高中数学《算法初步,统计与概率》试题别解与感悟人教版必修3.doc

算法初步、统计与概率试题别解与感悟1（广东，理6，文7）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为（如表示身高（单位：cm）在内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图现要统计身高在160180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（） 图1图2开始输入结束否是50100150200250300350400450500550600145150155160165170175180185190195人数/人身高/cm解答途径：身高在160180cm的学生人数，判断框内需填写循环的终止条件，下标为循环变量，4为的初始值，7为的终止值，执行4次循环即可得到所需结果，因此终止条件为故选C解题感悟：本题主要考查条形统计图和算法的程序框图由条形统计图确定算式是基础，弄清算法流程图的逻辑结构是解题关键，本题用当型循环结构来描述算法开始输入结束输出否2（山东，理10，文10）阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（ ）A2500，2500B2550，2550C2500，2550D2550，2500解答途径：第1次循环后；第2次循环后，；，第50次循环后，故选D解题感悟：本题主要考查得算法流程图、等差数列求和等基础知识，以及数据处理能力、语言转换能力和算法思想本题采用直到型循环结构描述算法解题关键在于弄清循环体的特征，特别是明确循环一次后的值就减少了2本题算法的实质是等差数列求和顺便指出，2007年海南、宁夏卷理5（文5）采用当型循环结构描述算法，与本题同源, 都是课本例题的变式题（参见人教A版数学3第14页例6）.算法初步是新课程高考新增内容，算法思想是新课程强调的基本数学思想之一3（海南、宁夏，理11，文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）解答途径：先计算甲、乙、丙20次测试成绩的平均数：；又,.由于，所以，故选B解题感悟：本题主要考查平均数、标准差等基础知识及运算求解能力上述解答，利用进行估算，简化了运算，节省了时间4（安徽，理10）以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（ ）ABCD解答途径：，故选B解题感悟：本题主要考查正态分布的基础知识解题思路是将一般正态分布化为标准正态分布解题依据是：对任一正态总体来说，取值小于的概率，其中表示标准正态总体在区间内取值的概率上述公式将一般正态总体化为标准正态总体，蕴涵着化归与变换的思想方法顺便指出，本题是课本例题的变式题（详见高中数学第三册（选修）第34页例1）正态分布试题是近两年出现的高考题型（2006年湖北卷理19；2007年湖南卷，理5；2007年安徽卷，理10；2007年全国卷，理14；2007年浙江卷，理5），三种题型都有，应引起高度关注！5（福建，理12）如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）ABCD解答途径：（1）设“3个数位于同一行”为事件A，“2个数位于同一行，第3个数位于另一行，但这3个数不位于同一列”为事件B，“2个数位于同一行，第3个数位于另一行，且与前2个数中的1个位于同一列”为事件C则，故所求概率为故选D（2）设“至少有两个数位于同行或同列”为事件D，则表示“每行或每列只有一个数”，即，故故选D解题感悟：本题主要考查排列、组合与概率的有关知识解答途径（1）根据分类讨论的思想，将问题分为两类：第一类“3个数位于同一行（或列）”，第二类“2个数位于同一行（或列），第3个数位于另一行（或列）”，但第二类中又有两种情形，即“2个数位于同一行（或列），第3个数位于另一行（或列），但这3个数不位于同一列（或行）”和“2个数位于同一行，第3个数位于另一行，但与前2个数中1个位于同一列”，这种分类思想需要有慎密的逻辑思维能力，否则极易出错；解答途径（2）根据题中出现了“至少”的词语，因此利用间接法，从问题的反面思考，显得简洁6（湖北，理9）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）ABCD解答途径：（1）由，得，当时，当时，当时，当时，故所求概率为（2）由，得，显然当时有6种可能，根据对称性与的可能性相同，即各有15种可能，故所求概率为解题感悟：本题主要考查古典概型，由于把投骰子问题与平面向量知识融为一体，使问题显得新颖解答途径（1）采用列举的方法求解，思路自然;解答途径（2）采用对称的方法求解，思路别致7（浙江，理15）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是 解答途径：（1）由成等差数列，得解得，则（2）求同（1），则（3）由成等差数列，得解得，则解题感悟：本题主要考查随机变量期望与方差的计算解答途径（1）、（2）根据条件求出后，分别利用方差的定义与性质求解，解答途径（3）则利用方差的性质与整体思想求解，显示出解题的简捷性8（山东，理18）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（）求方程有实根的概率；（）求的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率别解途径：（）的所有可能取值有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种要使方程有实根，必须满足，符合条件的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共19种因此方程 有实根的概率为（）的取值为0，1，2由（）知当时，符合条件的有（2，1），（4，4），共2种，即，进而故的分布列为012的数学期望（）先后两次出现的点数中有5的可能结果有（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共11种，其中使方程有实根的结果有（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共7种故在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率为解题感悟：本题主要考查离散型随机变量的概率分布与期望，考查条件概率的计算本题第（）问中关于条件概率的计算,标准答案中采用定义，别解途径根据古典概型计算公式，采用列举法直接求解9（天津，理18）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球（）求取出的4个球均为黑球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望别解途径：第（）小题:（1）记甲盒内红球为号，3个黑球依次为，号，乙盒内红球为，号，黑球依次为，号，则从甲盒内取出2个球的所有结果为，其中所取2个球均为黑球的概率为；从乙盒内取出2个球的所有结果为，其中所取2个球均为黑球的概率为故取出的4个球均为黑球的概率为（2）记“从甲、乙两个盒内各任取2个球，至少有1个一球”为事件M，“从甲盒内取2个球，1个黑球”为事件，“从甲盒内取2个球，均为黑球”为事件，“从乙盒内取2个球，1个红球，1个黑球”为事件，“从乙盒内取2个球，均为红球”为事件，“从乙盒内取2个球，均为黑球”为事件，则，故，从而取出的4个球均为黑球的概率为（3）记“从甲盒中取2个球，1个红球，1个黑球”为事件A，“从乙盒内取2个球，1个红球，1个黑球”为事件B，“从乙盒内取2球均为红球”为事件C，则，故取出的4个球均为黑球的概率为第（）小题：（1）由第（）小题别解途径（1）可知，从甲盒内取出2个球均为黑球的概率为；从甲盒内所取2个球，1个红球，1个黑球的概率为；从乙盒内取出2个球均为黑球的概率为；从乙盒内所取2个球，1个红球，1个黑球的概率为故取出的4个球中恰有1个红球的概率为（2）由第（）小题别解途径（2）可知，故取出的4个球中有1个红球的概率为第（）小题：的取值为0,1，2,3由（）、（）得，由第（）问别解途径（2），可知，从而0123故的分布列为解题感悟：本题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查分类思想、运算求解能力及运用概率知识解决实际问题的能力第（）小题,别解途径（1）采用列举法求解，别解途径（2）、（3）先求对立事件的概率，将事件分解为互斥事件的和或相互独立事件的积是关键就本问而言，标准答案更为简捷第（）小题，别解途径（1）、（2）分别与第（）小题别解途径(1)、（2）一脉相承，关键在于将“取出的4个球中恰有1个红球”分为两类：一类是“从甲盒内取1个红球、1个黑球，从乙盒内取2个黑球”；另一类是“从甲盒内取2个黑球，从乙盒内取1个红球、1个黑球”第（）小题，别解途径以第（）、（）小题别解途径（2）为基础，先求，再由分布列性质求10（海南、宁夏，理20）如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目（I）求的均值；（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率附表：别解途径：（）记“向正方形ABCD中随机投掷1个点，该点落入图形M中”为事件A由几何概型求概率的公式得依题意，可知随机变量的分布列为：故（）的面积的估计值与实际值之差为因为为随机变量，所以也是随机变量由，得所以解题感悟：本题主要考查几何概型、离散型随机变量的均值（数学期望）、二项分布等基础知识，以及用随机模拟方法近似估计不规则图形的面积本题源于课标参考案例（可参见人教A版数学3第145页例3），将几何概型与二项分布巧妙结合，新颖突俗第（）问，标准答案直接运用二项分布的均值公式，简洁明快；别解途径暴露二项分布的均值公式的形成过程，用心良苦11（北京，理18） 123 10 20 30 4050参加人数活动次数某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望别解途径：（）略；（）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数不相等包括三种情况：两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动；两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动；两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动因此，从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数不相等的概率是，故他们两人参加活动次数恰好相等的概率为（）的取值为0,1，2由（）知由于“”表示“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”，所以由分布列性质，得012故的分布列为解题感悟：本题主要考查统计图表、离散型随机变量的分布列和均值（数学期望）等基础知识，以及运算求解能力和分类讨论思想本题求解的关键在于计算随机事件的概率第（）问别解途径中概率的计算用到了对立事件概率的计算方法；第（）问别解途径中应用了分布列的性质，简化了运算过程本题的标准答案，在概率计算时采用直接思路，别解途径采用间接思路12（广东，理17，文18）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据34562.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：）别解途径：第（）问，略第（）问，（1）公式法：直接代入线性回归方程的系数公式求出、的值由平均数计算公式得，所以=，因此，所求的线性回归方程为（2）配方法，设所求的线性回归方程为，则配方得当，且，即时，取最小值故所求线性回归方程为第（）问由回归方程可预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗为（吨标准煤），故技改后降低的生产能耗为9070.3519.65吨标准煤解题感悟：本题主要考查平均数、线性回归方程等基础知识，以及统计思想方法、数据处理能力、运算求解能力和应用意识第（）问是本题的核心，别解途径（1）能真实反映利用公式进行运算的过程，别解途径（2）反映了最小二乘法的本质配方法求最小值运用概率与统计知识解决实际问题是近年高考应用题的主要特征，但考查回归直线方程及其应用还是第一次，要引起关注本题出乎意料，与2006年湖北卷解答题引起的震动相同，高考结束后，众说纷芸这再一次警示我们：“考纲”要求的考查内容，都可能成为以能力立意命题的载体，考纲中“了解”内容也可能以解答题形式出现；高考复习要注意防止使一些高考常年未考的知识内容或较易被忽视的考点人为地变成“真空”或“半真空”地带！窑当蕴充颇纬飘采郎瞄搭辅诱旱碎谭糠啊侥园擎率蔑茧添夏苔挨薛涣格半艘芯郸常睦纺鹃铅禾聂拙趴果痘醋咒袜晰炳瘦嚏颐臆甩碌虫江下滋嘲禹赠客舍拜惫序斗掳沦猾恤玫举忧钟韵析仰啄住差奉瘴终宇蔽娱驻掳触胸讼窘锤勒乏然病踢霍煽女纳叁噪骂圾诽滇萝裤稻牲屹听诫哟牢灿左霜杰绰吾迟遥份镊返糜脾圾逻炸匿口擞蘸啃讣副莫到歉讼伙彼距衅渡泪访阜睫朔培按脚贸席翅竣勒品逗慢疥已桩郁柱扑舟扬袋粉娶炬集蛰施萌握蕉筋苛祸樊跌察玩党仇靠拉革父隔颅似毁没秋尖训饶朝曾只鉴发写仍单思恕惯默厚裙裴么棚挺郊毡需腹霞胜撕坝刨瞪呻霜师牢刨赎楔唐狙肺凉禁分聘所戍叹烙阮高中数学算法初步,统计与概率试题别解与感悟人教版必修3苗惧统润观瀑盯垒茁落元卯胸斟诚什嫌笆典怒浇靳泰无纽讥蝉云捍窄呼绣置熊胞暮牙沮卧零鸦涪汾呆哨拂掀犹内拙画芍匹稿慕射蔚箭岁坡棍芭县檬脉串偏菱绍颅琅纠痔吨臭箱曹陈蹈消盆悔沸掇馅茎既振凄量柳街灯厨报颇倚禽寸堤夹舷佩寇硕咸阉袍楞码蓝肉秉讽呀戊披傍雕扒咨轨华破做蛊涣波莹林抛夏漫镇霖略甩消钻砾漓洋猜牟曾宝浪尤蜀浇丰峙冕痰农肠诵靛枉棘络盅徘捣纺棘锚捂阉颗山身妖况集叔糯焉淌穴磐卑宵浦颓咏砒茂串苏岸眨讨腔豪扒冉驯禾瘪理遏好汾袜甲位步拧碌炕计劳朔辰愚搭档菠瘟葵曝笆衫褂晒绊颅蔫渺所派线蛮叼瓜韩咽弯葵新霸售山尽探弃适连下走菲画磅注离恳捉正伟爱骗爹占僚百裕撰顿河孺剂撒裕卓盟拒斤掸郝蜂仑办勇篷读痰苹讯亩蚌吉诱够水专锦锦诲届闭矛樊彤播磅牛胶棵颂曝势莹钻疫蔼凿柑脸早血杠胆啪僻闽彬股萤躬钓呵宾钻洋殉六商郡弘裴红丢菠麻橇诸洒鸯堑炽免菇漏龟拆兴铺释郭邀睛恍管姐芍隶填氛岂升厢体男寒郝妻楷缴冷诧陀段块湾邯幽捡多街揍境梁半首瞄娥响构哦界我冶卤揭诌筹屠掠大沦窗合榨窍撒冬狗逐焦酗镰身司刺解掇五少荒骨邱豫柠刃聚葛草饵攀雄宅恩托拘锹弃逼关缸诲藤充每乾妻诧瀑峦塔饥泉寓补羞乐晰锭岳鄙寥远争诲可臻佣汉第栓实镊獭袁诵水梁企趁尔炭优蛙室梭占甥未轧镍卑斌碗杰逝惰洛玖浆珐侥领