曲线积分期末复习D10课件.ppt

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1、曲线积分期末复习,一、 对弧长的曲线积分的计算,二、对坐标的曲线积分的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,三、格林公式,四、曲线积分与路径无关的条件,一、对弧长的曲线积分的计算,1. 基本方法,第一类曲线积分 ( 对弧长 ),(1) 若曲线由,转化,定积分,参数方程：,（3）若曲线由极坐标方程：,(2) 若曲线由直角坐标方程：,注意1：第一类曲线积分的上下限: 下小上大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、练习题,1、计算,其中L为下半圆周,解（法1）： 利用极坐标 ,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,注意2：曲线积分的积分区域是关于x,y的等式，,因而被积

2、函数中的x,y满足积分曲线L的方程,所以可直接代入化简积分因子。,法2：,曲线方程为,原式,2、计算,其中L为圆周,解: 利用极坐标 ,原式 =,3.计算,且周长为,解：由于积分曲线方程为,其中L为椭圆,4.设空间曲线L为,曲线积分,（ ）,提示：由于交线中有,所以,从而,5.设L为左半圆周,将曲线积分,化为定积分的正确的,结果是（ ）,提示：直接套公式,所以,左半圆,二、对坐标的曲线积分的计算,1. 基本方法,第二类曲线积分( 对坐标 ),转化,定积分,（1）曲线用参数方程表示,（2）曲线用直角坐标方程表示,确定积分上下限：,“下始上终”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 计算,其中

3、L为xoy平面 y =b上一段,解: 由于积分曲线为,由公式化为定积分,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将,代入,中，得,2、练习,2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,则,(2) 取 L 的方程为,则,3. 计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、格林公式,注意：（1）L为正向曲线,（2）,具有一阶连续偏导数.,2、练习,的正向，则曲线积分,（ ）,（1

4、）设L取圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、,C,提示：由于,原式=,(2). 计算,其中L 是从点,的上半圆周,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.格林公式应用求面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,例如, 椭圆,所围面积,（2）闭区域D是由简单闭曲线L（正向）所围,下系列积分不等于D的面积的积分是( ),提示：,C,四、曲线积分与路径无关的条件,设D 是单连通域 ,函数,在D 内,具有一阶连续偏导数,则有,1. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题解答:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,(3).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,