边冈相减相乘法源于一行说.doc
边冈“相减相乘 ”法源于一行说武家璧(中国科学院 国家天文台 ,北京 100012 )摘要晚唐边冈总结的“相减相乘 ”法 ,是中国古代历法计算中的重要方法 ,以往人们不清楚它的来源 ,实际上它由僧一行大衍历 中的黄赤道差计算 公式推广而来 ,源自中国传统算法 。它对历法中极值问题的计算 ,类似于“等周 问题 ”中的简单命题“等周长矩形的面积以正方形最大 ”。关键词边冈历法日躔极值等周问题中图分类号文献标识码N092 P1 2092文章编号1000 20224 ( 2009 ) 03 20376 211A晚唐天算家边冈主导制订的崇玄历 ,自景福二年 (公元 893 年 )颁行全国 ,至残唐五代 ,前后施行约 60年 。在崇玄历 中边冈总结和创造出一系列二次和高次函数计算 法 ,以取代传统的数值表格加内插法的经验数学模式 ,完成了我国古代历法中数学方法的 一次重大变革 。其简捷算法“相减相乘 ”法的总结提出 ,影响尤巨 。明张岱著夜航船 是 一部百科全书式的著作 ,自称“余所记载皆眼前极肤浅之事 ”,士人学子有所不知将遗人 笑柄 ,其中就有“边冈崇玄历 ,始立相减相乘法 ”之说 。清阮元畴人传 亦谓边冈“立 先相减后相乘之法 ”。因此“相减相乘 ”法 ,成为边冈简捷算法的代名词 。虽然边冈算法 鼎鼎有名 ,但关于这一算法的立术原理及其来源 ,迄今还不甚清楚 ,本文试作探讨 。1 边冈的躔差公式欧阳修新唐书 ·历志 ( 1 , 2351页 ) :昭宗时 ,宣明历 施行已久 ,数亦渐差 ,诏太子少詹事边冈与司天少监胡秀林 、 均州司马王墀改治新历 ,然术一出于冈 。冈用算巧 ,能驰骋反复于乘除间 。由是简 捷 、超径 、等接之术兴 ,而经制 、远大 、衰序之法废矣 。虽筹策便易 ,然皆冥于本原 。谓自边冈以后“简捷 、超径 、等接之术 ”取代传统的“经制 、远大 、衰序之法 ”,虽然新法计算 简便 ,但当时人已然不知边冈算法的“本原 ”。据近些年来学者研究 ,边冈的“相减相乘 ” 法可能源于曹士蒍符天历 ( 2 , 414 页 ) 。中唐时期的术士曹士蒍撰民间小历符天历 ,在其日躔表之末提出一个“日躔差 ”(太阳中心差 )算式 ,即太阳实行度 (V ) 与平行度 (M ) 之间的关系式 ( 3 ; 4 ; 5 , 332页 ) :V - M = ( 182 - M ) M . 3300( 1 )式中若 M < 91度 , 可直接代入上式计算 ; 若 M > 91 度 , 须减去 91 度再代入上式计算 。此式表明 , 太阳实行度 (V )是其平行度 (M ) 的二次函数 。以往日躔表仅提供有限节点的日 躔差数值 , 节点间的数值需通过内插法求得 。上述关系式表明任一太阳位置 V , 可由一个 二次函数 f (M )求得 , 这意味着日躔表这类天文表格已无存在的必要 。边冈对这一公式进行了高度概括 , 其躔差术曰 :视定积 (M )如半交 ( 181. 8682 )已下为在盈 , 已上去之为在缩 。所得令半交度先 相减 、后相乘 , 三千四百三十五除 , 为度 (V - M ) 。据此列出下式 ( 5 , 346页 ; 2 , 414页 ) :V - M = ( 181. 8682 - M ) M . 3435( 2 )式中 M 的代入方式同 ( 1 ) 式 。后人按边冈的总结把这一方法叫做“相减相乘 ”法 。边冈还在黄赤道宿度变换 、月亮极黄纬 、定朔时刻和交食等历法问题的计算中 , 建立了相应的 二次函数公式 。我们可从躔差公式入手来分析“相减相乘 ”法的立术原理 。设“半交度 ”(交点月行度的一半 , 实即其半周长 )为 a (边冈取 a = 181. 8682 ) , 除数为差的倍数 y = k (V - M ) , 则 ( 2 )式可表为y = ( a - M ) Mk (边冈取 k = 3435 ) , 令躔( 3 )此即平行度与其半交余数之积 , 是一个单纯的“先相减 、后相乘 ”式 , 因是日躔差的放大倍数 , 故此式可以反映日躔差的变化趋势 。“半交度 ”可表示为两数之和 : ( a - M+M a,该两数就是平行度 (M )及其相对于“半交度 ”的余数 ( a - M ) ; 而 ( 3 ) 式则为该两数之积 ,即平行度与其半交余数之积 , 可以看做矩形的面积 。日躔差有极值 , 因此躔差公式必须反映出求极值的观念 。 ( 3 )式是一个二次函数式 ,可表示抛物线 , 有一极值在抛物线顶点 。这种通过抛物函数求极值的思想源于西方数学 ,)在中国古代数学中似未见踪迹 。但“半交度 ”是固定不变的 , 把这一代数函数转化为几何图像 , 可表述为 :周长相等时 , 矩形面积以正方形为最大 , 这是“等周问题 ”的一个特例 。 极大值在边冈算法中具有明确的天文学含义 , 它与太阳中心差的最大值有关 。现代天文学中真近点角 (V )与平近点角 (M )之差 (日躔差 )有如下关系 ( 6 , 186页 ) :V - M = 2 e sinM + 5 e2 sin2M + ( 4 )4式中 e为轨道偏心率 (用弧度表示 ) , 随年代而有微小变化 , 可用公式计算 ( 6 , 477 页 ) 。实际上轨道偏心率相当小 , 在满足裸眼观测精度的要求下 , 在一级近似里保留含偏心率的 一次项 , 略去其二次项 , 就是古代希腊的中心差算式 7 ( 5 , 342 页 ) :V - M = 2 e sinM( 5 )此式极大值为 2 e, 表示太阳平行度为 90 °时中心差最大 。古希腊托勒密将 2 e值定为 143 (约合中国古度 2. 42度 ) , 也许是从喜帕卡斯 (又译“伊巴谷 ”)那里得来 , 哥白尼求得更确 切的数值为 111 ( 6 , 62 页 ) 。太阳中心差的极值在中国古代历法中受到高度重视 , 是“先后数 ”或“盈缩积 ”的最大分值 , 叫“盈缩大分 ”, 实即轨道偏心率的两倍分值 。把 M =a / 2 = 90. 9341度代入 ( 2 )式 , 算得崇玄历 的盈缩大分为 ( 2 , 414页 ; 5 , 346 页 ) : (V - M )极大 = 2. 407度中晚唐理论 2 e值约为 2 度 , 边冈崇玄历 的精度较曹士蒍符天历 ( 2. 509 度 ) 为好 , 而与一行大衍历 ( 2. 423度 )相近 8 ( 5 , 314 315页 ; 2 , 363页 ) 。在大衍历 ( 729 年颁行 ) 的日躔表中 , 只有盈缩大分与实测天象有关 , 其他数据都 是一行根据“驯积而变 ”的思想 , 用差分表构建出来的 。边冈算法连差分表也不用了 , 代 入任意平行度 , 立即可得实行度 。边冈公式形式上只须确定半周长 (半交度 ) a 与系数 k 即可 , 但实际上系数 k 是由盈缩大分 (V - M )极大 与半交度 a 决定的 。即边冈公式可通过 实测半交度与盈缩大分来拟定系数 k 而得到 。系数 k 的天文学意义就是调节太阳与月亮 视运动速度的比例关系 , 以使日躔数据适用于定朔计算 。在测得交点月长度的情况下 , 盈 缩大分便成为写出边冈公式的决定因素 。因此边冈算法的基本问题是如何求得盈缩大 分 , 即求躔差极大值的问题 。验算表明边冈的盈缩大分 , 只是在一行的基础上略作调整而已 , 但边冈这种可求得极值的函数表达式 , 比极值本身要重要得多 。2 太阳中心差与速度的极值问题古希腊数学中有一类求极值的问题称为“等周问题 ”, 即求周长相等时面积最大的问题 。相传在公元前 180年左右 , 芝诺多罗斯 ( Zenodo ru s) 写过一本有关等周图形的论著 , 惜已失传 ,然有若干命题被公元 4 世纪亚历山大里亚的学者帕波斯 ( Papp u s)记载 ,得以保 存 9 。其中证明了以下定理 : ( 1 )周长相等的 n边形中 ,正 n边形的面积最大 ; ( 2 )周长相 等的正多边形中 ,边数愈多的正多边形面积愈大 ; ( 3 )圆的面积比同样周长的正多边形的 面积大 ; ( 4 )表面积相等的所有立体中 ,以球的体积为最大 。我们不妨按以上表述 ,分别 称之为第 ( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 )类等周问题 。这些问题的主题就是今天所谓极大极小问题 ( 10 , 141页 ) 。 1697 年雅各布 ·伯努利 ( Jacob B e rnou lli)重提“等周问题 ”,引起变分法 的发展 ( 10 , 325页 ) 。“等周问题 ”在西方数学史上有很好的传统 ,而中国古代数学源自实用算术 ,早在汉 代就形成的九章 系统成为主流 ,似乎并不关心极值问题 。然在天文历法的实践中 ,确 实有计算极值的需要 ,如晷影 (太阳高度 ) 、漏刻 (昼夜长短 ) 、日月躔离 (中心差 ) 、黄赤道 差等都会出现极大 、极小值 。早期关于晷漏与黄赤宿度变换的计算 ,一般参考实测数据取 极值 ,按一定间距在极大 、极小值间分出若干段 ,再通过线性内插得到每段内所求任意一 点的数值 。当发现日月运动并非匀速运动以后 ,传统的线性内插法已不能解决复杂的运 动问题 。东汉李梵 、苏统发现月行有迟疾 (后汉书 ·律历志 ) ,北齐张子信发现日行有 盈缩 (隋书 ·天文志 ) ,隋刘焯首次将太阳视运动的不均性引入历法 ,创立“等间距二次 内插法 ”计算日月五星的运行速度 (隋书 ·律历志 ) ,唐僧一行突破刘焯皇极历 日行 跳跃式变化的错误模式 ,提出“驯积而变 ”的思想 ,于是如何处理天体运动极值的问题便 摆在天算家们的面前 。新唐书 ·历志 载一行在大衍历议 ·日躔盈缩略例 中论述 :凡阴阳往来 ,皆驯积而变 。日南至 ,其行最急 ,急而渐损 ,至春分及中而后迟 ; 迨日北至 ,其行最舒 ,而渐益之 ,以至秋分又及中 ,而后益急 。 一行将冬至点等同于近日点 ,日行速度最快 ;将夏至点等同于远日点 ,日行速度最慢 ;春秋 分日行速度居中 。所谓“驯积而变 ”,就是运动速度“连续变化 ”的意思 ,包括速度逐渐增 加的“累积 ”过程 ,速度逐渐减少的“累裁 ”过程 ,以及由“累积 ”到“累裁 ”、“累裁 ”到“累 积 ”的平滑过度 ,强调整个过程不会出现间断和跳跃式的运动变化 。为直接表现此种速 度变化 ,大衍历 日躔表中设有“盈缩分 ”一栏 ,使冬至有最大盈分 ,夏至有最大缩分 ,春 秋分位于盈缩之间 ,以表现冬至日行最急 、夏至日行最舒 、春秋分日行居中的速度变化状 况 。将“盈缩分 ”累积起来称为“盈缩积 ”,是太阳实行度超过 (盈 )或者落后 (缩 )于平行 度的差值 ,一行将此栏数据叫做“先后数 ”,此即太阳中心差 ,又叫日躔差 。显然日躔表中 包含两类极值问题 :“盈缩分 ”包含日行速度的极值问题 ,“先后数 ”包含太阳中心差的极 值问题 。上述两类极值问题是直接相关的 ,某一时刻的“日躔差 ”是自起点以来经历的每一时 段 (插值间距 )内“盈缩分 ”的总和 。以冬至为起点 ,这时日躔差为零 ,太阳实行度在第一 间距内以最快的速度增加 ,故盈缩分最大 ;以后增速依次减慢而日躔差累积增加 ,至春分 (平行度 90 °)时日躔差最大而增速停止 ; 春分以后依次减速而日躔差逐渐降低 ,至夏至 (平行度 180 °)减速最大而日躔差降为零 ;自夏至到冬至的变化与上述情形完全对称 。显然 ,在春秋分有日躔差 (中心差 )的极值 ,冬夏至有盈缩分 (速度 )的极值 (图 1 ) 。图 1 大衍历 的日躔差与盈缩分一行虽然在日躔计算中提出了极值问题 ,但却没有给出求日躔差极值的函数 ,而是构建了一份四次差分表 ,用不等间距内插法来计算未知点的实行度 。为了造表的需要 ,一行 不惜对实测盈缩大分的数据进行调整 ,给出一项理想极值 11 。曹士蒍给出躔差函数 ,同 时还附有一份“日躔差立成 ”表以供内插使用 。边冈则只给出求极值的函数 ,不再给出插 值表 。在形式上 ,似乎看不出函数极值法与一行的表格内插法有相关联系 ,但事实上如果一 行不提出运动速度连续变化的观念 ,也就不会产生通过连续函数求躔差极值的方法 。在 曹士蒍 、边冈的公式中 ,求盈缩大分极值的问题 ,相当于第 ( 1 )类“等周问题 ”中最简单的 命题 :“等周长矩形以正方形面积最大 ”。把 ( 3 )式中的代数关系转化为等周图形 ,即以 M 和 ( a - M )为矩形两边 , 矩形周长恒等于 a, 当 M = ( a - M ) 时 , y 表示正方形面积 , 为极大 值 。边冈“相减相乘 ”法公式把一行“驯积而变 ”的思想表示为 :当周长相等时 , 矩形面积依边长逐渐增损而连续变化 ; 至边长相等时有极大值 。3 边冈算法“皆大衍 之旧 ”新唐书 ·历志 评论边冈崇玄历 与一行大衍历 之间的关系云 :景福元年 ( 892年 ) 历成 , 赐名崇玄 。气朔 、发敛 、盈缩 、定朔弦望 、九道月度 、交会 、入蚀限去交前后 , 皆大衍 之旧 。余虽不同 , 亦殊涂而至者 。论者明确指出崇玄历 与大衍历 有渊源关系 。这样的判断不是一般人能作出的 , 出自 北宋著名历法家刘羲叟之手 。宋史 ·律历志 载“羲叟历学为宋第一 , 欧阳修 、司马光辈 皆遵用之 。”宋史 ·刘羲叟传 载“欧阳修使河东 , 荐其学术 。 及修唐史 , 令专修律 历 、天文 、五行志 。”刘羲叟的判断应该是通过多方面的比较作出的 , 是专业性很强 的权威论断 ; 但他没有展开具体论述 , 一般读者还是“冥于本原 ”。我们根据刘羲叟对崇 玄历 的评论 , 到大衍历 中找到了边冈公式的来源 。一行“凡阴阳往来皆驯积而变 ”的思想 , 是对变速运动连续性的深刻认识 , 对于太阳 运动因之而有中心差与速度极值问题 。虽然从直观上看日月五星视运动的位移原本是 “连续变化 ”的 , 但认识到其速度也是“连续变化 ”的这一规律 , 大约是自一行以后 。北齐 张子信指出“日行春分后则迟 , 秋分后则速 ”, 但具体情况如何“迟速 ”, 语焉不详 。刘焯首 次将张子信的发 现 引入 历法 计 算 , 然其 速度 却是 间 断跳 跃式 变 化的 。一行 在大 衍 历 议 ·日躔盈缩略例 中批评刘焯皇极历 曰 :“焯术于春分前一日最急 , 后一日最舒 ; 秋分 前一日最舒 , 后一日最急 ; 舒急同于二至 , 而中间一日平行 。其说非是 。”因此一行以前 , 在对运动状态的描述中 , 尚不具备计算极值问题的迫切需要 。传统的晷漏与黄赤道差计算问题 , 与新产生的运动不均匀性问题 , 都属于“连续变 化 ”求极值的问题 , 具有某种共性 , 这从黄赤道差计算方法与“相减相乘 ”式之间的关系上 得到充分体现 。黄赤道度变换在现代数学中是用球面三角函数计算的 , 中国古代没有球 面三角 , 采用代数逼近方法作近似计算 。当这种换算由表格内插法转为公式计算的时候 , 问题就变成寻找一个代数函数来求解极值的问题 。一行正处在由表格法转为公式法的开 创时期 。针对这两类极值问题 运动不均匀性问题与球面变换问题 , 一行采取了不同 的处理方式 。日躔差反映太阳视运动的“渐损 ”、“渐益 ”等变速运动状态 , 一行采用差分 表格及其内插法进行计算 ; 对于黄赤道差 、黄白道差等球面变换问题 , 一行在给出插值表 的同时又采用“累裁 ”或“累积 ”算法直接进行计算 。前者以表格算法为主 , 后者以公式算 法为主 , 关键都是要解决“连续变化 ”过程中的极值问题 。黄赤道宿度的变换问题 , 最早在张衡浑天仪注 中有描述 , 他在圆球上画出黄道和 赤道 , 用等于半圆周长的细竹篾穿在天球两极 , 然后沿赤道移动 , 读取篾中线所截黄道度 , 再与对应的赤道度相减 , 即得到黄赤道差 。其结论“每一气者黄道进退一度焉 三气 一节 , 故四十六日而差令三度也 。”给出黄赤道差极大值为 3 度 。东汉末刘洪乾象历 分 别以 5、4、3度等为限 (区间 ) , 每限增损 1 / 4 度 , 极大值亦为 3 度 , 构成一份计算黄赤道差 的不等间距一次差分表 。至刘焯 、一行改为等间距二次差分表 , 极值仍为 3 度 。给出这一 表格 , 就可以通过线性内插得到任一点的黄赤道度变换值 。一行在给出插值表的同时 , 还给出了一个黄赤道度的函数关系式 。大衍历议 ·九道议 曰 :黄道之差 , 始自春分 、秋分 , 赤道所交前后各五度为限 。初 , 黄道增多赤道二十四 分之十二 , 每限损一 , 极九限 , 数终于四 , 率赤道四十五度而黄道四十八度 。术文以文字表述方式给出差分表 , 此为前段 ( 0 45度 )部分 , 可列表 1如下 :表 1一行黄赤道度变换表242424242424一行大衍历 ·步日躔术 在重述此差分表之后 ,直接给出计算公式 ,其术文曰 :皆累裁之 , 以数乘限度 ( x ) , 百二十而一 , 得度 ( f - x ) , 命曰黄赤道差数 。 术文中的“限度 ”指赤道入限度 ( x ) ,“累裁之数 ”可表示为 12 :x- 15= 125 - x( 6 )12 -210故一行公式为 :f - x = x ( 125 - x ) / 10( 7 )120( 7 )式中显然包含“相减相乘 ”式 。因其术文中使用了“累裁 ”一词 , 不妨称一行的“黄赤道差 ”算法为“累裁 ”法 。另在大衍历 ·步月离术 中 , 一行给出黄白道度变换公式云 :每五度为限 , 亦初数十二 , 每限减一 , 数终于四 各累计其数 , 以乘限度 , 二百 四十而一 , 得度 , 为月行与黄道差数 。类似地可写出公式f - x = x ( 125 - x ) / 10( 8 )240赤道度黄道度黄赤道差增损数增损率限数 xff - x一差二差5515122412 / 24101019583232411 / 241 / 12151613751 910 / 241 / 1220211751 189 / 241 / 122527108332 28 / 241 / 12303213752 97 / 241 / 12353716252 156 / 241 / 124042183332 205 / 241 / 12454834 / 241 / 12此式与 ( 7 )式实际相同 , 只是分母增大 1倍而已 。因其术文中使用了“累计 ”一词 , 不妨称一行的“黄白道差 ”算法为“累积 ”法 。试将一行的表格与公式互相验算 :以赤道度 ( x ) 代入 ( 7 ) 式 , 以求黄道度 ( f ) , 得到的 结果与表格数据完全相符 。由此可想到 :任一赤道数据对应的黄道度数都可以用此公式 求出 , 不必借助 内插 法 , 插 值表 实际 上 已 无 必 要 。这 是 从 表 格 算 法 向 公 式 算 法 过 度 的 开端 。无论是表格算法还是公式算法 , 极值都是关键 。一行的黄赤道度变换表 (表 1 ) 显然 是构建出来的一份三次差分为零的理想表格 , 构建此表的基本依据是黄赤道差的极大值 为 3 度 , 即一行所谓“率 :赤道四十五度而黄道四十八度 ”两者相差 3 度 。一行公式 也是为适应这一极值建立起来的 , 其差分表中的所有节点值与公式计算的结果完全符合 , 而表中除了极大值 3度以外 , 其他数据与实际测量没有直接关系 , 都是理论值 。既已归纳 出公式 , 仍然描述出数字表格 , 这是表格算法向公式算法过渡时期的特征 。曹士蒍在给出 躔差公式的同时附上立成表 , 与一行的做法相同 , 可能也是受一行影响所致 。一行的公式算法 黄赤道差“累裁 ”算法及黄白道道差“累积 ”算法 , 表明他最早创 造了“相减相乘 ”式的代数逼近算法 。边冈对一行黄赤道差计算公式中的“相减相乘 ”式 是非常熟悉的 , 他自己的黄赤道差计算公式就用了两个“相减相乘 ”式前后相减 13 , 十分烦琐 , 不如他的日躔差公式简洁明快 。这从另一方面印证了边冈算法来源于一行公式 。4 “相减相乘 ”式源于中国传统算法有学者从边冈公式与曹士蒍公式的相似性 , 判断边冈抄自曹士蒍 。曹士蒍何许人 ?欧阳修新五代史 ·司天考 载 :“ (唐德宗 )建中时 ( 780 783年 ) , 术者曹士蒍始变古法 , 以显庆五年 ( 660 年 )为上元 , 雨水为岁首 , 号符天历 , 然世谓之小历 , 只行于民间 。” 南宋王应麟困学纪闻 卷 9载 :“唐曹士蒍七曜符天历 , 一云合元万分历 , 本天竺历 法 。”南宋晁公武郡斋读书志 卷 13 载合元万分历 一卷 :“唐曹氏撰 , 未知其名 , 历元起 唐高宗显庆五年庚申 , 盖民间小历也 , 本天竺历法 。李献臣云 。”陈久金指出 :“曹士蒍历 法中有推算罗计二隐曜的方法 , 这证明符天历无疑是受到印度历法影响的 。” 14 比较而言 , 印度历法对唐代历法的影响是有限的 , 而一行大衍历 对唐代及以后的历法都产生了深远影响 。大衍历 是唐代历法的顶峰 ,新唐书 ·历志 评论说“大衍 历 后 , 法制简易 , 合望密近 , 无能出其右者 ”( 1 , 2324 页 ) 。中唐以后几部官历的主要 部分大都仿自大衍历 , 如郭献之五纪历 的“ (日月 ) 迟疾 、交会及五星差数 , 以写大 衍 旧术 ”( 1 , 2275 页 ) ; 徐昂宣明历 “其气朔 、发敛 、日躔 、月离 , 皆因大衍 旧术 ” ( 1 , 2319页 ) ; 边冈崇玄历 的气朔 、躔离 、交食等 ,“皆大衍 之旧 ”( 1 , 2351 页 ) 。 其中对日月五星视运动不均匀性的处理是历法计算的难点 , 上述诸历都没有超过一行 。 同样道理 , 我们可以推断 , 曹士蒍躔差公式的产生 , 与边冈等人的算法一样 , 也是“大衍 旧术 ”影响的产物 ; 与其说边冈抄自曹士蒍 , 不如说源自一行 。曹士蒍符天历 受印度历法影响明显 , 据传一行也曾受到九执历 的影响 , 那么一行 、曹士蒍是否先后受到印度历法的影响而创造了最早的“相减相乘 ”式算法呢 ? 答案是否定的 。新唐书 ·历志 载“善算瞿昙譔者 , 怨不得预改历事 ”, 与历官陈玄景奏称“大衍 写九执历 , 其术未尽 ”,“南宫说亦非之 ”, 朝廷用大衍 、九执 、麟德 三历在灵 台与实际天象校验 , 结果大衍历 优胜 , 于是“乃罪说等 , 而是否决 ”( 1 , 2169 页 ) 。又 载“九执历 者出于西域 , 开元六年诏太史瞿昙悉达译之 陈玄景等持以惑当时 , 谓一 行写其术未尽 , 妄矣 ”( 1 , 2271页 ) 。此事在唐朝已有结论 , 今从两方面补证其事 :其一 , 躔差公式及日躔表中与实测密切相关的是躔差极值“盈缩大分 ”, 唐代理论值 为 1 °58 ,九执历 取 2 °14 ,大衍历 取 2. 423 度 (合今 2 °23 ) , 曹士蒍公式算得 2. 509 度 ( 2 °28 ) , 边冈公式算得 2. 407 度 ( 2 °22 ) 。九执历 的这一数据比大衍 诸历准确得 多 , 但后者均未采用 。大衍历 为构造四次差分表的需要取了一个理想值 , 因而自成一 系 , 与九执历 毫无关系 。而边冈的数据与大衍历 密近 , 更加坐实崇玄历 日行盈缩 “皆大衍 之旧 ”的说法 。其二 ,九执历 采用黄经计算太阳位置 , 以近地点 (日行速度最快 )为起算点 , 将平近 点角 90 °分成间距相等的 6 段 , 用表格列出每段相当于中文“盈缩分 ”的分值 , 积分此值得 相应段落的中心差 , 用线性内插法可得所求每段中的任一值 , 再由平黄经加中心差得真黄 经 。九执历 对月亮位置的计算与计算太阳位置的原理相同 。这种求日月中心差的方 法属于典型的表格加内插法 。日本薮内清教授研究九执历 指出其插值节点上的中心 差值近似地等于“2 e sin M ”项 15 , 揭示了九执历 表格所相当的天文学含义 , 但九执 历 术文本身并没有给出由平黄经求真黄经的函数关系式 , 也没有出现“相减相乘 ”式 。大衍历 构建的日躔表是不等间距的 , 插值法是一行独创的“不等间距二次内插法 ”, 无 论表格还是插值法都与九执历 判然有别 。因此 , 无论是一行还是曹士蒍 , 都不可能在 中心差算法上受到九执历 的影响 。既然没有外来影响 , 就一定能在中国传统算法中找到中心差算法的由来 。我们认为 曹士蒍 、边冈先后受到一行黄赤道差计算公式的影响 , 将其简化并运用到躔差计算上 , 发 明了“相减相乘 ”式简捷算法 。陈美东曾经明确指出 :“所谓先相减后相乘法 , 其实它是 等间距二次内插法的一种表达形式 ”( 5 , 341 页 ; 7 ) 。一行的日躔表是不等间距的 , 不能产生“相减相乘 ”式 , 但他的黄赤道度变换表是等间距的 , 可以表达为“相减相乘 ”式 , 试举例证明之 。北宋宋行古以一行表格为依据 , 在崇天历 中给出黄赤道差计算公式 13 , 其术曰 :求二十八宿黄道度 :各置赤道宿入初末限度及分 ( x ) , 用减一百二十五 , 余以初 末限度及分乘之 , 十二除为分 , 分满百为度 , 命为黄赤道差度及分 ( f - x ) 。依术文可列出公式 :f - x = ( 125 - x ) x . 1200( 9 )( 9 )式是“相减相乘 ”式 , 可由一行给出的“五度为限 ”、初增“二十四分之十二 ”以及“每限损一 ”等数据推导出来 , 可表示为等差级数公式 ( 12 , 215 页 ; 13 ) :x- 11f - x = x12 + 5×-( 10 )524224将 ( 10 )式化简 , 即得到一行公式 ( 7 )及宋行古公式 ( 9 ) 。 ( 9 )式与曹士蒍公式 ( 1 ) 、边冈公式 ( 2 )在形式上完全相同 , 是典型的“相减相乘 ”法公式 , 显然它们都直接来源于一行大衍历 的球面变换“累裁 ”算法公式 ( 7 ) 。同样显著地可以看出 , 一行“累裁 ”公式 ( 7 ) 可由等差级数公式 ( 10 ) 化简而得到 , 即“相减相乘 ”法源于中国传统的等差级数公式算 法 , 根本没必要到印度或者西方数学中去寻找源头 。曹士蒍 、边冈的创新之处 , 在于他们认识到了天体运动与球面变换之间的同一性 , 黄 赤道差的“累裁 ”、“累积 ”与运动速度的“渐损 ”、“渐益 ”在数学表现形式上完全可以统一 起来 , 都可表现为“连续变化 ”过程的求极值问题 。总之 , 一行公式 ( 7 )可能是所有“相减相乘 ”法公式的祖型 , 而“相减相乘 ”法来源于 等差级数公式 。新唐书 ·历志 谓自边冈始 ,“简捷 ”之术兴而“经制 ”之法废 , 等差级数 差分表及其内插法可能就是传统的“经制 ”算法 , 而“相减相乘 ”法就是等差级数公式的“简捷 ”算法 。简化的结果 , 使边冈公式一望可知与“等周问题 ”并无二至 。5 余论综上所论 , 曹士蒍 、边冈公式显然是将一行黄赤道差计算公式推广到日躔差计算上的结果 。边冈公式的术文中明确使用半周长 (“半交度 ”)概念 , 两个相乘的因子之和恒等于 半周长 , 因此适用于第 ( 1 )类“等周问题 ”(等周矩形以正方形面积最大 ) 求解 。边冈公式 是“等周问题 ”中最简单的形式 。虽然如此 , 边冈“相减相乘 ”法并非是西方“等周问题 ” 或抛物函数传入中国以后的产物 , 而是直接从一行大衍历 黄赤道差计算公式推广而 来 ; 一行公式则是由等差级数公式简化的结果 。一行的黄赤道差计算公式由等差级数公式简化而来 , 看不出与“等周问题 ”有什么联 系 , 虽然都与计算极值有关 。但当曹士蒍 、边冈将它应用于躔差计算时 , 与“等周问题 ”的 关系就看得比较清楚了 。显然太阳平位置与其真位置相关 , 或者说平位置是其真位置的函数 , 真位置变化引起平位置随之变化 , 这一点古人不难理解 。以半周长为限 , 太阳平位置位于半周上的任意一点 , 此点到达限初 (始点 ) 、限末 (终点 ) 的长度分别为平行度 (M)及其余数 ( a - M ) , 那么真位置必与这两个因子相关 。两者相乘相当于矩形的面积 , 于是产生“相减相乘 ”式 M ( a - M )以求“极大 ”。从现代观念来看 , 原角度变换公式转化为与变速运动有关的函数 , 必须能反映运动的 属性与特征 , 如圆周运动与周期性 、速度连续变化及存在极大极小值等是太阳视运动的固 有规律 , 转换而来的速度函数必须反映这些特性 。由于太阳视运动是周期性的圆周运动 , 用角度来度量运动位移和速度的变化 , 其周长 (周天度 ) 是固定的 , 符合“等周问题 ”的基 本条件 , 因此求速度极大的运动学问题 , 可以转化为求面积极大的“等周问题 ”。曹士蒍 、边冈将“相减相乘 ”法推广到躔差计算 , 具有数学和天文学方面的双重意义 。 首先 , 在天文学上一行的日躔表并不适合二次内插公式计算 , 其表列各值的三次差并不等 于零 ; 一行试图改变引数间隔为不等间距方式加以改进 , 结果并未提高计算精度 ( 5 ,342页 ) 。曹士蒍日躔表全部采用“相减相乘 ”式计算节点值和内插值 , 从而消除了公式与 表格不相符合的问题 , 使数学公式与连续变化的物理图象统一起来 。其次 ,“相减相乘 ”式把等差级数公式简化到不能再简化 , 在不降低精度的要求下 , 大大提高了计算的速度和效率 , 尤其在筹算的时代 , 简化计算的意义显得更为重要 。再次 , 找到了反映连续变化并求取极值的简单函数表达式 , 在实测或理论计算得到极值及变量取值区间的情况下 , 调整 比例系数 , 即可写出函数表达式 , 从而使“相减相乘 ”法成为普适的数学方法 , 在解决不同 天文学内涵的问题时普遍适用 。实际上边冈不仅在黄赤道差 、日躔差的计算上 , 而且在月亮极黄纬 、定朔时刻 、日食食 甚时刻的改 正 以 及 阴 历 食 差 、阳 历 食 差 等 历 法 问 题 的 计 算 中 , 都 采 用 了“相 减 相 乘 ” 法 16 。“相减相乘 ”法实际上就是二次函数的应用 , 与此同时边冈还在晷长 、太阳视赤 纬 、昼夜漏刻的计算中发明和使用了三次 、四次函数 ,“相减相乘 ”法是边冈高次函数系列 中最基本 、也是应用最广的一种 。北宋周琮明天历 将“相减相乘 ”法推广应用到对月亮 和五星中心差的计算上 ( 2 , 467 页 ; 5 , 342 页 ) 。自边冈以后 , 历家运用“相减相乘 ” 式 , 往往参照前人的数据 , 在极值 、变量区间及比例系数上略作调整 , 便形成自己的算式 , 一直到元郭守敬运用“招差术 ”进行根本改造为止 。边冈总结提出的“相减相乘 ”法 , 在中国古代历算史上产生了持久而深刻的影响 。参考文献12345678910111213141516欧阳修. 新唐书 ·历志 A . 历代天文历律等志汇编 Z . 第 7 册. 北京 :中华书局 , 1976.陈美东. 中国科学技术史 ·天文学卷 M . 北京 : 科学出版社 , 2004. 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