第二章人寿保险的精算现值课件.ppt
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1、2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,1,第二章 人寿保险的精算现值,熟悉人寿保险的数学模型;熟悉人寿保险现值随机变量及人寿保险精算现值;掌握各种寿险产品趸缴净保费及人寿保险现值随机变量方差的计算方法;了解趸缴净保费的实际意义及递推公式;熟悉利用换算函数计算人寿保险的趸缴净保费。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,2,人身保险是以人的寿命和身体为保险标的的保险。人寿保险是人身保险的一种。人寿保险转嫁的是被保险人的生存或者死亡的风险。它起源于古代的互助团体,其原理是通过集合具有同质风险的大量被保险人,通过在这些被保险人之间进行风险分散即由所有的被保险人共同出资给遭遇风险的
2、少数被保险人来达到降低突发风险事故对遭遇风险事故的个体造成的财务冲击。本章的目的就是讨论各种人寿保险的模型和方法。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,3,2.1 连续型保险,所谓连续型保险,指的是在保险事故出现后立即支付保险利益的保险,因为人寿保险一般以被保险人的死亡为保险事故,所以有时又叫做在死亡即刻支付的保险。在保险事故出现后,保险公司向被保险人(或其收益人)支付的保险金为保险利益,保险利益一般为从保险开始(保单生效)后到保险事故出现之间的时间长度的函数,根据上一章的记号,用t来记时间变量,相应的保险利益记为bt。一般情况下,统称bt为保额函数。相应地,用vt记贴现函数,即将
3、bt贴现到保险开始时的函数。通常假设贴现因子中的利率为常数。对于一份新发行的保单,因为保险事故发生的时间由随机变量T(x)来描述,而保险利益的支付时间及其价值均与T(x)有关,所以,可以定义相应的现值随机变量如下:Z=bTvT,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,4,等额保险,所谓等额保险,是指保险利益的金额在保险开始时就已经固定,只是支付的时间不确定而已,支付时间与保险事故发生的时间有关。定期死亡保险终身寿险生存和两全保险延期保险定期死亡保险:考虑n年期定期死亡保险,这种保险只有被保险人在保险开始后n年内死亡,保险公司才对被保险人进行支付。,2023/3/18,第二章 人寿保险的
4、精算现值,5,等额保险,本节讨论的寿险模型,其保险金是在被保险人的未来寿命 T=T(x)时给付,即在被保险人死亡时立即给付。在寿险实务中几乎所有保险都是如此。这 就是所谓的连续型的人寿保险模型死亡保险:假设被保险人在投保(或签单)时的年龄为x 岁,保险金在被保险人未来寿命 T=T(x)时的给付金额为 bt,而 vt 是在时刻 t 时给付 1 个单位金额在签单时的利息贴现系 数,ZT 是给付金额在签单时的现值。则现值随机变量,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,6,死亡保险,对于(x)投保连续型的保险金额为 1 单位的 n 年期定期寿险,其有关函数是,称现值函数随机变量Z的数学期望为
5、保险的精算现值,也是趸缴纯保费额,于是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,7,则连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期寿险现值随机变量 ZT 的方差是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,8,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,9,例,设(x)的未来寿命T=T(x)的密度函数是,解:依题意,则有,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,10,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,11,保险金给付现值的随机变量 ZT 的方差,对于考虑经营该险种业务的财务稳定性具有重要的指导意义。例 设有 100 个相互独立的年龄都是 x 岁的被保险人
6、均投保保险金额为 10 元的连续型终身寿险,死力为=0.04,保险金将从按利力=0.06 计息的投资基金中支付。试计算该项基金在最初(t=0)时,其数额至少有多大,才能保证从该项基金中足以支付每 个被保险人死亡保险金的概率近似为 95%。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,12,解:设 Zj 表示第 j 个被保险人的死亡给付在投保时的现值随机变量,则,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,13,设该项基金在最初时的数额至少是 h 元,依题意,则,即该项基金在最初时的数额至少要有 449.35 元,比所收取的建缴纯保费建立的初始基金 400(=100 4)元多出 49.3
7、5 元,即超过歪缴纯保费基金的 12.34%。这说明,最初基 金需有风险附加费(即安全附加费)的存在,即该基金超过保费总额的那部分(49.35 元)是 安全附加基金。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,14,两全保险与延期寿险,对于(x)投保连续型的保险金额为 1 个单位的 n 年期两全保险,其给付现值的随机变量,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,15,延期寿险,对于(x)投保连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的终身寿险,其给付现值的随机变量是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,16,表示连续型的保险金额为 1 个单位的延期 h 年的 n 年
8、期定期寿险和延期 h 年的 n 年期两全保险的趸缴纯保费分别为,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,17,例考察保险金额为 1 个单位的延期 5 年的终身寿险,设年龄为 x岁的被保险人,其死力为常值=0.04,利力=0.10,Z 表示给付现值随机变量。试求:期望值 E(Z);(2)方差 Var(Z);(3)中位数解:依题意可知,未来寿命 T=T(x)的密度函数是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,18,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,19,变额保险,对于连续型的非均衡给付保险,本文仅讨论递增非均衡给付和递减非均衡给付中的两种特殊情形:1.按算术数列续年
9、递增的终身寿险;2.按算术数列续年递减的终身寿险。1.按算术数列续年递增的终身寿险按算术数列n 续年递增的连续型的终身寿险,可分为三种情况,其一是按年递增的终身寿险,其二是按年递增且每年递增 m 次的终身 寿险,其三是按年连续递增的终身寿险。,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,20,(1)按年递增的终身寿险:其保险利益为:如被保险人在第一保 单年度内死亡,则在死亡时立即给付保险金 1 元;在第二个保单年度内死亡,则在死亡时 立即给付保险金 2 元;在第三个保单年度内死亡,则在死亡时立即给付保险金 3 元,依次 类推 该终身寿险的有关函数是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精
10、算现值,21,(2)按年度递增且每年递增 m 次的终身寿险.它是将每一个保单年度分为均等的 m 个时间段,其保险利益是:如被保险人在第一个保单年的第一个1/m 年内死亡,则立即给付保险金1/m 元,在第一个保单年的第二个1/m 年(即1/m 到2/m年之间)内死亡,则立即给付保险金2/m,第一个保单年的第 m 个1/m年内死亡,则立即给付保险金 1(即m/m)元;在第二个保单年的第一个1/m年内死亡,则立即给付保险金(1+1/m)元,在第二个保单年的第二个1/m年内死亡,则立即给付保险金(1+2/m)元,依次类推,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,22,该终身寿险的有关函数是,2
11、023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,23,(3)按年连续递增的终身寿险。按年连续递增的即期终身寿险 其保险利益是:如被保险人在时刻 t(tO)时死亡,则给付死亡保险金 t 元 该终身寿险的现值随机变量,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,24,上式 表明:按年连续递增的终身寿险保单等价于由一系列的延期的保险金额为1 元的连续型终身寿险保单所组成,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,25,2.按年递减的 n 年定期寿险。按年递减的 n 年定期寿险,其保险利益是:如被保险 人在第一个保单年内死亡,则立即给付保险金 n 元,在第二个保单年内死亡,则立即给 付保险金(
12、n-1)元,依次类推,在第 n 个保单年内死亡,则立即给付保险金 1 元。该 保险的有关函数是,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,26,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,27,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,28,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,29,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,30,微分方程(换算函数表示式),本节引人连续的换算函数来表示连续型各寿险的精算现值,考虑(x)的终身寿险,我们有,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,31,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,32,死亡均匀分布假设
13、下的寿险模型,讨论在死亡均匀分布假设下,连续型寿险模型的趸缴纯保费与相对应的离散型寿险模型之间的关系。,以连续型的保险金额为 1 个单位的终身寿险为例,在死亡均匀分布的假设条件下,讨论,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,33,第二章人寿保险的精算现值(趸缴纯保费),第二节 离散型人寿保险模型概念:是指以离散型未来寿命为基础,保险金是在被保险人所处的保单年度末支付而建立的各种人寿保险的数学模型。若被保险人在投保(或签单)时的年龄为 Z 岁,其未来寿命整年数为 K(x),则其概率分布律为,2023/3/18,第二章 人寿保险的精算现值,34,离散型人寿保险模型,假设保险金额在 K(x
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