函数极值求法及其应用 毕业论文.doc

毕业论文题 目 函数极值求法及其应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 专 业 数学与应用数学 学 号 研究类型 研究综述 指导教师 提交日期 2012-5-25 原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名: 年 月 日 论文指导教师签名:函数极值求法及其应用 摘 要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用The Extreme Value Method and Application of Function Abstract: The extreme of function is an important content of the function natural form and has a generally application in a lot of math problem. For this reason, the paper not only discussed the extreme value method and application of the function and multiple function, but also discussed the extreme value method and application of the function and multiple function, but also taken a simple discussion of functional extreme value the method, and give the relevant application at the same time.Key words: the extreme value of function, conditional extreme, functional extreme ,Application目 录引言11.一元函数的极值1 1.1一元函数的极值第一充分条件1 1.2一元函数的极值第二充分条件2 1.3一元函数的极值第三充分条件32.多元函数的极值4 2.1二元函数极值4 2.1.1二元函数取极值的充分条件4 2.2 元函数极值5 2.2.1.利用二次型求多元函数极值5 2.2.2.利用梯度及内积计算多元函数的极值6 2.2.3利用方向导数判断多元函数的极值7 2.3函数极值的应用(用极值的方法证明不等式)83.条件极值9 3.1条件极值的解法93.2利用条件极值证明不等式124.泛函极值及其应用13 4.1泛函的定义13 4.2相对极值13 4.2.1绝对极值与相对极值的定义13 4.2.2相对极值的必要条件13 4.3 泛函极值的应用15 4.3.1 最小旋转面问题15 4.3.2最速降线问题 15结束语17参考文献18致谢19函数极值求法及其应用马富荣（天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000）摘 要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用问题,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用引言 函数的极值问题是高等数学中的一个重要内容.在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微积分学中占有很重要的地位.在各类大型考试中,极值也是重要的考点,常以该知识点的证明及应用出现.函数极值问题也是培养发散思维与创新性思维的重要手段之一,能有效提高解题和应用能力.鉴于其解法较为灵活、综合性强、能力要求高.故在解决这类问题时,要求掌握很多数学知识,综合应用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.1一元函数的极值定义 设函数在的某领域U（）内有定义.如果对于取心邻域U（）内的任,有或.那么就称是函数的一个极大值或极小值.(将改为<或将改为>,则称为严格极大值或严格极小值).1.1一元函数的极值第一充分条件设函数在处连续且在的某去心邻域U（）内可导.（1）若(,)时, >0,而(,)时, <0,则在处取极大值.（2）若(,)时, <0,而x(,)时, >0,则在处取极小值.（3）若U(,)时,符号保持不变,则在处没有极值.例1. 求=的极值.解 先求导数 再求出驻点:当时,.判断函数的极值如下表所示:x+00+0+极大极小无所以在=-2时取极大值,在时取极小值.1.2一元函数的极值第二充分条件设函数在点具有二阶导数,且=0,0.则:（1）当<0,函数在点取极大值.（2）当 >0,函数在点取极小值.（3）当=0,其情形不一定.例2. 求函数的极值.解 由得的驻点为.=,所以在处取得极小值,在处由第二充分条件无法判定,由第一充分条件得:在处都没有极值.1.3一元函数的极值第三充分条件设任意函数在有阶导数,且直到导数都为零,而阶导数不为零.（1）当为偶数时在取极值,当 ()<0时取极大值,()>0时取极小值. （2）当为奇数时在点不取得极值.上面给出了求函数极值的3种充分条件,第1充分条件适合于所有的连续函数,第3充分条件也就是第2充分条件的特殊情况,每种求极值的充分条件的方法和步骤都是一样的.总结 一元函数求极值的方法步骤（1）求可疑点,可疑点包括（）稳定点（亦称为驻点或逗留点,皆指一阶导数等于零的点）;（）导数不存在的点;（）区间端点.（2）对可疑点进行判断,其方法是（）直接利用定义判断;（）利用实际背景来判断;（）查看一阶导数的符号,当从左向右穿越可疑点时,若的符号a.由“正”变为“负”,则为严格极大值;b.由“负”变为“正”,则为严格极小值;c.不变号,则不是极值. ()若=0, （）若为偶数,则为极值:若为奇数,则不是极值.2.多元函数的极值2.1 二元函数极值在现实的社会研究中,关系到二元函数极值的问题更为广泛,它与实践联系的更紧密,所以研究二元函数的极值意义是重大的.定义 设函数在点的某邻域内有定义,对于该邻域内异于的点;如果适合不等式<,则称函数在点有极大值;如果都适合不等式 >则称函数在点有极小值.2.1.1二元函数取极值的充分条件若函数在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数,且=0,=0.令,则: （1）当时,有极值.且当时取极大值,当时取极小值.（2）当时,没有极值. （3）当时,不能确定.例3. 求的极值.解 设,则,解方程组 得驻点: .对于驻点有,故 .因此 在点取得极小值.对于驻点,有,.故 .因此 在点不取得极值.2.2 元函数极值2.2.1利用二次型求多元函数极值定义 设函数在点有连续的二阶偏导,称矩阵 为函数在点的海瑟矩阵.定理 1 ( 充分条件) 如果函数, E, 在驻点的某邻域U() 内, 具有Hesse矩阵A, 则( 1) 若A为正定(或半正定) 矩阵时, 在点取严格极大(或极大) 值;( 2) 若A为负定(或半负定) 矩阵时, 在点 取极小(或极小) 值;( 3) 若A为非定号阵, 在点不取极值.求函数 的极值时, 应首先求出驻点或偏导数不存在的点, 然后对所有可能的极值点进行检验, 确定函数的极值点并求出函数极值. 总结 利用二次型求n元函数极值的方法步骤第一步: 求出函数可能的极值点.首先, 求出函数的驻点, 根据极值存在的必要条件, 解方程组 ,方程组的解即为驻点.再考虑一阶偏导数不存在的点.第二步: 对每一个可能的极值点进行检验. 根据极值存在的充分条件, 首先, 计算在点的Hesse矩阵,.再根据定理1判定 是否为极值点并求出极值.例4. 求函数的极值.解 在二阶偏导数连续且可微,先求稳定点,令求得稳定点为 和.二阶偏导数为 ,.在点为正定矩阵,所以在处有极小值;在点为负定矩阵,所以在处有极大值;在点和处,为不定矩阵,所以它们都不是极值点.2.2.2 利用梯度及内积计算多元函数的极值定义 若在点存在对所有自变量的偏导数,则称向量为函数在的梯度,记作.引理1 设在点连续,在内可微,（）若,有,则在点取极大值;（）若,有,则在点取极小值;对于有些多元函数我们也可以利用梯度及内积的方法求极值. 现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明. 定理2 设多元函数在点连续,在内可微, （）,有,则在点取得极大值; （）,则在点取得极小值. 由于极值只可能在稳定点或偏导数至少有一个不存在的点处取得,因此,定理2可对这样的两类点使用.例5. 求的极值.解:令 解得对点有 所以时,达到极小值.2.2.3 利用方向导数判断多元函数的极值定义 设函数在点的某邻域内有定义,对令若存在,称此极限为函数在点沿方向的方向导数,记. 引理2 设二元函数在点的某邻域内连续,在内可微, ,用表示方向. （）若>0,则在点取得极大值; （）若<0,则在点取得极小值. 与二元函数相类似,多元函数也可以利用方向导数来判断极大值和极小值.现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明.定理3 设多元函数在点的某邻域内连续,在内可微, ,用表示方向.（）若>0,则在点取得极大值;（）若<0,则在点取得极小值.推论 设多元函数在点的某邻域内连续,在内可微, ,用表示方向.（）若则在点取得极大值;（）若则在点取得极小值.例6. 讨论三元函数的极值. 解 先求三个一阶偏导数令它们为0.即 求得稳定点为.因为 由推论知在点处得极小值.|2.3 函数极值的应用(用极值的方法证明不等式)要证明,只要求函数的极值,证明 .这是证明不等式的基本方法.例7. 设 为任意常数,试证:证明 问题是证明:,因为所以只要证明 令,得到唯一的稳定点=2,当2时,当2时,所以（2）=2-22+2=2（1-2）+2.3.条件极值3.1条件极值的解法在高等数学教材中,确定函数,在条件之下的条件极值问题,通常应用拉格朗日乘数法,可把以上条件极值问题转化为求函数 的无条件极值问题.由极值的必要条件知,需求解如下的方程组: （1）一般教科书及参考教材的处理方法为两种:一种是直接由方程组（1）解出驻点即在方程组（1）中,把当成未知量进行求解;另一种方法是从方程组（1）中消去参数及,仅对未知量求解.由于需要消去两个参数,故以上两种办法的难易程度相当.方程组（1）是含有五个未知量的方程组,未知量的个数相对较多,以上两种方法求解均很不方便,尤其对于稍微复杂的函数,直接求解相当困难甚至是不可能的,为了简化计算,我们可以设计以下两种新的处理方法.（1）不考虑参数,仅求方程组（1）关于的解,这样可以把方程的个数减少到三个,这里给出以下的结果:如果是方程组（1）的解,则是方程组 （2）的解.例8. 求解 故方程组（2）为 （3）由方程组（3）的第一个方程可得:由由由而|=|=|=, |=|=|=故（2）可根据题设条件,把方程组（1）化为仅对参数求解,而不考虑 这种解法常用于方程中含有字母常数的情况,可看以下的例子.例9. 求函数在条件下的极值.解 令对关于求导可得方程组得将分别代入式,有 （4）再,注意到可得: (>0)于是求的条件极值转化为求在方程组（4）及题设条件下的极值.由条件故方程组（4）关于有非零解,可得其系数行列式为零,即有展开化简可得 (5)是方程(7)的零解,由于 (>0),故应舍去,由此可得即满足二次方程 此方程有两个正根, 设可得. 3.2利用条件极值证明不等式若求得在条件之下的最大值为,那么我们就获得了不等式.例10. 求时,函数+2+3在球面上的极大值,证明为整实数时,.证明 设令解得因为在球面位于第一卦限的部分上连续,在这部分的边界线上, 分别为零. +2+3为负无穷大,故的最大值只能在这部分内达到,而是唯一的可疑点,所以的最大值为 于是,故两边同时平方,并用代入得: 4.泛函极值及其应用4.1泛函的定义 设是给定的某一类函数,如果对这类函数中每一个函数都有一个函数值与之相对应,则称是这类函数的泛函.4.2 相对极值4.2.1相对极值的定义 设属于某个可取函数类,是类中任意函数, 如果某个函数限于的某一领域,且使得泛函(或),这种极值称为相对极小值(或相对极大值).使泛函取得极值或稳定值的函数或曲线叫做极端函数.4.2.2相对极值的必要条件定理4 若果泛函在上实现相对极值,则泛函在上的变(这里可以是单变量,也可以是多变量).证明 根据泛函极值的定义,如果在上实现相对极值,则存在的一个邻域,对于该邻域内的任一函数,必然使得泛函增量不变号.又由于当充分光滑时,上式可展成 =,式中,.如果令,式中是任意选定的函数,是一个实参数(一般取很小的值,例如可设).则由于和是确定的了,所以实际是数值变量的普通函数,将按展开得:其中,如果,则可把取得充分小,使的符号与的相同,然后改变的正负号.这样一来,就不可能在上取的相对极值了,与已知矛盾,故必须,即.定理5 如果泛函的定义域中每一元素都是一条光滑曲线,且满足边界条件:在曲线达到极值,则必为微分方程的解.例11. 求泛函的极值曲线.解 因为它的欧拉方程为,于是有 如果令,则有又因,所以积分之,则得.这就是说,泛函的极值曲线是一簇中心在纵坐标轴上的圆.4.3泛函极值的应用4.3.1最小旋转面问题例12. 在以点,点(设)为端点的所有光滑曲线中,求一曲线使它绕轴旋转时所的旋转曲面的面积最小.以表示任一可取曲线,于是绕轴所得旋转面面积 .因中不显含,其欧拉方程降阶后如下化减后,得到现在令,则,因为,所以从而 于是所求的极值曲线的参数方程为 消去参数,得这是一条悬链线,式中的常数、由端点条件确定.4.3.2最速降线问题在竖直平面上将给定两点和用一条光滑的金属线相连,一质量为的质点以初速度由点沿金属线滑动,问金属线为何种形状时,质点到达点所需的时间最少？ 解 现在建立这个数学模型,取为平面直角坐标系的原点,轴置与水平位置,轴正向朝下.显然,最速降限应在这个平面内.于是点的坐标就是.设点的坐标为.取连接和的曲线方程为 它在区间的两个端点满足条件 则有能量守恒定理得 设为曲线的运动方程,质点沿着该曲线由点运动到点,质点的运动速度表示为 由式消去并积分,得质点由运动到所需的时间为显然, 是依赖于函数的函数, 取不同的函数, 也就有不同的值与之对应.这样,最速降线问题在数学上就归结为在满足条件的所有函数中,求使得积分公式取最小值的函数.上述问题实际是求泛函满足边界条件的极值曲线,因为不含,所以欧拉方程首次积分为令,将上式化简,得 令,则方程化为又因积分,得 由边界条件,得.令则得到最速降限问题的解为上述方程是摆线(也称旋轮线)的参数方程,其中是由边界条件来确定的.因此曲线是以半径为的圆沿轴滚动时圆周上的一点所描述的曲线中的一段.结束语本文不仅给出了一元、多元函数极值及条件极值的求法和在不等式证明中的应用.此外还给出了泛函极值的定义及在求最小旋转曲面和最速降限问题中的应用.本文有利于初学者对函数极值的研究学习.泛函极值的应用非常广泛,但判断是否有解的条件相对复杂,本文没有涉及.参考文献1 杨守廉.数学分析M.北京师范学院出版社.1987年.108165.2 华东师范大学数学系.数学分析(第2版)M.北京:高等教育出版社,2002.3 钱伟长.变分法及有限元（上册）M .科学出版社,1980.4 宁荣健.谈条件极值问题的充分条件J.高等数学研究,2005,8(2):40-43.5 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法J.绵阳师范学院学报,2008,27(2):14-15.6 唐军强.用方向导数法求解多元函数极值J.科技创新导报,2008,(15):246-247.致 谢 经过半年的忙碌和工作,本次毕业论文设计已经接近尾声,作为一名本科生,由于经验 的匮乏,难免有许多考虑不周全的地方,如果没有指导师的督促指导,以及一起学习的 同学们的支持,想要完成这篇论文是难以想象的. 在论文写作过程中,得到了 老师的亲切关怀和耐心的指导.他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,杨老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.多少个日日夜夜,杨老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想上给我以无微不至的关怀,除了敬佩杨老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作.在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意. 在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意! 最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母,谢谢你们!最后我还要感谢数学系和我的母校天水师范学院四年来对我的栽培.