控制工程基础-第二章-徐.ppt

2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,1,2、控制系统的数学模型,2.1 数学模型的概念2.2控制系统的时域模型2.3线性系统的频域模型2.4方框图与信号流图2.5状态空间与状态空间表达式2.6控制系统不同模型间的关系,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,2,本章学习要点,数学模型的相关概念；简单物理系统的微分方程的列写；非线性模型的线性化方法；传递函数和传递函数矩阵的概念；结构图和信号流图的基本概念及变换与化简；状态空间与状态空间表达式；控制系统不同模型形式及其之间的转换。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,3,控制系统分析,2.1 控制系统的运动方程,设计控制系统应完成哪些工作？,控制对象运动规律的描述,控制对象运动规律定性分析,控制对象运动规律定量分析,控制系统的设计与综合,控制对象和控制系统的数学模型,本章任务,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,4,2.1 控制系统的运动方程,控制系统模型的作用网络函数的例子：,其中：y1(t)对应于自由运动 y2(t)对应于强迫运动,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,5,2.1 控制系统的运动方程,什么是控制系统（对象）的数学模型？模型的定义：系统输入变量与输出变量之间的动力学特性（运动特性）描述，称为系统的模型。如果用数学表达式描述，则称为系统的数学模型。简单的说：数学模型就是描述输出变量与输入变量之间对应关系的数学表达式。数学模型的分类：按运动特性分类 静态模型在静态条件下（即变量不随时间变化），描述变量之间关系的代数方程(组)。动态模型描述系统运动规律的模型，一般用微分方程描述。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,6,2.1 控制系统的运动方程,按定义域分类 时域模型 微分方程、差分方程和状态方程；复频域模型传递函数、结构图、频率特性建立系统数学模型的方法机理分析方法（解析法）应用物理、化学、电学、机械运动等相关定律，通过机理分析的方法建立系统的数学模型。系统辨识方法（实验法）基于系统输入输出的实验数据来建立数学模型的方法,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,7,2.1 控制系统的运动方程,几个相关的概念系统的运动：系统输出变量（跟随输入变量）的变化过程，称为系统的运动。描述系统运动过程的数学表达式，称为系统的运动方程既（控制系统的）数学模型。下面通过几个例子来介绍控制系统数学模型建立的过程（微分方程）,（动态系统的）,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,8,2.1 控制系统的运动方程,解析法建立系统微分方程的步骤1、确定系统和各部件的输入变量与输出变量，及信号传递关系。2、根据物理化学等定律列写各部件原始方程。3、列出原始方程式中各中间变量的关系式。4、将上述关系式代入原始方程，并消去中间 变量，得到最终关于输出输入间的关系 方程式。既最终的数学模型,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,9,2.1 控制系统的运动方程,研究RLC电路，试找出输出电压uc(t)随输入电压ur(t)变化的规律。,解,1、确定输入、输出变量,输出变量；uc(t),输入变量ur(t).,2、列写方程,3、中间变量i(t),4、消去中间变量,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,10,2.1 控制系统的运动方程,代入原始方程，有：,R、C、L是已知的，初始uc(0)确定时,给定ur(t)就可以确定uc(t),如果令 T1=LC,T2=RC则有：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,11,2.1 控制系统的运动方程,如图：由质量为m的物体、弹性系数为K的弹簧和阻尼系数为B的系统，试找出物体的位移x(t)与外力F(t)之间的关系。,解,1、输入变量 f(t),输出变量x(t),2、原始方程,3、中间变量,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,12,2.1 控制系统的运动方程,4、代入原始方程，得：,m、K、B是已知的，初始x(0)确定时,给出f(t)就可以确定x(t),如果令：T1=,T2=,Kr=则有：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,13,2.1 控制系统的运动方程,如图，直流他励电动机；ua是外加的输入变量电枢电压（伏），m表示电动机的角转速（弧度/秒），为输出量。讨论他们之间的关系。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,14,信号传递分析,a 电枢回路环节：b 电动机环节：（机械运动与电磁偶合）,2.1 控制系统的运动方程,解,2、列写原始方程,电枢回路方程,转动惯量方程,1，输入变量,输出变量,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,15,2.1 控制系统的运动方程,在上述表达式中：,电枢回路总电阻,电枢回路总电感,电动机的反电势,电动机转动惯量,电动机电磁力矩,电动机负载转矩,电机轴上的摩擦系数,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,16,2.1 控制系统的运动方程,3、中间变量关系式 根据电机学原理有两个关系式,式中：电动机转矩系数 电势系数,4、消去中间变量,由转动惯量方程式，有：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,17,2.1 控制系统的运动方程,得到：,代入电枢回路方程有：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,18,2.1 控制系统的运动方程,在空载时有,Ra、La、Jm、fm、Km、Ke是已知参数，如果初始x(0)确定时,已知f(t)就可以确定x(t),如果令：,则：,则有：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,19,2.1 控制系统的运动方程,注意观察三个示例的微分方程,可以用一个共同的表达式来表示,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,20,2.1 控制系统的运动方程,注意观察三个示例的微分方程许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其物理背景可能完全不一样，但是可以用一个相同运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即它们具有相同的数学模型。这类系统被称为相似系统。可以通过求解得到ur(t)uc(t)，f(t)x(t)之间内在运动的关联关系、分析系统的运动特性。进而改造系统-选择适当的R、L、C和m、B、K得到希望的运动规律。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,21,2.1 控制系统的运动方程,问题：从严格意义上讲，绝大多数系统的数学模型都不是线性模型（即系统并非是线性系统）。事实上，任何一个元件总是存在一定程度的非线性。即使假设具有线性的特性，也是局限在一定的范围内。,几种常见的非线性,非线性问题讨论,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,22,2.1 控制系统的运动方程,非线性系统的表示非线性系统多用曲线表示：,若用数学表示一般表示如下：对于输入输出连续变化的非线性系统（或特性）：,动态：y(n)=f(t;y,y(1),y(n),x,x(1),x(m)静态：y=f(x),2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,23,对于输入输出非连续的非线性系统（或特性）,静态,动态：,或,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,24,2.1 控制系统的运动方程,两类非线性系统本质非线性和非本质非线性,如果令：,则有：,非线性,线性,例：,通过变量代换，从非线性方程变成了线性方程,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,25,2.1 控制系统的运动方程,本质非线性的定义：,非线性方程，不能通过变量代换的方式，从非线性方程转变为线性方程的，称为本质非线性方程，与之对应的系统，称为本质非线性系统。,相反：则称为非本质非线性系统,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,26,2.1 控制系统的运动方程,非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。线性化的方法 忽略弱非线性环节：如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略。台劳级数展开法(小偏差法，切线法，增量线性化法)：适用前提假设在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入和输出量只是在平衡点附近作微小变化。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,27,2.1 控制系统的运动方程,忽略二次以上的各项，上式可以写成：,A点为平衡点(x0,y0)，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数：,其中：,非线性元件的线性化数学模型,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,28,2.1 控制系统的运动方程,平均斜率法：如果一非线性元件输入输出关系如下图所示，此时不能台劳级数展开法，可用平均斜率法得线性化方程为：,其中：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,29,2.1 控制系统的运动方程,注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。(此部分超出本课程的内容，可参考非线性控制的章节或教材。),2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,30,2.1 控制系统的运动方程,水位自动控制系统：输入量为Q1,输出量为水位H，求水箱的微分方程。水箱的横截面积为C，R表示流阻。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,31,2.1 控制系统的运动方程,解,在dt时间中，水箱内流体变化量CdH。则：,显然这个式子为非线性关系,在工作点H0附近进行台劳级数展开。取一次项得：,其中：,水箱的线性化微分方程:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,32,2.1 控制系统的运动方程,说明非线性系统的线性化方程只在工作点附近才成立。工作点不同，所得线性化方程的线性化系数不同，即线性化方程不同。多变量情况处理类似。,整理得水箱的标准线性化微分方程为:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,33,2.1 控制系统的运动方程,补充习题1：试求图中以电枢电压ua为输入量，以电动机转角为输出量的微分方程形式和传递函数。,作业：p14，1-1，1-5,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,34,2.2 线性系统的复数域模型,2.2.1 拉普拉斯变换2.2.2 传递函数2.2.3 传递函数矩阵2.2.4 典型元部件的传递函数,问题：1）微分方程求解比较困难，不利于工程实现；2）有时分析控制系统的性质时不必求解方程；是否有更方便的形式描述系统？,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,35,2.2 线性系统的复频域模型,拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。,s为复频率,2.2.1 拉普拉斯变换,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,36,2.2 线性系统的复频域模型,正变换,反变换,正变换,反变换,拉氏变换的定义,t 0 时,f(t)=0,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,37,2.2 线性系统的复频域模型,如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：,则,总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在？,也称为收敛因子,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,38,2.2 线性系统的复频域模型,典型函数的拉氏变换,(1)单位阶跃函数的象函数,(2)单位冲激函数的象函数,(3)指数函数的象函数,L,L,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,39,2.2 线性系统的复频域模型,(4)正弦函数的像函数,(5)余弦函数的象函数,L,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,40,2.2 线性系统的复频域模型,拉普拉斯变换的基本性质,线性性质,时间比例性质(相似),L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,41,2.2 线性系统的复频域模型,微分性质,时域导数性质,L,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,42,2.2 线性系统的复频域模型,积分性质,延迟性质,频域延迟,初值定理：,f(t)在t=0处无冲激则,终值定理：,初值定理和终值定理,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,43,2.2 线性系统的复频域模型,卷积定理,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,44,2.2 线性系统的复频域模型,已知微分方程如下，试求初值皆为零时输出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,解,初值皆为零，即,由微分性质对方程两边作拉氏变换：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,45,2.2 线性系统的复频域模型,拉普拉斯反变换的求法,(1)按定义,(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数(p28),2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,46,2.2 线性系统的复频域模型,(3)利用拉氏变换的性质,解,由延迟性质知：,L,(4)把F(s)分解为简单项的组合,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,47,2.2 线性系统的复频域模型,利用部分分式可将F(s)分解为：,设象函数的一般形式：,待定常数,若nm,则需将F(s)化成真分式,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,48,2.2 线性系统的复频域模型,待定常数的确定：,方法1,方法2,求极限的方法,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,49,2.2 线性系统的复频域模型,求如下像函数的原函数。,解,解法1,解法2,原函数的一般形式：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,50,2.2 线性系统的复频域模型,一对共轭复根为一分解单元设：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,51,2.2 线性系统的复频域模型,A和B的求法,方法1,再令：实部、虚部分别相等，求得 A和B,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,52,2.2 线性系统的复频域模型,只需按单根求一次K1或K2,求出K1后，根据性质有：,再根据下式，求得A和B,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,53,2.2 线性系统的复频域模型,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,54,2.2 线性系统的复频域模型,其中：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,55,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,56,2.2 线性系统的复频域模型,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,57,2.2 线性系统的复频域模型,1.n=m 时将F(s)化成真分式和多项式之和,小结:由F(s)求f(t)的步骤,2.求真分式分母的根，确定分解单元,3.将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数,4.对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。,作业：p81，2-5，2-7,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,58,2.2 线性系统的复频域模型,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,59,2.2 线性系统的复频域模型,2.2.2 系统的传递函数,（1）定义：单输入单输出线性定常动态对象的传递函数是零初值下该对象的输出量的拉氏的变换象函数与输入量的拉氏变换象函数之比。,回答本节开始的问题,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,60,2.2 线性系统的复频域模型,RLC电路,取ur为输入，uc为输出，得:,拉氏变换得：,则传递函数为：,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,61,2.2 线性系统的复频域模型,解,根据牛顿第二定律，得,取外力f(t)为输入；位移x(t)为输出,得微分方程：,拉氏变换后得：,传递函数为：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,62,2.2 线性系统的复频域模型,一般有nm,同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。,不同的物理系统可以有相同的传递函数。,传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。,（2）传递函数的性质,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,63,2.2 线性系统的复频域模型,（3）传递函数的常用表示形式,时间常数形式,根的形式,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,64,2.2 线性系统的复频域模型,与上述传递函数有关的几个重要概念：,特征多项式：G(s)的分母多项式D(s)特征方程：D(s)=0极点/特征根：D(s)=0的根零点：N(s)=0的根零极点对消系统的阶数：max(n,m)，（一般nm）系统的类型放大系数,系统的放大系数 K根轨迹放大系数 Kg,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,65,2.2 线性系统的复频域模型,2.2.3 传递函数矩阵,将传递函数的概念推广到多输入多输出系统，传递函数G（s）推广为传递函数矩阵G（s）。设系统有p个输入量、q个输出量如下图。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,66,2.2 线性系统的复频域模型,如图，直流他励电动机；ua是外加的输入变量电枢电压（伏），m表示电动机的角转速（弧度/秒），为输出量。讨论他们之间的关系。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,67,2.2 线性系统的复频域模型,由例系统运动方程为：,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,68,2.2 线性系统的复频域模型,2.2.4 典型元部件的传递函数,（1）典型元部件,(有纯延迟),(也可有延迟，略),2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,69,2.2 线性系统的复频域模型,控制系统通常由若干个基本部件组合而成，这些基本部件称为典型环节。包括：比例环节、微分环节、积分环节、比例微分环节、一阶惯性环节、二阶振荡环节和延迟环节。,（2）典型环节,作业：p81，2-8,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,70,2.3 方框图与信号流图,控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含4种基本单元。,2.3.1 系统动态结构图,1）信号线,2）引出点（或测量点）,3）比较点（或综合点）,4）方框（或环节）,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,71,2.3 方框图与信号流图,速度控制系统,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,72,2.3 方框图与信号流图,解,（1）比较环节和速度调节器环节,式中：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,73,2.3 方框图与信号流图,式中,整理得,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,74,2.3 方框图与信号流图,（2）速度反馈的传递函数,式中：为速度反馈系数,（3）电动机及功率放大装置,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,75,2.3 方框图与信号流图,（4）系统的动态结构图,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,76,2.3 方框图与信号流图,2.3.2 系统的等效变换,典型连接的等效传递函数(1)串联,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,77,2.3 方框图与信号流图,(2)并联,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,78,2.3 方框图与信号流图,(3)反馈连接,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,79,2.3 方框图与信号流图,相加点及分支点的换位运算原则:换位前后的输入/输出信号间关系不变。,(1)相加点后移,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,80,2.3 方框图与信号流图,(2)相加点前移,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,81,2.3 方框图与信号流图,(4)分支点前移,(5)分支点换位,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,82,2.3 方框图与信号流图,(6)相加点变位,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,83,2.3 方框图与信号流图,(7)相加点和分支点一般不能变位,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,84,2.3 方框图与信号流图,有交叉局部反馈系统,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,85,2.3 方框图与信号流图,系统开环传递函数 定义：闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数，用 表示。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,86,2.3 方框图与信号流图,系统的开环传递函数是正向通道传递函数与反向通道传递函数的乘积。,正向通道传递函数 反向通道传递函数,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,87,2.3 方框图与信号流图,无交叉局部反馈系统,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,88,2.3 方框图与信号流图,系统闭环传递函数 定义：在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数，用 表示。,对于单位反馈系统，有,作业：p82，2-11（a）（b）（c），2-12（a）,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,89,2.3 方框图与信号流图,系统对给定作用和扰动作用的传递函数 原则：对于线性系统来说，可以运用叠加原理，即对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,90,2.3 方框图与信号流图,（1）只有给定作用,（2）只有扰动作用,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,91,2.3 方框图与信号流图,（3）两个输入量同时作用于系统,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,92,2.3 方框图与信号流图,2.3.3 信号流图,信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。信号流图中的术语:(1)源点：只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点。它一般表示系统的输入变量。(2)汇点：只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点。它一般表示系统的输出变量。(3)混合节点：既有输入支点又有输出支点的节点称为混合节点。(4)通路：从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径，称为通路。通路中各支路传输的乘积称为通路传输（通路增益）。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,93,2.3 方框图与信号流图,(5)开通路：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。(6)闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的通路称为闭通路或称为回环。(7)回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益（或传输）。(8)前向通路：是指从源点开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路增益。(9)不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,94,2.3 方框图与信号流图,梅逊增益公式：,式中：,P 系统的总传输；,pk 第k 条前向通道的传输；,n 从输入节点到输出节点的前向通路数；,信号流图的特征式。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,95,2.3 方框图与信号流图,特征式的意义为：,信号流图中所有不同回环的传输之和；,信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和；,m个互不接触回环的传输乘积之和；,称为第k条通路特征式的余因子，是在中除去第k条前向通路相接触的各回环传输（即将其置零）。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,96,2.3 方框图与信号流图,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,97,2.3 方框图与信号流图,解,（1）,（2）,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,98,2.3 方框图与信号流图,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,99,2.3 方框图与信号流图,用梅森公式法求C(s)/R(s)、E(s)/R(s)、C(S)/N(S)。,解,(1)求C(s)/R(s)：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,100,2.3 方框图与信号流图,两两互不接触回路有L1L2,(2)若以E(s)为输出，R(s)为输入，求E(s)/R(s)：,两两互不接触回路仍为L1L2无论输入输出是什么，回路是不变的，所以不变.,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,101,2.3 方框图与信号流图,(3)求C(s)/N(s)：,(4).若求R(s),N(s)同时作用下的总输出：,作业：p82，2-15（b）（c）,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,102,2.4 状态空间与状态空间表达式,问题：（1）系统运动方程是时变的传递函数不存在？（2）多输入多输出系统传递函数矩阵不好处理？（3）能否反映系统的中间变量的变化？（4）非线性系统如何描述？,高阶线性微分方程求解方法：（1）拉氏变换（2）一阶线性微分方程组,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,103,2.4 状态空间与状态空间表达式,研究RLC电路，试找出输出电压uc(t)随输入电压ur(t)变化的规律。,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,104,2.4 状态空间与状态空间表达式,如图：由质量为m的木块、弹性系数为K的弹簧和阻尼系数为B的系统，试找出木块的位移x(t)与外力f(t)之间的关系。,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,105,2.4 状态空间与状态空间表达式,在例2.4.2中取：x1(t)=x(t),x2(t)=v(t),u(t)=f(t),y(t)=x(t),在例2.4.1中取：x1(t)=uc(t),x2(t)=i(t)，u(t)=ui(t),y=uc,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,106,2.4 状态空间与状态空间表达式,状态变量一组能够完全表征系统运动状态的相互独立的最小个数的变量。x1(t),x2(t),xn(t),状态向量以状态变量为分量构成的向量，维数与状态变量的个数相同，一般等于系统中储能原件的个数。xT(t)=(x1(t),x2(t),xn(t),状态空间以状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴构成的欧氏空间。,状态空间的基本概念,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,107,2.4 状态空间与状态空间表达式,状态变量的特点独立性：状态变量之间线性独立；多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案；等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异线性变换；现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量；抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,108,2.4 状态空间与状态空间表达式,状态方程和输出方程-状态空间表达式,状态方程,输出方程,线性系统状态空间表达式,n维系统的状态方程的标准形式,写成向量形式,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,109,2.4 状态空间与状态空间表达式,输出方程的标准形式,写成向量形式：,y=g（x，u，t）,状态空间表达式的标准形式,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,110,2.4 状态空间与状态空间表达式,与状态空间表达式相关的术语,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,111,2.4 状态空间与状态空间表达式,状态空间表达式建立方法,由物理机理分析直接建立由微分方程建立由传递函数建立,（例，）,（1）由物理机理分析直接建立的步骤由牛顿定理，基尔霍夫定律等写出运动方程选择适当状态变量写出状态空间表达式,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,112,2.4 状态空间与状态空间表达式,（2）由微分方程建立的方法,微分方程不含有输入项的导数项,微分方程含有输入项的导数项,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,113,2.4 状态空间与状态空间表达式,微分方程不含有输入项的导数项,整理得,能控标准型,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,114,2.4 状态空间与状态空间表达式,另一种取状态变量的方法,所以有,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,115,2.4 状态空间与状态空间表达式,整理得,能观标准型,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,116,2.4 状态空间与状态空间表达式,微分方程含有输入项的导数项,从简单的入手:常微分方程,系统的状态空间表达式,需要确定系数,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,117,2.4 状态空间与状态空间表达式,用代数方法确定待定系数。,其中x4辅助状态带入方程后,整理有,解此方程即可得,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,118,2.4 状态空间与状态空间表达式,状态空间表达式为：,推广到n维：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,119,2.4 状态空间与状态空间表达式,由微分方程所描述的系统，试写出其状态空间表达式。,a2=18,a1=192,a0=640b3=0,b2=0,b1=160,b0=640,解,3=b3=02=b2-a23=01=b1-a22-a13=1600=b0-a21-a12-a03=640-18*160=-2240,系统的状态空间表达式为：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,120,2.4 状态空间与状态空间表达式,（3）由传递函数建立,串并联分解,已知系统传函为：,求状态空间表达式。,将G(s)分解为：,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,121,求以上4个系数：,取,2.4 状态空间与状态空间表达式,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,122,整理有：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,123,作业：,1、系统动态特性由下列微分方程描述，列写其相应的状态空间表达式。,2、已知系统的传递函数：列写其相应的状态空间表达式。,3、写如下传递函数的约当状态空间表达式：,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,124,现在考虑运动对象的状态方程与传递函数之间的关系。设某p输入q输出的对象的状态方程和输出方程如下：,其中A为nn的矩阵。在零初值条件下，对式（）取拉普拉斯变换，得sX(s)=AX(s)+BU(s).移项，得(sIn-A)X(s)=BU(s).其中多项式矩阵（sIn-A）必为非奇异。,2.5 控制系统不同模型间的转换,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,125,可求出 X(s)=(sIn-A)-1BU(s).对式（）取拉普拉斯变换后以上式代入，即得 Y(s)=(C(sIn-A)-1B+D)U(s),与式Y(s)=G(s)U(s)比较，就知道该系统的传递函数是 G(s)=C(sIn-A)-1B+D.（）许多情况下D=0，则有 G(s)=C(sIn-A)-1B.（）式（）和式（）给出了状态空间描述下的传递函数矩阵，是很重要的公式。对于p=q=1的情形，则给出的是标量传递函数。,2.5 控制系统不同模型间的转换,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,126,一个双连通容器。两容器的截面积都是均匀的，分别 为a1和a2；两容器的输入量（单位时间内注入的液体体积）分别为u1和u2；两容器的液位（液面高度）分别为x1和x2；认为各容器底部的输出流量正比于液位，比例系数分别为1和2；认为两容器之间从容器1流向容器2的耦合流量正比于两容器的液位之差，比例系数为12。上述各参数均为正数。要求以液位x1和x2作为输出量y1和y2，写出该系统的传递函数矩阵。,2.5 控制系统不同模型间的转换,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,127,容易写出描述此双连通容器运动的状态方程组是:,即有,（1）,（2）,2.5 控制系统不同模型间的转换,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,128,由此可求得双连通容器的传递函数矩阵为,如果a1=20，a2=1，1=2=0.02，则,其中：,（3）,（4）,（5）,2.5 控制系统不同模型间的转换,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,129,同一对象在取不同的变量作为状态向量时，所得的A，B，C，D矩阵是不同的。一个很自然的问题就是：把不同的A，B，C，D矩阵代入式G(s)=C(sIn-A)-1B+D，得到的传递函数矩阵是否也会不同？下面的定理回答这个问题。定理 对于运动对象的同一组输入向量与输出向量，选取不同的状态变量描述对象的运动，不影响其传递函数矩阵。,证明 前已证明，当状态向量作式x=R x*的非奇异变换时，变换前的矩阵A，B，C，D与变换后的矩阵A*，B*，C*，D*之间的关系是式,2.5 控制系统不同模型间的转换,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,130,现在据此将变换后的矩阵代入式G(s)=C(sIn-A)-1B+D计算变换后传递函数矩阵G*(s)，得到,从物理上考虑，上述结论是当然的。,2.5 控制系统不同模型间的转换,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,131,了解数学模型的基本概念 掌握通过解析法对实际系统建立数学模型 掌握传递函数的求法 会画动态结构图 信号流图掌握时域模型的建立控制系统不同模型间的转换,小 结,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,132,1.数学模型的基本概念。数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。2.通过解析法对实际系统建立数学模型。在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。编写闭环系统微分方程的一般步骤为：(1)首先确定系统的输入量和输出量。(2)将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程；(3)消去中间变量，就可以求得系统的微分方程式。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,133,3.传递函数 通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数 s 域的数学模型传递函数以及典型环节的传递函数。4.动态结构图 动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，进一步分析和研究系统。5.信号流图 信号流图是一种用图线表示系统中信号流向的数学模型，完全包括了描述系统的所有信息及相互关系。通过运用梅逊公式能够简便、快捷地求出系统的传递函数。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,134,作业：,1、系统状态空间表达式为：,1）画出