控制工程基础-第二章-徐.ppt
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1、2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,1,2、控制系统的数学模型,2.1 数学模型的概念2.2控制系统的时域模型2.3线性系统的频域模型2.4方框图与信号流图2.5状态空间与状态空间表达式2.6控制系统不同模型间的关系,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,2,本章学习要点,数学模型的相关概念;简单物理系统的微分方程的列写;非线性模型的线性化方法;传递函数和传递函数矩阵的概念;结构图和信号流图的基本概念及变换与化简;状态空间与状态空间表达式;控制系统不同模型形式及其之间的转换。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,3,控制系统分析,2.1
2、 控制系统的运动方程,设计控制系统应完成哪些工作?,控制对象运动规律的描述,控制对象运动规律定性分析,控制对象运动规律定量分析,控制系统的设计与综合,控制对象和控制系统的数学模型,本章任务,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,4,2.1 控制系统的运动方程,控制系统模型的作用网络函数的例子:,其中:y1(t)对应于自由运动 y2(t)对应于强迫运动,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,5,2.1 控制系统的运动方程,什么是控制系统(对象)的数学模型?模型的定义:系统输入变量与输出变量之间的动力学特性(运动特性)描述,称为系统的模型。如果用数学表达式描述,
3、则称为系统的数学模型。简单的说:数学模型就是描述输出变量与输入变量之间对应关系的数学表达式。数学模型的分类:按运动特性分类 静态模型在静态条件下(即变量不随时间变化),描述变量之间关系的代数方程(组)。动态模型描述系统运动规律的模型,一般用微分方程描述。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,6,2.1 控制系统的运动方程,按定义域分类 时域模型 微分方程、差分方程和状态方程;复频域模型传递函数、结构图、频率特性建立系统数学模型的方法机理分析方法(解析法)应用物理、化学、电学、机械运动等相关定律,通过机理分析的方法建立系统的数学模型。系统辨识方法(实验法)基于系统输入输出的实
4、验数据来建立数学模型的方法,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,7,2.1 控制系统的运动方程,几个相关的概念系统的运动:系统输出变量(跟随输入变量)的变化过程,称为系统的运动。描述系统运动过程的数学表达式,称为系统的运动方程既(控制系统的)数学模型。下面通过几个例子来介绍控制系统数学模型建立的过程(微分方程),(动态系统的),2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,8,2.1 控制系统的运动方程,解析法建立系统微分方程的步骤1、确定系统和各部件的输入变量与输出变量,及信号传递关系。2、根据物理化学等定律列写各部件原始方程。3、列出原始方程式中各中间变量的关
5、系式。4、将上述关系式代入原始方程,并消去中间 变量,得到最终关于输出输入间的关系 方程式。既最终的数学模型,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,9,2.1 控制系统的运动方程,研究RLC电路,试找出输出电压uc(t)随输入电压ur(t)变化的规律。,解,1、确定输入、输出变量,输出变量;uc(t),输入变量ur(t).,2、列写方程,3、中间变量i(t),4、消去中间变量,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,10,2.1 控制系统的运动方程,代入原始方程,有:,R、C、L是已知的,初始uc(0)确定时,给定ur(t)就可以确定uc(t),如果令 T1=
6、LC,T2=RC则有:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,11,2.1 控制系统的运动方程,如图:由质量为m的物体、弹性系数为K的弹簧和阻尼系数为B的系统,试找出物体的位移x(t)与外力F(t)之间的关系。,解,1、输入变量 f(t),输出变量x(t),2、原始方程,3、中间变量,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,12,2.1 控制系统的运动方程,4、代入原始方程,得:,m、K、B是已知的,初始x(0)确定时,给出f(t)就可以确定x(t),如果令:T1=,T2=,Kr=则有:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,13,2.1 控
7、制系统的运动方程,如图,直流他励电动机;ua是外加的输入变量电枢电压(伏),m表示电动机的角转速(弧度/秒),为输出量。讨论他们之间的关系。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,14,信号传递分析,a 电枢回路环节:b 电动机环节:(机械运动与电磁偶合),2.1 控制系统的运动方程,解,2、列写原始方程,电枢回路方程,转动惯量方程,1,输入变量,输出变量,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,15,2.1 控制系统的运动方程,在上述表达式中:,电枢回路总电阻,电枢回路总电感,电动机的反电势,电动机转动惯量,电动机电磁力矩,电动机负载转矩,电机轴上的摩擦系数
8、,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,16,2.1 控制系统的运动方程,3、中间变量关系式 根据电机学原理有两个关系式,式中:电动机转矩系数 电势系数,4、消去中间变量,由转动惯量方程式,有:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,17,2.1 控制系统的运动方程,得到:,代入电枢回路方程有:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,18,2.1 控制系统的运动方程,在空载时有,Ra、La、Jm、fm、Km、Ke是已知参数,如果初始x(0)确定时,已知f(t)就可以确定x(t),如果令:,则:,则有:,2023/10/21,北京科技大学信息
9、工程学院自动化系,19,2.1 控制系统的运动方程,注意观察三个示例的微分方程,可以用一个共同的表达式来表示,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,20,2.1 控制系统的运动方程,注意观察三个示例的微分方程许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统,其物理背景可能完全不一样,但是可以用一个相同运动方程来表示,我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式,即它们具有相同的数学模型。这类系统被称为相似系统。可以通过求解得到ur(t)uc(t),f(t)x(t)之间内在运动的关联关系、分析系统的运动特性。进而改造系统-选择适当的R、L、C和m、B、K得到希望的运动规律。,20
10、23/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,21,2.1 控制系统的运动方程,问题:从严格意义上讲,绝大多数系统的数学模型都不是线性模型(即系统并非是线性系统)。事实上,任何一个元件总是存在一定程度的非线性。即使假设具有线性的特性,也是局限在一定的范围内。,几种常见的非线性,非线性问题讨论,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,22,2.1 控制系统的运动方程,非线性系统的表示非线性系统多用曲线表示:,若用数学表示一般表示如下:对于输入输出连续变化的非线性系统(或特性):,动态:y(n)=f(t;y,y(1),y(n),x,x(1),x(m)静态:y=f(x),202
11、3/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,23,对于输入输出非连续的非线性系统(或特性),静态,动态:,或,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,24,2.1 控制系统的运动方程,两类非线性系统本质非线性和非本质非线性,如果令:,则有:,非线性,线性,例:,通过变量代换,从非线性方程变成了线性方程,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,25,2.1 控制系统的运动方程,本质非线性的定义:,非线性方程,不能通过变量代换的方式,从非线性方程转变为线性方程的,称为本质非线性方程,与之对应的系统,称为本质非线性系统。,相反:则称为非本质非线性系统,2023/
12、10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,26,2.1 控制系统的运动方程,非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下,可以近似地转化为线性微分方程,可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明,这样做能够圆满地解决许多工程问题,有很大的实际意义。线性化的方法 忽略弱非线性环节:如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内,则它们对系统的影响很小,就可以忽略。台劳级数展开法(小偏差法,切线法,增量线性化法):适用前提假设在控制系统的整个调节过程中,各个元件的输入和输出量只是在平衡点附近作微小变化。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,27,2.1 控制系统的运动方
13、程,忽略二次以上的各项,上式可以写成:,A点为平衡点(x0,y0),函数在平衡点处连续可微,则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数:,其中:,非线性元件的线性化数学模型,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,28,2.1 控制系统的运动方程,平均斜率法:如果一非线性元件输入输出关系如下图所示,此时不能台劳级数展开法,可用平均斜率法得线性化方程为:,其中:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,29,2.1 控制系统的运动方程,注意:这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统,对于某些严重的非线性不能作线性化处理,一般用相平面法及描述函数法进行分析。(此部分超出
14、本课程的内容,可参考非线性控制的章节或教材。),2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,30,2.1 控制系统的运动方程,水位自动控制系统:输入量为Q1,输出量为水位H,求水箱的微分方程。水箱的横截面积为C,R表示流阻。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,31,2.1 控制系统的运动方程,解,在dt时间中,水箱内流体变化量CdH。则:,显然这个式子为非线性关系,在工作点H0附近进行台劳级数展开。取一次项得:,其中:,水箱的线性化微分方程:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,32,2.1 控制系统的运动方程,说明非线性系统的线性化方程只
15、在工作点附近才成立。工作点不同,所得线性化方程的线性化系数不同,即线性化方程不同。多变量情况处理类似。,整理得水箱的标准线性化微分方程为:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,33,2.1 控制系统的运动方程,补充习题1:试求图中以电枢电压ua为输入量,以电动机转角为输出量的微分方程形式和传递函数。,作业:p14,1-1,1-5,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,34,2.2 线性系统的复数域模型,2.2.1 拉普拉斯变换2.2.2 传递函数2.2.3 传递函数矩阵2.2.4 典型元部件的传递函数,问题:1)微分方程求解比较困难,不利于工程实现;2)有
16、时分析控制系统的性质时不必求解方程;是否有更方便的形式描述系统?,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,35,2.2 线性系统的复频域模型,拉氏变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。,s为复频率,2.2.1 拉普拉斯变换,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,36,2.2 线性系统的复频域模型,正变换,反变换,正变换,反变换,拉氏变换的定义,t 0 时,f(t)=0,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,3
17、7,2.2 线性系统的复频域模型,如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足:,则,总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值,即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在?,也称为收敛因子,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,38,2.2 线性系统的复频域模型,典型函数的拉氏变换,(1)单位阶跃函数的象函数,(2)单位冲激函数的象函数,(3)指数函数的象函数,L,L,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,39,2.2 线性系统的复频域模型,(4)正弦函数的像函数,(5)余弦函数的象函数,L,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,40,2.
18、2 线性系统的复频域模型,拉普拉斯变换的基本性质,线性性质,时间比例性质(相似),L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,41,2.2 线性系统的复频域模型,微分性质,时域导数性质,L,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,42,2.2 线性系统的复频域模型,积分性质,延迟性质,频域延迟,初值定理:,f(t)在t=0处无冲激则,终值定理:,初值定理和终值定理,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,43,2.2 线性系统的复频域模型,卷积定理,L,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,44,2.2 线性系统的复频域
19、模型,已知微分方程如下,试求初值皆为零时输出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,解,初值皆为零,即,由微分性质对方程两边作拉氏变换:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,45,2.2 线性系统的复频域模型,拉普拉斯反变换的求法,(1)按定义,(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数(p28),2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,46,2.2 线性系统的复频域模型,(3)利用拉氏变换的性质,解,由延迟性质知:,L,(4)把F(s)分解为简单项的组合,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,47,2.2 线性系统的复频域模型,利用部
20、分分式可将F(s)分解为:,设象函数的一般形式:,待定常数,若nm,则需将F(s)化成真分式,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,48,2.2 线性系统的复频域模型,待定常数的确定:,方法1,方法2,求极限的方法,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,49,2.2 线性系统的复频域模型,求如下像函数的原函数。,解,解法1,解法2,原函数的一般形式:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,50,2.2 线性系统的复频域模型,一对共轭复根为一分解单元设:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,51,2.2 线性系统的复频域模
21、型,A和B的求法,方法1,再令:实部、虚部分别相等,求得 A和B,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,52,2.2 线性系统的复频域模型,只需按单根求一次K1或K2,求出K1后,根据性质有:,再根据下式,求得A和B,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,53,2.2 线性系统的复频域模型,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,54,2.2 线性系统的复频域模型,其中:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,55,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,56,2.2 线性系统的复频域模型,解,2023/
22、10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,57,2.2 线性系统的复频域模型,1.n=m 时将F(s)化成真分式和多项式之和,小结:由F(s)求f(t)的步骤,2.求真分式分母的根,确定分解单元,3.将真分式展开成部分分式,求各部分分式的系数,4.对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。,作业:p81,2-5,2-7,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,58,2.2 线性系统的复频域模型,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,59,2.2 线性系统的复频域模型,2.2.2 系统的传递函数,(1)定义:单输入单输出线性定常动态对象的传递函数是零初值下
23、该对象的输出量的拉氏的变换象函数与输入量的拉氏变换象函数之比。,回答本节开始的问题,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,60,2.2 线性系统的复频域模型,RLC电路,取ur为输入,uc为输出,得:,拉氏变换得:,则传递函数为:,解,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,61,2.2 线性系统的复频域模型,解,根据牛顿第二定律,得,取外力f(t)为输入;位移x(t)为输出,得微分方程:,拉氏变换后得:,传递函数为:,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,62,2.2 线性系统的复频域模型,一般有nm,同一个系统,当输入量和输出量的选择不相
24、同时,可能会有不同的传递函数。,不同的物理系统可以有相同的传递函数。,传递函数表示系统传递输入信号的能力,反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关,与外部作用等条件无关。,(2)传递函数的性质,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,63,2.2 线性系统的复频域模型,(3)传递函数的常用表示形式,时间常数形式,根的形式,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,64,2.2 线性系统的复频域模型,与上述传递函数有关的几个重要概念:,特征多项式:G(s)的分母多项式D(s)特征方程:D(s)=0极点/特征根:D(s)=0的根零点:N(s)=0的根零极点对
25、消系统的阶数:max(n,m),(一般nm)系统的类型放大系数,系统的放大系数 K根轨迹放大系数 Kg,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,65,2.2 线性系统的复频域模型,2.2.3 传递函数矩阵,将传递函数的概念推广到多输入多输出系统,传递函数G(s)推广为传递函数矩阵G(s)。设系统有p个输入量、q个输出量如下图。,2023/10/21,北京科技大学信息工程学院自动化系,66,2.2 线性系统的复频域模型,如图,直流他励电动机;ua是外加的输入变量电枢电压(伏),m表示电动机的角转速(弧度/秒),为输出量。讨论他们之间的关系。,2023/10/21,北京科技大学信息
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