第二章人寿保险的精算现值课件.ppt
2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,1,第二章 人寿保险的精算现值,熟悉人寿保险的数学模型；熟悉人寿保险现值随机变量及人寿保险精算现值；掌握各种寿险产品趸缴净保费及人寿保险现值随机变量方差的计算方法；了解趸缴净保费的实际意义及递推公式；熟悉利用换算函数计算人寿保险的趸缴净保费。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,2,人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。人寿保险是人身保险的一种。人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险。它起源于古代的互助团体，其原理是通过集合具有同质风险的大量被保险人，通过在这些被保险人之间进行风险分散即由所有的被保险人共同出资给遭遇风险的少数被保险人来达到降低突发风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。本章的目的就是讨论各种人寿保险的模型和方法。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,3,2.1 连续型保险,所谓连续型保险，指的是在保险事故出现后立即支付保险利益的保险，因为人寿保险一般以被保险人的死亡为保险事故，所以有时又叫做在死亡即刻支付的保险。在保险事故出现后，保险公司向被保险人（或其收益人）支付的保险金为保险利益，保险利益一般为从保险开始（保单生效）后到保险事故出现之间的时间长度的函数，根据上一章的记号，用t来记时间变量，相应的保险利益记为bt。一般情况下，统称bt为保额函数。相应地，用vt记贴现函数，即将bt贴现到保险开始时的函数。通常假设贴现因子中的利率为常数。对于一份新发行的保单，因为保险事故发生的时间由随机变量T(x)来描述，而保险利益的支付时间及其价值均与T(x)有关，所以，可以定义相应的现值随机变量如下：Z=bTvT,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,4,等额保险,所谓等额保险，是指保险利益的金额在保险开始时就已经固定，只是支付的时间不确定而已，支付时间与保险事故发生的时间有关。定期死亡保险终身寿险生存和两全保险延期保险定期死亡保险：考虑n年期定期死亡保险，这种保险只有被保险人在保险开始后n年内死亡，保险公司才对被保险人进行支付。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,5,等额保险,本节讨论的寿险模型,其保险金是在被保险人的未来寿命 T=T(x)时给付,即在被保险人死亡时立即给付。在寿险实务中几乎所有保险都是如此。这 就是所谓的连续型的人寿保险模型死亡保险:假设被保险人在投保(或签单)时的年龄为x 岁,保险金在被保险人未来寿命 T=T(x)时的给付金额为 bt,而 vt 是在时刻 t 时给付 1 个单位金额在签单时的利息贴现系 数,ZT 是给付金额在签单时的现值。则现值随机变量,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,6,死亡保险,对于(x)投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿险,其有关函数是,称现值函数随机变量Z的数学期望为保险的精算现值，也是趸缴纯保费额,于是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,7,则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险现值随机变量 ZT 的方差是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,8,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,9,例，设(x)的未来寿命T=T(x)的密度函数是,解:依题意,则有,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,10,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,11,保险金给付现值的随机变量 ZT 的方差,对于考虑经营该险种业务的财务稳定性具有重要的指导意义。例 设有 100 个相互独立的年龄都是 x 岁的被保险人均投保保险金额为 10 元的连续型终身寿险,死力为=0.04,保险金将从按利力=0.06 计息的投资基金中支付。试计算该项基金在最初(t=0)时,其数额至少有多大,才能保证从该项基金中足以支付每 个被保险人死亡保险金的概率近似为 95%。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,12,解:设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量,则,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,13,设该项基金在最初时的数额至少是 h 元,依题意,则,即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元,比所收取的建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 4)元多出 49.35 元,即超过歪缴纯保费基金的 12.34%。这说明,最初基 金需有风险附加费(即安全附加费)的存在,即该基金超过保费总额的那部分(49.35 元)是 安全附加基金。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,14,两全保险与延期寿险,对于(x)投保连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年期两全保险,其给付现值的随机变量,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,15,延期寿险,对于(x)投保连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的终身寿险,其给付现值的随机变量是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,16,表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴纯保费分别为,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,17,例考察保险金额为 1 个单位的延期 5 年的终身寿险,设年龄为 x岁的被保险人,其死力为常值=0.04,利力=0.10,Z 表示给付现值随机变量。试求:期望值 E(Z);(2)方差 Var(Z);(3)中位数解:依题意可知,未来寿命 T=T(x)的密度函数是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,18,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,19,变额保险,对于连续型的非均衡给付保险,本文仅讨论递增非均衡给付和递减非均衡给付中的两种特殊情形:1.按算术数列续年递增的终身寿险;2.按算术数列续年递减的终身寿险。1.按算术数列续年递增的终身寿险按算术数列n 续年递增的连续型的终身寿险,可分为三种情况,其一是按年递增的终身寿险,其二是按年递增且每年递增 m 次的终身 寿险,其三是按年连续递增的终身寿险。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,20,(1)按年递增的终身寿险:其保险利益为:如被保险人在第一保 单年度内死亡,则在死亡时立即给付保险金 1 元;在第二个保单年度内死亡,则在死亡时 立即给付保险金 2 元;在第三个保单年度内死亡,则在死亡时立即给付保险金 3 元,依次 类推 该终身寿险的有关函数是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,21,(2)按年度递增且每年递增 m 次的终身寿险.它是将每一个保单年度分为均等的 m 个时间段,其保险利益是:如被保险人在第一个保单年的第一个1/m 年内死亡,则立即给付保险金1/m 元,在第一个保单年的第二个1/m 年(即1/m 到2/m年之间）内死亡,则立即给付保险金2/m，第一个保单年的第 m 个1/m年内死亡,则立即给付保险金 1(即m/m)元;在第二个保单年的第一个1/m年内死亡,则立即给付保险金(1+1/m)元,在第二个保单年的第二个1/m年内死亡,则立即给付保险金(1+2/m)元,依次类推,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,22,该终身寿险的有关函数是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,23,(3)按年连续递增的终身寿险。按年连续递增的即期终身寿险 其保险利益是:如被保险人在时刻 t(tO)时死亡,则给付死亡保险金 t 元 该终身寿险的现值随机变量,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,24,上式 表明:按年连续递增的终身寿险保单等价于由一系列的延期的保险金额为1 元的连续型终身寿险保单所组成,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,25,2.按年递减的 n 年定期寿险。按年递减的 n 年定期寿险,其保险利益是:如被保险 人在第一个保单年内死亡,则立即给付保险金 n 元,在第二个保单年内死亡,则立即给 付保险金(n-1)元,依次类推,在第 n 个保单年内死亡,则立即给付保险金 1 元。该 保险的有关函数是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,26,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,27,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,28,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,29,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,30,微分方程（换算函数表示式）,本节引人连续的换算函数来表示连续型各寿险的精算现值,考虑(x)的终身寿险，我们有,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,31,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,32,死亡均匀分布假设下的寿险模型,讨论在死亡均匀分布假设下，连续型寿险模型的趸缴纯保费与相对应的离散型寿险模型之间的关系。,以连续型的保险金额为 1 个单位的终身寿险为例,在死亡均匀分布的假设条件下,讨论,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,33,第二章人寿保险的精算现值（趸缴纯保费）,第二节 离散型人寿保险模型概念：是指以离散型未来寿命为基础，保险金是在被保险人所处的保单年度末支付而建立的各种人寿保险的数学模型。若被保险人在投保(或签单)时的年龄为 Z 岁,其未来寿命整年数为 K(x),则其概率分布律为,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,34,离散型人寿保险模型,假设保险金额在 K(x)+1 处给付,给付数额为 bk+l 元,记 K+1 为在K(x)+1 处给付1 个单位保险金在签单时的利息贴现系数,Z 为给付保险金额在签单时的现值。则Z=bk+l K+1(K=0,1,2,)因此,在离散型人寿保险模型下,现值随机变量 Z 的期望值 E(Z)的一般表达式是对于人寿保险,现值随机变量 Z 的期望值 E(Z)称为趸缴纯保费。趸缴意味着一次性缴付而不是按其他方式分期缴付。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,35,等额保险,等额保险指保险利益固定的保险，支付时间不确定，可以分为 n 年定期死亡保险险、终身寿险、两全保险、延期保险等。设年龄为x岁的人,投保或签约保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险,则给付现值函数是用换算符号，可以得在人寿保险中,纯保费 通常称为自然纯保费,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,36,另外，有,从而得到定期保险的一个递推公式：一份n年期定期保险，可以拆成两份保险之和，它们分别是，一年期的定期保险和在一年后的n-1年期定期保险，因为一年后的n-1年期定期保险只有在被保险人生存的情况下才有意义，所以，其价值为一年后的 在现在的精算现值,上述递推关系式，也可以得到一种由生命表直接计算定期保险的方法，即：n年期定期保险的精算现值可以写成一系列的一年期保险的精算现值之和,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,37,上式第一个等号的左边可以看成是保险人在卖出lx份保险后收集到的全部保费在时刻1（即卖出保险1年后）的积累值，因为在1时还有lx+1个被保险人生存，所以保险公司应该有lx+1份n-1年期的保险的负债，同时，因为在第一年死亡dx人，保险公司在时刻1时需要向每个在第一年内死亡的人（或其受益人）支付1元保险利益，根据收支（含负债）相等的原则，第一个等号成立。第二个等号是因为lx+1=lx-dx，等号右边的含义是：所有在x岁购买了n年期定期保险的lx个人，在1年后都应该有一份n-1年期的保险，同时对那些在这年内死亡的被保险人来说，他们还得到另外一笔金额为 的支付,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,38,用x+1替代上式中的x，同时用n-1替代上式中的n，有,这表明：保险的精算现值其实就是保险期限内各年度预期的年度花费的现值,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,39,例2-9 假设i=4%，利用示例生命表（2000-2003非养老保险生命表CL1），计算20岁被保险人的1000单位保险利益的三年期定期死亡保险的精算现值。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,40,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,41,2终身寿险注意到，如果令式(2-18)中 n，那么n年期定期保险就变成了终身寿险，所以，终身寿险的精算现值为,上式的意义非常明显：左边可看成是在保单发行时，所有的被保险人(x)聚集的资金（相当于保险公司为发行全部保单而建立的保险基金），右边则是预期的全部死亡赔付在保单发行时的现值。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,42,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,43,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,44,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,45,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,46,计算结果表明：基金预期金额与实际金额相差-7115.78元，也就是说，实际结果比预期的理想。造成实际结果比预期理想的原因是在第一年的实际投资收益率是5%，超过预期！另外，从死亡人数方面看，实际的死亡情况比预期的还要好，因为各年实际出现的死亡人数都比预期的要少。由此也可以看出，利率假设在寿险产品定价中的重要性,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,47,例 设现有 100 个年龄为 30 岁的人组成一个互助会,并建立一笔基金,该项 基金专门用于在他们每个成员死亡时给付其指定受益人 1000 元(给付时间是在死亡的基金 年度末)。经商定:这笔基金总额是按 1990 年-1993 年中国人寿保险业经验生命表(非养 老金业务混合表)和预定年利率 6%来计算趸缴纯保费的,试问每个成员需要缴纳多少资 金。若这个基金实际运作的结果是：在第二年与第五年分别有 1 人死亡，第一年的收益率 是 6%,第二年和第三年的收益率是 6.5%,第四年与第五年的收益率是 7%。试分析在第 五年度末该基金按计划之初决定的期望值与实际基金之间的差异。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,48,例题,解：每个成员需要缴纳的资金(也称会费)是P=1000A30=86.63(元)则 100 个成员所建立的基金总额是 S=100p=100 86.63=8663(元)在第五年度末该项基金按计划之初决定的期望值是用 FK 表示第 k 个基金年度末的基金值,则实际运作的结果是 F0=S=8663(元)，F5=10004.86(1+7%)-1000=970520(元)两者之间的差额是11061.69-9705.20=1356.49(元)这一结果反映了五年间的投资与死亡的经验,一方面反映了实际投资收益超过了预期利率 6%的年收益,而另一方面也反映了实际死亡人数 2 大大高于预期死亡人数 0.44880,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,49,两全保险,N年两全保险是由n年生存保险和n年定期寿险组成的，假设（x）签约保险金额为1个单位的n年两全保险，则其有关函数是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,50,例2-13 已知某(35)的寿命服从de Moivre律，=100，i=0.05，Z为对其发行的20年定期两全寿险的现值随机变量，计算Z的期望和方差。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,51,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,52,延期寿险,概念：人寿保险模型,是寿险保单一经签订,保险保障即生效的保险,也可称为即期寿险。而本节我们考虑的情况为 延期寿险,它意味着在保单签发后的若干年后才提供保障。函数：假设(x)投保离散型的保险金 额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年定期寿险,则其有关函数是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,53,延期寿险,例证明,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,54,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,55,例2-14 假设利率i=4%，利用示例生命表，求：,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,56,我们讨论了各种年度离散保险，类似地，我们还可以讨论在死亡所在的1/m年度末支付的保险。这种支付模式可能更有实际意义，因为在人寿保险实务中，保险利益的支付并没有必要等到年末，而是在保险事故发生后比较短的时间内支付，因此，在死亡的1/m年度末支付的保险可能更与实际情况接近。,这种保险的讨论与上述讨论完全类似，我们以终身寿险为例进行讨论。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,57,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,58,变额保险（非均衡给付保险）,考虑保险金额的给付随着被 保险人未来寿命的变化而改变,这类人寿保险称为变额保险.我们主要讨论保险金额按算术数列 n 递增和递减的情形.递增的 n 年定期寿险,即假设(x)投保离散型的按算术数列递增的 n 年期定期寿险.,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,59,递增的 n 年定期寿险,若保险人在第 k+1 个保单年度内死亡,则给付(k+1)元的保险金(k=0,1,2,n-1).则相应的有关函数是bk+1=k+l,(k=0,1,2,n-1)vk+1=(k=0,1,2,n-1)Z=bk+1 vk+1=(k+1)(k=0,1,2,n-1),2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,60,对(x)投保离散型的按算 术数列n递增的终身寿险，则 精算现值(相当于上式中n)是,从上式可看出,按算术数列递增的终身寿险,实际上是由一系列延期定额终身寿险所构成的。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,61,递减的 n 年定期寿险,对于按算术数列递减的离散型 n 年定期寿险,即若被保险 人在第 k 个保单年度内死亡,给付(n-k)元的保险金(k=0,1,2,n 一 1),则其相应的 有关函数是,bk+1=k+l,(k=0,1,2,n-1)vk+1=(k=0,1,2,n-1)Z=bk+1 vk+1=,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,62,所以,该种保单的精算现值 是,这种递减的 n 年定期寿险是由一组定期寿险或延期 k 年的一年 期定期寿险组合而成的。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,63,例 设年龄 30 岁的人投保离散型递减的 20 年定期寿险,保险利益是:被保 险人在第一保单年内死亡,给付保险金 5000 元;在第二保单年内死亡,给付 4900 元;在 第三保单年内死亡,给付 4800 元,依次类推,直到在第 20 保单年内死亡,给付 3100 元。试求该保单的趸缴纯保费(预定年利率 i=6%)解：依题意,所求的趸缴纯保费是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,64,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,65,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,66,2.4 换算函数,由上述讨论可以看出，对于各种保险的精算现值也即趸缴净保费的计算，我们可以在确定利率下，编制如附表的终身寿险精算现值表，然后可以得到各种离散型人寿保险的精算现值,实务中，还有一种常用的计算人寿保险趸缴净保费的方法。这种方法与上述方法类似，只不过不是事先编制终身寿险趸缴净保费表，而是编制一种所谓的换算函数,右边求和项中，每一项都是经过的时间长度和到达年龄的函数，当利率为常数时，我们可以在(2-24)两边同时乘以，这样，右边的各项均可以表示为到达年龄的函数，即,
