静电场与恒定电场.ppt

第2章 电磁场的基本理论,2.1 电磁场中的基本物理量和基本实验定律 2.2 静电场 2.3 恒定电场 2.4 恒定磁场 2.5 时变电磁场,2.1 电磁场中的基本物理量和基本实验定律,2.1.1 电荷与电荷分布,电荷可以连续地分布在一个宏观的体积中，可以连续地分布在一个宏观的面上，或连续地分布在一条宏观的线上。当然，电荷也可以集中在空间某点上。如图2.1.1所示。,图2.1.1 电荷的体分布、面分布和线分布,电荷的分布用电荷密度来描述。当电荷在某空间体积内连续分布时，电荷体密度定义为空间某点单位体积的电荷量，即,作业:P62:1,3,7,若在电荷分布的空间内任取一个微小体积，则该体积元的电荷量为,计算某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得：,定义面电荷密度为空间某点单位面积上的电荷量：,定义线电荷密度为线上某点单位长度上的电荷量：,理论上，电荷q可以被想象地集中在一个几何点上，该电荷称为点电荷,如图2.1.2所示。点电荷的电荷密度用 函数来描述。一个带电荷量为q的点电荷位于，其电荷密度为,而且,图2.1.2 点电荷分布,2.1.2 电流与电流密度,如果 时间内穿过S的电荷量为，则定义电荷穿过S的电流强度为：,导电媒质中的电流分布是随时间变化的，这样的电流称为时变电流；若导电媒质中电荷流动的速度不随时间改变，则有,这样的电流称为恒定电流,定义电流密度矢量：导电媒质中某点的电流密度的方向为该点正电荷运动的方向，它的数值等于在该点通过垂直于电荷运动方向的单位面积上的电流强度。如图2.1.3所示。,图2.1.3 体电流示意图,图2.1.4 体电流密度,在电流密度为 的电流场中任取一个矢量面元，穿过矢量面元S的电流为 如图2.1.4所示。若在电流场中任取一个曲面S，则穿过曲面的电流为,即电流是电流密度的通量,当电荷在很薄的导体片上流动时，我们可以将其抽象地视为在一数学面上流动，并称为面电流。如图2.1.5所示。过表面电流场中一点，取一线元 垂直于电荷运动的方向，如果穿过此线元 的电流为，定义该点表面电流密度的值为,图2.1.5 面电流密度与面电流,穿过线段 的电流为,电荷在一根很细的导线中流过,或电荷通过的横截面积很小时，可将电流视为在一根无限细的线上流动，这样的电流称为线电流。,2.1.3 库仑定律 电场强度,图2.1.6电荷与电荷的相互作用,电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空中静止的电荷 对 的相互作用力 为,2.1.6,空间某点静电场的电场强度在数值上等于静电场对放置在该点的单位电荷的作用力的大小，它的方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致，它表征了静电场对放置在该点的电荷的作用能力。若在电场强度为 的空间某点放置点电荷q，则 q受到的静电力为,图2.1.7场源坐标的表示,库仑定律可导出空间点电荷q 的电场强度为,即,当空间有 n个点电荷时，场点 的电场强度可由各点电荷独立在该点激励的电场强度的矢量和来计算，即,对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为,同理，面电荷和线电荷产生的电场强度分别为,图2.2.4 点电荷电场的叠加,图2.2.5 圆盘电荷对点电荷的作用力计算,由亥姆霍兹定理可知:静电场在空间中的分布特征和场源关系由静电场的环流和旋度、通量和散度来决定。,2.2.2 真空中静电场的基本方程,空间某一面元 对一定点O所张的立体角 定义：以O为球心，以点O到面元 的距离R 为半径作一球面，如图2.2.8所示，则立体角 为 在球面上的投影 与 的比，即,图2.2.8 空间面元 对一定点O的立体角,闭合面对定点O的立体角一定等于球面对O点的立体角,即。如果O点在闭合面外，则该闭合面在球面上投影的带数和为零，如图2.2.9b所示，因此，该闭合面对定点O的立体角一定等于零。,图2.2.9 闭合面对定点的立体角,验证高斯定理,先研究一个点电荷的情况:,在点电荷q的电场中任选一闭合面S，电场强度在S面上的通量为：,上式中 是面元对点电荷q所张的立体角,若 点在闭合面内，则该立体角为,若q 点在闭合面外，则该立体角为0,若S面内有N个点电荷，则根据叠加原理：,式中Q为闭合面的总电荷。,若闭合面S包围的体积 内，电荷以体密度 分布，则 内总电荷量为,根据高斯散度定理有：,则：,因为闭合面是任取的，所包围的体积也是任意的，于是有,高斯定律的积分形式,高斯定律的微分形式,环流方程和旋度方程：,在点电荷的场中取一条曲线连接A、B两点，如图2.2.10所示，沿此曲线的积分为：,图2.2.10 的计算,当积分路径是闭合路径时，点A和点B重合，因此,利用斯托克斯定理，上式可写成：,因此：静电场是一种无旋场，或者说是一种发散场。从力场的角度来看，又可以把静电场说成是一种保守场。,静电场基本方程的积分形式,静电场基本方程的微分形式,2.3 泊松方程 拉普拉斯方程,2.3.1 电位函数,静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数称为静电场的电位函数或简称电位。静电场中，电位函数 的定义为：,在直角坐标系中：,将上式在空间A、B两点间积分可得A、B两点的电位差:,电场强度沿一路径从A点到B点的线积分等于电位从A点到B点的下降.由此可见：电场强度的线积分反应了空间两电位的差。,若在空间中任选P点作为电位的参考点，即，则A点的电位,参考点的选定最好使电位函数的表达式比较简单，通常电荷分布在有限区域时，最好选无穷远点为参考点；如果电荷分布到无穷远处，则不能选无穷远点为参考点，而必须将参考点选在有限远处。对于点电荷的电位：,若选取无穷远点为参考点，则，于是,体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为：,2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程,拉普拉斯算符,无源区域,拉普拉斯方程,泊松方程,在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：,2.4 介质中的高斯定律 电位移矢量,2.4.1 电介质的极化,电介质简称介质，是一种电阻率很高、导电性能很差的物质。当介质被放入电场中时，介质在电场作用下会使介质表面或介质中出现某种电荷分布，这种现象称为介质的极化，这种因极化而产生的电荷称为极化电荷或束缚电荷。,引入极化强度矢量：在电场作用下，介质中某点单位体积内电偶极子电矩的矢量和，即,显然，极化强度矢量等于分子的平均电矩 与子密度N的乘积,对于常用的各向同性的线性均匀介质：,极化电荷体密度与极化强度的关系,图2.4.1 极化介质的物理模型,介质的分子密度为N，分子的平均电矩为,在dS为底、斜高为 的一个小柱体积内的正电荷都将从dS穿过，其电荷量为,从闭合面S上穿出的电荷总量 为：闭合面S内的极化电荷为：应用高斯散度定理：则因此极化体电荷密度为：,图2.4.2 面极化电荷密度,在S面上取一面元矢量，从面元矢量 穿出的电荷量为 其中 为表面的单位法向矢量介质表面上的极化电荷密度为：,2.4.2 介质中的高斯定律 电位移矢量,源电荷分布激励电场,束缚电荷分布要激励电场,介质中的高斯定律,电位移矢量,介质中高斯定律的积分形式和微分形式,对以各向同性的均匀介质,与 的关系称为介质的本构方程或组成关系,相对电容率,2.4.3 介质中静电场的基本方程,积分方程：微分方程：本构方程：,2.5 介质分界面上的边界条件,介质分界面上的边界条件是指：静电场中电场强度 和电位移矢量,在不同介质的分界面上遵循的变化规律。,图2.5.1 分界面上 的边界条件,在分界面上取一个小的柱形闭合面，其上、下两底面与分界面平行，并分居于分界面两侧，高h为无限小量，如图2.5.2所示。对于此闭合面，由于两底面积很小，面上的场量可以视为增均匀分布，因此，高斯定律写成,或,为分界面上的自由电荷密度,当分界面上无自由电荷分布时：,即,由此可得 的法向分量在介质面两侧的关系：（1）如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧 的法向分量连续（2）如果介质分界面上分布电荷密度，的法向分量从介质1跨过分界面进入介质2时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度。,边界条件可用电位表示为：,在分界面上取一小的矩形闭合路径，使两个边 与分界面平行，并分居于分界面的两侧，高，如图2.5.2所示，对于此小矩形闭合回路，由于 很小，电场强度可以认为在 上均匀分布，而电场强度 在此回路上的环量为零，因此：,即,电场强度的切向分量在不同介质的分界面上总是连续。,图2.5.3 不同介质的分界面,由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量有限，故在分界面上电位函数连续，即：,对于没有电荷分布的介质分界面，若分界面两侧电场强度 和 与法线的夹角分别为 和 则：,对于导体与空气的分界面，由于导体内无电场，故在空气侧的导体表面上有：,图2.5.3 不同介质的分界面,2.6 导体系统的电容,图2.6.1 孤立导体的电容,图2.6.2 双导体系统的电容计算,孤立导体储存电荷的能力用导体上单位电位的电荷量来表示：,双导体系统中，若在两导体间加电压，两导体的电容定义为：,两导体上的电荷分别为：,其中：,多导体系统中，如果对各导体分布的电位分别为（大地的电位取为零），则各导体表面上将分别分布 的电荷。可以写出各导体上的电荷量为,当 时，称为电容系数；当 时，称 为导体 与导体 之间的感应系数。,令：,则：,图2.6.3 多导体系统的部分电容,上式表明：在一个多导体系统中，任何一个导体i上储存的电荷由N部分电荷组成,例如导体1所带电荷，它的第一部分 为当导体与大地存在电位差 时，由导体1与大地之间的电容效应所储存的电荷，称比值 为导体与大地之间的部分电容；第二部分电荷 与导体1、2间的电压成正比，它是由导体1与导体2之间的电容效应所储存的电荷，称比值 为导体1与导体2之间的部分电容 在多导体系统中，所有的导体与大地之间以及任意两个导体之间都存在部分电容。导体与大地之间的部分电容称为自部分电容；导体之间的部分电容称为互部分电容。,2.7 电场能量与能量密度,2.7.1 带电系统的静电能,设每个带电体的最终电位为1、2、n，最终电荷为q1、q2、qn。带电系统的能量与建立系统的过程无关，仅仅与系统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带电体的电量均是各自终值的倍(1)，即带电量为qi，电位为i，经过一段时间，带电体i的电量增量为d(qi)，外源对它所作的功为id(qi)。外源对n个带电体作功为,因而，电场能量的增量为,在整个过程中，电场的储能为,2.7.2 能量密度,图 2 7.1 能量密度,由于，所以,将 和 代入上式，有,故得到：对于各向同性介质：,场中任一点的能量密度为：凡是静电场不为零的空间中都储存着静电能。静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。,2.8 恒定电场的基本方程,在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流，与恒定电流对应的电场称为恒定电场。,2.8.1 恒定电流的基本特征,根据电荷守恒定律，单位时间内由面流出的电流等于单位时间内面内电荷的减少量：,（应用散度定理）,电流连续性方程：,恒定电流场中：,由于电流密度可以视为单位面积的电流密度，电场强度可以视为在电场强度方向单位长度上的电压。因此，对一段长为，横截面为S的导线，欧姆定律的微分形式可写成：,实验表明在导电媒质中，当温度不变时，媒质中某点的电流密度 与该点的电场强度 成正比,欧姆定律的微分形式,（电路理论中的欧姆定律）,在均匀导电媒质中：,在金属导体中，自由电子在电场力的作用下做定向移动，在自由电子的运动过程中，电场力不断地对自由电子做功，自由电子获得动能；同时自由电子又不断地与晶体点阵上的原子碰撞，将动能转换为原子的热能。这就是通常所说的电流热效应。由电能转换而来的热能称为焦耳热。能引起焦耳热的媒质称为有耗媒质。,在恒定电场中，恒定电场将电荷 在导电媒质中移动，电场力做的功为：,这些功全部转换为焦耳热：,单位体积的功率损耗：,2.8.2 恒定电场的基本方程,均匀导电媒质中恒定电场的散度方程：任一闭合面上恒定电场的通量为：,导电媒质中的恒定电场由外加电源产生。实际上，恒定电场应该理解为由外电源建立的空间净电荷分布激励的。既然这些净电荷是稳定分布的电荷，它们激励的电场当然是库仑电场，它具有与静电场相同的性质，所以,恒定电场的基本方程总结为：,2.8.3 恒定电场的边界条件,当恒定电流通过不同电导率 和 的两种导电媒质的分界面时，在分界面上，恒定电流 和恒定电场 各自满足的关系称为恒定电场的边界条件。,（采用与静电场中推导边界条件相同的方法）,或,或,应用欧姆定律可得：,4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度,图4.1.1 回路 与回路 间的安培力,1820年法国物理学家A.M.安培通过实验总结出：两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。,4.1.1 安培力定律,第3 章 恒定磁场,安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路 上的电流元 对载流回路 的电流去元 的作用力表示为,l2,整个载流回路 对电流元 的作用力,载流回路 对载流回路 的作用力,真空中的磁导率,4.1.2 磁感应强度,载流回路之间的相互作用是通过磁场来进行的。,载流回路 对电流元 的作用力，可以认为是载流回路 上的电流 在空间激励的磁场，而磁场 对电流元 施加作用力 载流回路 激励的磁场在空间中的分布，显然只与载流回路 和空间中的媒质和位置有关，与电流元 无关。将载流回路 在空间中激励的磁场表示为,运动电荷的电流，因此运动电荷在磁场中受的力为：,空间电流I在R处激励的磁场的大小描述：,毕奥-萨伐尔定律,磁感应强度，单位特斯拉，简记为T,理论上可将电流回路的磁感应强度，视为电流回路上各电流元激励的磁感应强度的叠加，则电流元 的磁感应强度为：,对于体电流和面电流分布，分别用体电流元 和面电流元 代替上式中，积分得,体电流：,面电流：,图4.1.2 空间线电流的磁场,磁感应强度可以在空间以磁感应线（磁力线）的形式来描述，磁感应线的方程与电力线的方程相似，即,例 4.1.1 求载流I的有限长直导线(参见图 4.1.3)外任一点的磁场。,图 4.1.3 直导线的磁感应强度,解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。,从对称关系能够看出磁场与坐标无关。不失一般性，将场点取在=0，即场点坐标为(r,0,z)，源点坐标为(0，0，z)。,所以,式中：,对于无限长直导线(l)，1=/2,2=-/2，其产生的磁场为,4.2 恒定磁场的基本方程,4.2.1 磁通连续性原理,磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用表示：,如S是一个闭曲面，则,就是磁通量的面密度，又称为磁通密度,图4.2.1 磁通量计算,对于在区域 中连续分布的体电流密度，在空间中激励的磁感应强度为,两端对场点坐标取散度,由于,所以,应用矢量恒等式：,则有：,因为，而第二项中 不是场点坐标的函数，则于是有,恒定磁场中没有发散源，恒定磁场是一种旋涡场。,应用高斯散度定理，可得：,磁通连续性定理的微分形式和积分形式：,恒在磁场中通过任意闭合曲面S的磁通量恒等于零,图4.2.2 磁通的连续性,4.2.2 真空中的安培环路定律,下面我们从毕奥-萨伐定律出发，通过分析真空中无限长载流导线周围的磁场与空间中电流强度的关系，导出著名的安培环路定律，并加以证明。真空中一无限长载流导线在周围激励磁场，磁感应强度为,线在垂直于I的平面内，呈同心圆状。,图4.2.3 无限长载流导线周围的磁场,若在垂直于I的平面上以I穿过平面的点为圆心，以R为半么作一圆，则 在这个圆上的线积分为：,若在平面上取任意围绕I的闭合环路C，设环路C上的线元 到I点的距离为r，对I 点的张角为，与 的夹角是 如图4.2.4(a)，则有,因此,图4.2.4 任意闭合环路与电流的关系,若积分的闭合环路不绕过I，如图4.2.4(b)所示，则上式的积分变成,对于闭合回路，当绕行一周后，因此,安培提出：磁感应强度在空间任意闭合环路上的积分（即环流）等于与此闭合环路交链的所有电流之和与 的乘积。即,安培环路定律,I为C围成的面上穿过的总电流强度，且电流的方向与回路C的环绕方向符合右手螺旋法则。,4.3 矢 量 磁 位,可以令,称式中的A为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是Tm(特斯拉米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。上式仅仅规定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因为若B=A，另一矢量A=A+，其中是一个任意标量函数，则,使用矢量恒等式,上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即,将其写成矢量形式为,若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位为,同理，线电流产生的磁矢位为,磁通的计算也可以通过磁矢位表示：,例 4.3.1 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。,图 4.3.1 直导线磁矢位,解:,当lz时，有,上式中，若再取lr,则有,当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出,从上式，用圆柱坐标的旋度公式，可求出,4.4 磁 偶 极 子,图 4.4.1 小平面载流回路的磁场,真空中的磁偶极子，即一个任意形状的小平面载流回路的磁场。,下面通过矢量磁位 来求磁感应强度：,磁场具有轴对称性，选用球坐标系，将场点放在 平面上不失普遍性，使小回路的中心位于坐标原点，z轴正向与回路的法线方向一致。,现在取两个电流元，它们与 平面成的角分别为 和，则它们在场点的矢量磁位 相加后得到的 只有 分量，且，故有,（4.4.1）,因为，故得,（4.4.2）,将式（4.4.2）代入式（4.4.1）得：,即,（4.4.3）,上式中S是圆环的面积，然后代入球坐系中的旋度公式求,结论：磁偶极子的磁感应强度与距离的三次方成反比。,磁偶极子场的另外表示式：,结论：磁偶极子的电流回路形状不同时，只要面积S对场点所张的的立体角相同，则在同一点的 是相同的。,图4.4.2 磁偶极子的定义,图4.4.3 磁偶极子的场图,矢量磁位又可写成：,磁偶极子的磁感应强度为：,是常矢量，,考虑到 时有，故有,令，则磁感应强度可表示为,可表示为一标量函数的样度，将标量函数 称为恒定磁场的标量磁位,在无源区域：,标量函数满足的边界条件：,4.5 磁介质中的安培环路定律,4.5.1 磁化强度矢量,为包围点的一小体积元，为体积内分子电流磁偶极矩的矢量和，为点单位体积中的磁矩矢量，单位为安/米（A/m）,每一个分子电流相当于一个磁偶极子，它在远区产生的矢量磁位为,若磁偶极子的中心在点，则上式又可写成,4.5.2 磁化电流,如图，在体积 内取体积元，则其磁矩为，它在P点产生的矢量磁位是,体积 内所有的磁偶极子在P点产生的矢量磁位是,应用矢量恒等式,将上式变形可得：,利用高斯定理的切向形式对上式第二项变形可得：,对比矢量磁位的计算公式可得：,磁介质中的束缚体电流密度为：,磁介质中的束缚面电流密度为：,例 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。,图 3 15 例 3-7用图,解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，磁化电流为,在界面z=0上，,在界面z=L上，,在界面r=a上，,4.5.3 磁场强度,在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流Im。磁化电流Im和外加的电流I都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：,令,其中 称为磁场强度矢量，单位是A/m(安培/米)。于是有,相应的微分形式是,这就是磁介质中的安培环路定律,4.5.4 磁导率,式中m是一个无量纲常数，称为磁化率。,式中，r=1+m，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；=0r，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的B和H的关系是非线性的，并且B不是H的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以达到106量级。,4.5.5 磁介质中恒定磁场基本方程,微分形式,积分形式,磁介质的本构方程,例 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。,图 3-16 同轴线示意图,解：以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有分量，且其大小只是r的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律，求出各区的磁场强度H，然后由H求出B和M。当ra时，电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得,考虑这一区域的磁导率为0，可得,(r a),(r a),当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，可得,(arb),当brc时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为,则,当rc时，这一区域的B、H、M为零。,4.6 恒定磁场的边界条件,在不同磁介质的分界面上，由于磁介质的磁导率存在突变，而且在磁介质表面上一般还存在着束缚电流，因此，B和H在经过分界面时要发生突变。B和H在分界面两侧的变化关系称为B和H在分界面上的边界条件。,图 4.6.1 恒定磁场的边界条件,在两种磁介质分界面上，取一个跨过分界面两侧的小扁状闭合柱面（高为无穷小），如图4.6.1(a)所示，应用磁通连续方程可得：,或：,即：,故：磁感应强度的法向分量连续,再在磁介质分界面上，取一跨过分界面两侧的小矩形回路，如图4.6.1(b)所示，这个小矩形回路的两边平行于分界面，且分居于分界面两侧，另外两边h垂直穿过分界面，且h0。应用安培环路定律可得：,若分界面上分布有表面电流，取垂直于小矩形面积的单位矢量为，则穿过小矩形面积的电流为，如图所式。,另外，又可以写成，于是,即：,如果分界面无源电流，则：,故有：,或：,或：,故分界面无源时，磁场强度的切向分量连续,磁力线折射定律：,如果介质1是空气，介质2是铁磁物质，则由于，在空气中磁感应线几乎与铁表面垂直。在铁磁物质中磁感应线几乎与铁表面平行。,例：如图所示，铁心磁环的内半径为a，轴线半径 r0，环的横截面为矩形，且尺寸为dh。已知ah和铁心的磁导率 0，磁环上绕有N匝线圈，通以电流为I。试计算环中的B、H和。,解：在忽略环外漏磁的条件下，由安培环路定律有：,解得：,4.7 电感,4.7.1电感定义,电感是一种储存磁场能量的元件，通常由N匝导线绕制而成。当线圈通电时，将在空间中激励磁场，穿过一匝线圈的磁通为，穿过线圈的总磁通称为磁链，用表示。,假定N匝导线紧密绕制，可以近似认为处于同一位置，则：,在线性介质中，磁感应强度与电流成正比，故：,L称为电感的自感系数，简称自感，单位为H（亨利）。自感取决于线圈的大小、形状、匝数和填充的媒质。,对于两个线圈构成的互感系统，若回路1载有电流I1，在空间产生磁感应强度B1，回路2面积为S2，则B1穿过回路2的磁通量为,12称为回路1产生的磁场在回路2上的互磁通。若回路2有n圈，则互感磁链为12=n212。同样，回路2上的电流在回路1上也将激励互感磁链 21=n121。在线性媒质中，互磁链正比于电流即：12=M12I1 同样，21=M21I2,即互感：,线圈间的互感取决于回路的形状、大小、匝数、两线圈的相对位置和磁介质的磁导率。,4.7.2 电感计算,由于实际导线的截面积不能忽略。因此，磁链将分为内外两部分。穿过导线内部的磁链称为内磁链i，对应的自感称为内自感Li，导线外部的磁链称为外磁链o,对应的自感称为外自感Lo。,由于,所以，穿过以l为边界的面积上的磁链为,所以，线圈的外自感为（自感的诺伊曼公式）,n匝密绕时，则乘以匝数n,对于内自感的计算，设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且导线横截面为圆形，则导线内部的磁场可近似地认为同无限长直圆柱导体内部的场相同。若导线截面半径为a，磁导率为，如图所示。则导线内的磁场为,穿过导线中长为l，宽为dr的截面的磁通为,故长度为l的一段圆截面导线的内自感为,d仅与电流的一部分（即半径为的圆截面内的电流）相交链，因而在计算与I相交链的磁链时要乘以一个比值，即它交链的电流占总电流的百分比，即,故内磁链为：,对于两单匝互感线圈，回路1通过的电流在回路2上的磁链为,同理有：,可见：,上式为互感的诺伊曼公式,例 如图所示，求无限长平行双导线单位长度外自感。,解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为,磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为,所以单位长外自感为,4.8 磁场的能量和能量密度,磁场系统所具有的磁场能量是在建立此恒定磁场系统过程中，由其它形式的能量转换成磁能的。如磁场系统是由一个或几个恒定电流回路所产生的，那么磁场的能量就一定是在这些恒定电流的建立过程中，由外电源提供的。假定回路的形状、位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，回路的电流分别为i1(t)、i2(t)in(t)，最初，i1=0，i2=0in=0，最终，i1=I1,i2=I2，in=In。在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。,根据电路理论可知，回路j有：,dt时间内与回路 j 相连的电源所做的功为：,因此，整个系统在dt时间内增加的磁能为：,回路 j 的磁链为：,将此式代入上式可得：,系统的建立过程对应于从0到1的变化过程，即,则：,于是：,整个磁场系统的总磁场能为：,若N=1时，即单一回路组成的电感，M11=L，则：,若N=2，即双线圈时，M11=L1，M22=L2，M12=M21=M，则：,同时,故，对于分布电流,若将式中积分体积扩大到无穷大，此时闭合面可视为一无穷大的球面，因此，R，,故第二项面积分为零。于是磁场的总储能为：,磁场的能量密度为：,在各向同性，线性磁介质中：,故：,例 同轴线的内导体半径为a，外导体内半径为b，外导体的厚度忽略不 计。设同轴线所用材料的磁导率都等于0，今将同轴线内、外导体在两端闭合形成回路，并通有恒定电流I，试计算同轴线单位长度储存的磁场能。,解：同轴线内、外导体在两端短路后可视为一闭合回路，而同轴线的单位长度的电感为,因此，同轴线的单位长度储存的磁场能量为,在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为,计算当回路1的电流I1保持不变时，使回路2的电流从零增到I2，电源作的功W2。若在dt时间内，电流i2有增量di2，这时回路1中感应电势为E1=-d21/dt，回路 2 中的感应电势为E2=-d22/dt。为克服感应电势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在dt时间内，电源作功为dW2=M21I1di2+L2i2di2,积分得回路 1 电流保持不变时，电源作功总量为,电源对整个电流回路系统所作的总功为,推广到N个电流回路系统，其磁能为,式中：,代入后得：,对于分布电流，用Iidli=JdV代入上式，得,类似于静电场的能量可以用电场矢量D和E表示，磁场能量也可用磁场矢量B和H表示，并由此得出磁通密度的概念。将H=J代入上式，得,注意，上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零(理由同静电场能量里的类似)。于是得到,磁场能量密度为,例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为,单位长度的磁场能量为,单位长度的内自感为,2.9 恒定电场与静电场的比拟,静电场,恒定电场,两个场的场量之间有一一对偶的关系,也就是说，如果在静电场的各方程中作代换：，。则静电场的各方程将变成恒定电场的方程。假定某一恒定电场的边值问题与一静电场的边值问题有相同的方程和边界条件，如果对应的静电场的边值问题是已经有解的，则恒定电场的解根据对偶关系直接写出，而不需要重新求解。,