1,x2,满足+f(x2)+x1x2=0,证明：x1+x25+124.设a0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-(1)证明：当x1时，g(x)0恒成立；2(x-1)x+1若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围；若函数f(x)有两个相异零点x1,x2,求证：x1x2e25.已知f(x)=x-2a-alnx,常数aR。求1f(x)的单调区间；f(x)有两个零点x1,x2，且x1x2；(i)指出a的取值范围，并说明理由；求a的取值范围； 证明：f(； x1x20，则函数f(

3、x)是单调增函数，这与题设矛盾所以a0，令f(x)=0，则x=lna 当xlna时，f(x)lna时，f(x)0，f(x)是单调增函数； 于是当x=lna时，f(x)取得极小值 因为函数f(x)=ex-ax+a(aR)的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)， 所以f(lna)=a(2-lna)e2. 此时，存在10； 存在3lnalna，f(3lna)=a3-3alna+aa3-3a2+a0， 又由f(x)在(-，lna)及(lna，+)上的单调性及曲线在R上不间断，可知ae2为所求取值范围. xx2x1e1-ax1+a=0，因为x 两式相减得a=e-e 2x2-x1e

4、-ax2+a=0，x1+x2x1+x2x2x12x1+x2x2-x1e-e2=e-=e2s-(es-e-s)=s(s0)，则f记，设2x2-x12s2()g(s)=2s-(es-e-s)，则g(s)=2-(es+e-s)0，所以g(s)是单调减函数， 则有g(s)0，所以fxx1x2 2(x1x20xi于是ex0=x1+x22=a(x1-1)(x2-1)，在等腰三角形ABC中，显然C = 90，所以x1+x2(x1，x2)，即y0=f(x0)1时，f(x)g(x) 如果x1x2，且f(x1)=f(x2)，证明x1+x22 解：f(x)=(1-x)e令f(x)=0,解得x=1 当x变化时，f(x

5、)，f(x)的变化情况如下表 X f(x) f(x) (-,1) + 1 0 极大值 (1,+) - -xZ 所以f(x)在(-,1)内是增函数，在(1,+)内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1 ex-2证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe于是F(x)=(x-1)(e2x-2-x+(x-2)ex-2 -1)e-x -10,又e-x0,所以F(x)0,从而函数F在1,+当x1时，2x-20,从而e)是增函数。 2x-2又F(1)=e-e=0，所以x1时，有F(x)F(1)=0,即f(x)g

6、(x). )证明： 若(x1-1)(x2-1)=0,由及f(x1)=f(x2),则x1=x2=1.与x1x2矛盾。 若(x1-1)(x2-1)0,由及f(x1)=f(x2),得x1=x2.与x1x2矛盾。 根据得(x1-1)(x2-1)0,不妨设x11. 由可知，f(x2)g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)f(2-x2),从而-1-1f(x1)f(2-x2).因为x21，所以2-x22-x2,即x1+x22. 8. 已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x (I)讨论f(x)的单调性；设a0，证明：当0xf(1-x)； aaa若函数y= f(x)的图像与x轴交于A、

7、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0 9. 已知函数f(x)=1-xxe. 1+x2求f(x)的单调区间； 证明：当f(x1)=f(x2) (x1x2)时，x1+x20时f(x) 0g(x)=(1-2x)e2x-1。 令h(x)=(1-2x)e2x-1h(x)=(1-2x)e2x=-4xe2x0, y=h(x)在上单调递减h(x)h(0)=0 y=g(x)在上单调递减g(x)g(0)=0 e-xy=(1-x)e2x-1-x在上单调递减，但x=0时y=0. 21+xf(x)-f(-x)0f(x)f(-x) 所以，当f(x1)=f(x2)且x1x2时，x1+x20. 10.已知函

8、数f(x)=alnx-x2. 当a=2时，求函数y=f(x)在,2上的最大值； 令g(x)=f(x)+ax，若y=g(x)在区间(0,3)上不单调，求a的取值范围； 12A(x1,0),B(x2,0)当a=2时，函数h(x)=f(x)-mx的图象与x轴交于两点，且0x1x2，又h(x)是h(x)的导函数.若正常数a,b满足条件a+b=1,ba.证明：h(ax1+bx2)022-2x2解 Qf(x)=-2x=, xx1函数y=f(x)在,1是增函数，在1,2是减函数，3分 2所以f(x)max=f(1)=2ln1-12=-1 4分 因为g(x)=alnx-x2+ax，所以g(x)=a-2x+a，

9、 5分 x因为g(x)在区间(0,3)上不单调，所以g(x)=0在上有实数解，且无重根， 192x2g(x)=0=2(x+1+)-4(0,)，由，有a= 6分 x+12x+1又当a=-8时，g(x)=0有重根x=-2， 7分 综上a(0,) 8分 h(x)=922-2x-m，又f(x)-mx=0有两个实根x1,x2， x22lnx1-x1-mx1=0222(lnx-lnx)-(x，两式相减，得121-x2)=m(x1-x2)， 22lnx2-x2-mx2=0m=2(lnx1-lnx2)-(x1+x2), 10分 x1-x22(lnx1-lnx2)2-2(ax1+bx2)-+(x1+x2) ax1+bx2x1-x2于是h(ax1+bx2)=2(lnx1-lnx2)2-+(2a-1)(x2-x1) 11分 ax1+bx2x1-x2Qba,2a1,(2a-1)(x2-x1)0 要证：h(ax1+bx2)0，只需证：2(lnx1-lnx2)2-0(*) 12分 ax1+bx2x2x11-t1-t=t(0,1)+lnt0u(t)=lnt+0即可 Qu(t)在(*) 令，化为，只证x2at+bat+b上单调递增，u(t)u(1)=0,lnt+x-x2x1-t+ln100，即1at+bx2at+bh(ax1+bx2)014分