边冈相减相乘法源于一行说.doc
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1、边冈“相减相乘 ”法源于一行说武家璧(中国科学院 国家天文台 ,北京 100012 )摘要晚唐边冈总结的“相减相乘 ”法 ,是中国古代历法计算中的重要方法 ,以往人们不清楚它的来源 ,实际上它由僧一行大衍历 中的黄赤道差计算 公式推广而来 ,源自中国传统算法 。它对历法中极值问题的计算 ,类似于“等周 问题 ”中的简单命题“等周长矩形的面积以正方形最大 ”。关键词边冈历法日躔极值等周问题中图分类号文献标识码N092 P1 2092文章编号1000 20224 ( 2009 ) 03 20376 211A晚唐天算家边冈主导制订的崇玄历 ,自景福二年 (公元 893 年 )颁行全国 ,至残唐五代
2、,前后施行约 60年 。在崇玄历 中边冈总结和创造出一系列二次和高次函数计算 法 ,以取代传统的数值表格加内插法的经验数学模式 ,完成了我国古代历法中数学方法的 一次重大变革 。其简捷算法“相减相乘 ”法的总结提出 ,影响尤巨 。明张岱著夜航船 是 一部百科全书式的著作 ,自称“余所记载皆眼前极肤浅之事 ”,士人学子有所不知将遗人 笑柄 ,其中就有“边冈崇玄历 ,始立相减相乘法 ”之说 。清阮元畴人传 亦谓边冈“立 先相减后相乘之法 ”。因此“相减相乘 ”法 ,成为边冈简捷算法的代名词 。虽然边冈算法 鼎鼎有名 ,但关于这一算法的立术原理及其来源 ,迄今还不甚清楚 ,本文试作探讨 。1 边冈的
3、躔差公式欧阳修新唐书 历志 ( 1 , 2351页 ) :昭宗时 ,宣明历 施行已久 ,数亦渐差 ,诏太子少詹事边冈与司天少监胡秀林 、 均州司马王墀改治新历 ,然术一出于冈 。冈用算巧 ,能驰骋反复于乘除间 。由是简 捷 、超径 、等接之术兴 ,而经制 、远大 、衰序之法废矣 。虽筹策便易 ,然皆冥于本原 。谓自边冈以后“简捷 、超径 、等接之术 ”取代传统的“经制 、远大 、衰序之法 ”,虽然新法计算 简便 ,但当时人已然不知边冈算法的“本原 ”。据近些年来学者研究 ,边冈的“相减相乘 ” 法可能源于曹士蒍符天历 ( 2 , 414 页 ) 。中唐时期的术士曹士蒍撰民间小历符天历 ,在其日
4、躔表之末提出一个“日躔差 ”(太阳中心差 )算式 ,即太阳实行度 (V ) 与平行度 (M ) 之间的关系式 ( 3 ; 4 ; 5 , 332页 ) :V - M = ( 182 - M ) M . 3300( 1 )式中若 M 91 度 , 须减去 91 度再代入上式计算 。此式表明 , 太阳实行度 (V )是其平行度 (M ) 的二次函数 。以往日躔表仅提供有限节点的日 躔差数值 , 节点间的数值需通过内插法求得 。上述关系式表明任一太阳位置 V , 可由一个 二次函数 f (M )求得 , 这意味着日躔表这类天文表格已无存在的必要 。边冈对这一公式进行了高度概括 , 其躔差术曰 :视定
5、积 (M )如半交 ( 181. 8682 )已下为在盈 , 已上去之为在缩 。所得令半交度先 相减 、后相乘 , 三千四百三十五除 , 为度 (V - M ) 。据此列出下式 ( 5 , 346页 ; 2 , 414页 ) :V - M = ( 181. 8682 - M ) M . 3435( 2 )式中 M 的代入方式同 ( 1 ) 式 。后人按边冈的总结把这一方法叫做“相减相乘 ”法 。边冈还在黄赤道宿度变换 、月亮极黄纬 、定朔时刻和交食等历法问题的计算中 , 建立了相应的 二次函数公式 。我们可从躔差公式入手来分析“相减相乘 ”法的立术原理 。设“半交度 ”(交点月行度的一半 ,
6、实即其半周长 )为 a (边冈取 a = 181. 8682 ) , 除数为差的倍数 y = k (V - M ) , 则 ( 2 )式可表为y = ( a - M ) Mk (边冈取 k = 3435 ) , 令躔( 3 )此即平行度与其半交余数之积 , 是一个单纯的“先相减 、后相乘 ”式 , 因是日躔差的放大倍数 , 故此式可以反映日躔差的变化趋势 。“半交度 ”可表示为两数之和 : ( a - M+M a,该两数就是平行度 (M )及其相对于“半交度 ”的余数 ( a - M ) ; 而 ( 3 ) 式则为该两数之积 ,即平行度与其半交余数之积 , 可以看做矩形的面积 。日躔差有极值
7、, 因此躔差公式必须反映出求极值的观念 。 ( 3 )式是一个二次函数式 ,可表示抛物线 , 有一极值在抛物线顶点 。这种通过抛物函数求极值的思想源于西方数学 ,)在中国古代数学中似未见踪迹 。但“半交度 ”是固定不变的 , 把这一代数函数转化为几何图像 , 可表述为 :周长相等时 , 矩形面积以正方形为最大 , 这是“等周问题 ”的一个特例 。 极大值在边冈算法中具有明确的天文学含义 , 它与太阳中心差的最大值有关 。现代天文学中真近点角 (V )与平近点角 (M )之差 (日躔差 )有如下关系 ( 6 , 186页 ) :V - M = 2 e sinM + 5 e2 sin2M + (
8、4 )4式中 e为轨道偏心率 (用弧度表示 ) , 随年代而有微小变化 , 可用公式计算 ( 6 , 477 页 ) 。实际上轨道偏心率相当小 , 在满足裸眼观测精度的要求下 , 在一级近似里保留含偏心率的 一次项 , 略去其二次项 , 就是古代希腊的中心差算式 7 ( 5 , 342 页 ) :V - M = 2 e sinM( 5 )此式极大值为 2 e, 表示太阳平行度为 90 时中心差最大 。古希腊托勒密将 2 e值定为 143 (约合中国古度 2. 42度 ) , 也许是从喜帕卡斯 (又译“伊巴谷 ”)那里得来 , 哥白尼求得更确 切的数值为 111 ( 6 , 62 页 ) 。太阳
9、中心差的极值在中国古代历法中受到高度重视 , 是“先后数 ”或“盈缩积 ”的最大分值 , 叫“盈缩大分 ”, 实即轨道偏心率的两倍分值 。把 M =a / 2 = 90. 9341度代入 ( 2 )式 , 算得崇玄历 的盈缩大分为 ( 2 , 414页 ; 5 , 346 页 ) : (V - M )极大 = 2. 407度中晚唐理论 2 e值约为 2 度 , 边冈崇玄历 的精度较曹士蒍符天历 ( 2. 509 度 ) 为好 , 而与一行大衍历 ( 2. 423度 )相近 8 ( 5 , 314 315页 ; 2 , 363页 ) 。在大衍历 ( 729 年颁行 ) 的日躔表中 , 只有盈缩大
10、分与实测天象有关 , 其他数据都 是一行根据“驯积而变 ”的思想 , 用差分表构建出来的 。边冈算法连差分表也不用了 , 代 入任意平行度 , 立即可得实行度 。边冈公式形式上只须确定半周长 (半交度 ) a 与系数 k 即可 , 但实际上系数 k 是由盈缩大分 (V - M )极大 与半交度 a 决定的 。即边冈公式可通过 实测半交度与盈缩大分来拟定系数 k 而得到 。系数 k 的天文学意义就是调节太阳与月亮 视运动速度的比例关系 , 以使日躔数据适用于定朔计算 。在测得交点月长度的情况下 , 盈 缩大分便成为写出边冈公式的决定因素 。因此边冈算法的基本问题是如何求得盈缩大 分 , 即求躔差
11、极大值的问题 。验算表明边冈的盈缩大分 , 只是在一行的基础上略作调整而已 , 但边冈这种可求得极值的函数表达式 , 比极值本身要重要得多 。2 太阳中心差与速度的极值问题古希腊数学中有一类求极值的问题称为“等周问题 ”, 即求周长相等时面积最大的问题 。相传在公元前 180年左右 , 芝诺多罗斯 ( Zenodo ru s) 写过一本有关等周图形的论著 , 惜已失传 ,然有若干命题被公元 4 世纪亚历山大里亚的学者帕波斯 ( Papp u s)记载 ,得以保 存 9 。其中证明了以下定理 : ( 1 )周长相等的 n边形中 ,正 n边形的面积最大 ; ( 2 )周长相 等的正多边形中 ,边数
12、愈多的正多边形面积愈大 ; ( 3 )圆的面积比同样周长的正多边形的 面积大 ; ( 4 )表面积相等的所有立体中 ,以球的体积为最大 。我们不妨按以上表述 ,分别 称之为第 ( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 )类等周问题 。这些问题的主题就是今天所谓极大极小问题 ( 10 , 141页 ) 。 1697 年雅各布 伯努利 ( Jacob B e rnou lli)重提“等周问题 ”,引起变分法 的发展 ( 10 , 325页 ) 。“等周问题 ”在西方数学史上有很好的传统 ,而中国古代数学源自实用算术 ,早在汉 代就形成的九章 系统成为主流 ,似乎并不关心极值问题 。然在天文
13、历法的实践中 ,确 实有计算极值的需要 ,如晷影 (太阳高度 ) 、漏刻 (昼夜长短 ) 、日月躔离 (中心差 ) 、黄赤道 差等都会出现极大 、极小值 。早期关于晷漏与黄赤宿度变换的计算 ,一般参考实测数据取 极值 ,按一定间距在极大 、极小值间分出若干段 ,再通过线性内插得到每段内所求任意一 点的数值 。当发现日月运动并非匀速运动以后 ,传统的线性内插法已不能解决复杂的运 动问题 。东汉李梵 、苏统发现月行有迟疾 (后汉书 律历志 ) ,北齐张子信发现日行有 盈缩 (隋书 天文志 ) ,隋刘焯首次将太阳视运动的不均性引入历法 ,创立“等间距二次 内插法 ”计算日月五星的运行速度 (隋书 律
14、历志 ) ,唐僧一行突破刘焯皇极历 日行 跳跃式变化的错误模式 ,提出“驯积而变 ”的思想 ,于是如何处理天体运动极值的问题便 摆在天算家们的面前 。新唐书 历志 载一行在大衍历议 日躔盈缩略例 中论述 :凡阴阳往来 ,皆驯积而变 。日南至 ,其行最急 ,急而渐损 ,至春分及中而后迟 ; 迨日北至 ,其行最舒 ,而渐益之 ,以至秋分又及中 ,而后益急 。 一行将冬至点等同于近日点 ,日行速度最快 ;将夏至点等同于远日点 ,日行速度最慢 ;春秋 分日行速度居中 。所谓“驯积而变 ”,就是运动速度“连续变化 ”的意思 ,包括速度逐渐增 加的“累积 ”过程 ,速度逐渐减少的“累裁 ”过程 ,以及由“
15、累积 ”到“累裁 ”、“累裁 ”到“累 积 ”的平滑过度 ,强调整个过程不会出现间断和跳跃式的运动变化 。为直接表现此种速 度变化 ,大衍历 日躔表中设有“盈缩分 ”一栏 ,使冬至有最大盈分 ,夏至有最大缩分 ,春 秋分位于盈缩之间 ,以表现冬至日行最急 、夏至日行最舒 、春秋分日行居中的速度变化状 况 。将“盈缩分 ”累积起来称为“盈缩积 ”,是太阳实行度超过 (盈 )或者落后 (缩 )于平行 度的差值 ,一行将此栏数据叫做“先后数 ”,此即太阳中心差 ,又叫日躔差 。显然日躔表中 包含两类极值问题 :“盈缩分 ”包含日行速度的极值问题 ,“先后数 ”包含太阳中心差的极 值问题 。上述两类极
16、值问题是直接相关的 ,某一时刻的“日躔差 ”是自起点以来经历的每一时 段 (插值间距 )内“盈缩分 ”的总和 。以冬至为起点 ,这时日躔差为零 ,太阳实行度在第一 间距内以最快的速度增加 ,故盈缩分最大 ;以后增速依次减慢而日躔差累积增加 ,至春分 (平行度 90 )时日躔差最大而增速停止 ; 春分以后依次减速而日躔差逐渐降低 ,至夏至 (平行度 180 )减速最大而日躔差降为零 ;自夏至到冬至的变化与上述情形完全对称 。显然 ,在春秋分有日躔差 (中心差 )的极值 ,冬夏至有盈缩分 (速度 )的极值 (图 1 ) 。图 1 大衍历 的日躔差与盈缩分一行虽然在日躔计算中提出了极值问题 ,但却没
17、有给出求日躔差极值的函数 ,而是构建了一份四次差分表 ,用不等间距内插法来计算未知点的实行度 。为了造表的需要 ,一行 不惜对实测盈缩大分的数据进行调整 ,给出一项理想极值 11 。曹士蒍给出躔差函数 ,同 时还附有一份“日躔差立成 ”表以供内插使用 。边冈则只给出求极值的函数 ,不再给出插 值表 。在形式上 ,似乎看不出函数极值法与一行的表格内插法有相关联系 ,但事实上如果一 行不提出运动速度连续变化的观念 ,也就不会产生通过连续函数求躔差极值的方法 。在 曹士蒍 、边冈的公式中 ,求盈缩大分极值的问题 ,相当于第 ( 1 )类“等周问题 ”中最简单的 命题 :“等周长矩形以正方形面积最大
18、”。把 ( 3 )式中的代数关系转化为等周图形 ,即以 M 和 ( a - M )为矩形两边 , 矩形周长恒等于 a, 当 M = ( a - M ) 时 , y 表示正方形面积 , 为极大 值 。边冈“相减相乘 ”法公式把一行“驯积而变 ”的思想表示为 :当周长相等时 , 矩形面积依边长逐渐增损而连续变化 ; 至边长相等时有极大值 。3 边冈算法“皆大衍 之旧 ”新唐书 历志 评论边冈崇玄历 与一行大衍历 之间的关系云 :景福元年 ( 892年 ) 历成 , 赐名崇玄 。气朔 、发敛 、盈缩 、定朔弦望 、九道月度 、交会 、入蚀限去交前后 , 皆大衍 之旧 。余虽不同 , 亦殊涂而至者 。
19、论者明确指出崇玄历 与大衍历 有渊源关系 。这样的判断不是一般人能作出的 , 出自 北宋著名历法家刘羲叟之手 。宋史 律历志 载“羲叟历学为宋第一 , 欧阳修 、司马光辈 皆遵用之 。”宋史 刘羲叟传 载“欧阳修使河东 , 荐其学术 。 及修唐史 , 令专修律 历 、天文 、五行志 。”刘羲叟的判断应该是通过多方面的比较作出的 , 是专业性很强 的权威论断 ; 但他没有展开具体论述 , 一般读者还是“冥于本原 ”。我们根据刘羲叟对崇 玄历 的评论 , 到大衍历 中找到了边冈公式的来源 。一行“凡阴阳往来皆驯积而变 ”的思想 , 是对变速运动连续性的深刻认识 , 对于太阳 运动因之而有中心差与速
20、度极值问题 。虽然从直观上看日月五星视运动的位移原本是 “连续变化 ”的 , 但认识到其速度也是“连续变化 ”的这一规律 , 大约是自一行以后 。北齐 张子信指出“日行春分后则迟 , 秋分后则速 ”, 但具体情况如何“迟速 ”, 语焉不详 。刘焯首 次将张子信的发 现 引入 历法 计 算 , 然其 速度 却是 间 断跳 跃式 变 化的 。一行 在大 衍 历 议 日躔盈缩略例 中批评刘焯皇极历 曰 :“焯术于春分前一日最急 , 后一日最舒 ; 秋分 前一日最舒 , 后一日最急 ; 舒急同于二至 , 而中间一日平行 。其说非是 。”因此一行以前 , 在对运动状态的描述中 , 尚不具备计算极值问题的
21、迫切需要 。传统的晷漏与黄赤道差计算问题 , 与新产生的运动不均匀性问题 , 都属于“连续变 化 ”求极值的问题 , 具有某种共性 , 这从黄赤道差计算方法与“相减相乘 ”式之间的关系上 得到充分体现 。黄赤道度变换在现代数学中是用球面三角函数计算的 , 中国古代没有球 面三角 , 采用代数逼近方法作近似计算 。当这种换算由表格内插法转为公式计算的时候 , 问题就变成寻找一个代数函数来求解极值的问题 。一行正处在由表格法转为公式法的开 创时期 。针对这两类极值问题 运动不均匀性问题与球面变换问题 , 一行采取了不同 的处理方式 。日躔差反映太阳视运动的“渐损 ”、“渐益 ”等变速运动状态 ,
22、一行采用差分 表格及其内插法进行计算 ; 对于黄赤道差 、黄白道差等球面变换问题 , 一行在给出插值表 的同时又采用“累裁 ”或“累积 ”算法直接进行计算 。前者以表格算法为主 , 后者以公式算 法为主 , 关键都是要解决“连续变化 ”过程中的极值问题 。黄赤道宿度的变换问题 , 最早在张衡浑天仪注 中有描述 , 他在圆球上画出黄道和 赤道 , 用等于半圆周长的细竹篾穿在天球两极 , 然后沿赤道移动 , 读取篾中线所截黄道度 , 再与对应的赤道度相减 , 即得到黄赤道差 。其结论“每一气者黄道进退一度焉 三气 一节 , 故四十六日而差令三度也 。”给出黄赤道差极大值为 3 度 。东汉末刘洪乾象
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