静电场与恒定电场.ppt
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1、第2章 电磁场的基本理论,2.1 电磁场中的基本物理量和基本实验定律 2.2 静电场 2.3 恒定电场 2.4 恒定磁场 2.5 时变电磁场,2.1 电磁场中的基本物理量和基本实验定律,2.1.1 电荷与电荷分布,电荷可以连续地分布在一个宏观的体积中,可以连续地分布在一个宏观的面上,或连续地分布在一条宏观的线上。当然,电荷也可以集中在空间某点上。如图2.1.1所示。,图2.1.1 电荷的体分布、面分布和线分布,电荷的分布用电荷密度来描述。当电荷在某空间体积内连续分布时,电荷体密度定义为空间某点单位体积的电荷量,即,作业:P62:1,3,7,若在电荷分布的空间内任取一个微小体积,则该体积元的电荷
2、量为,计算某一体积内的电荷总量,可应用体积分的方法求得:,定义面电荷密度为空间某点单位面积上的电荷量:,定义线电荷密度为线上某点单位长度上的电荷量:,理论上,电荷q可以被想象地集中在一个几何点上,该电荷称为点电荷,如图2.1.2所示。点电荷的电荷密度用 函数来描述。一个带电荷量为q的点电荷位于,其电荷密度为,而且,图2.1.2 点电荷分布,2.1.2 电流与电流密度,如果 时间内穿过S的电荷量为,则定义电荷穿过S的电流强度为:,导电媒质中的电流分布是随时间变化的,这样的电流称为时变电流;若导电媒质中电荷流动的速度不随时间改变,则有,这样的电流称为恒定电流,定义电流密度矢量:导电媒质中某点的电流
3、密度的方向为该点正电荷运动的方向,它的数值等于在该点通过垂直于电荷运动方向的单位面积上的电流强度。如图2.1.3所示。,图2.1.3 体电流示意图,图2.1.4 体电流密度,在电流密度为 的电流场中任取一个矢量面元,穿过矢量面元S的电流为 如图2.1.4所示。若在电流场中任取一个曲面S,则穿过曲面的电流为,即电流是电流密度的通量,当电荷在很薄的导体片上流动时,我们可以将其抽象地视为在一数学面上流动,并称为面电流。如图2.1.5所示。过表面电流场中一点,取一线元 垂直于电荷运动的方向,如果穿过此线元 的电流为,定义该点表面电流密度的值为,图2.1.5 面电流密度与面电流,穿过线段 的电流为,电荷
4、在一根很细的导线中流过,或电荷通过的横截面积很小时,可将电流视为在一根无限细的线上流动,这样的电流称为线电流。,2.1.3 库仑定律 电场强度,图2.1.6电荷与电荷的相互作用,电荷间的相互作用规律由库仑定律描述。真空中静止的电荷 对 的相互作用力 为,2.1.6,空间某点静电场的电场强度在数值上等于静电场对放置在该点的单位电荷的作用力的大小,它的方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致,它表征了静电场对放置在该点的电荷的作用能力。若在电场强度为 的空间某点放置点电荷q,则 q受到的静电力为,图2.1.7场源坐标的表示,库仑定律可导出空间点电荷q 的电场强度为,即,当空间有 n个点电荷时,场点
5、的电场强度可由各点电荷独立在该点激励的电场强度的矢量和来计算,即,对于体分布的电荷,可将其视为一系列点电荷的叠加,从而得出r点的电场强度为,同理,面电荷和线电荷产生的电场强度分别为,图2.2.4 点电荷电场的叠加,图2.2.5 圆盘电荷对点电荷的作用力计算,由亥姆霍兹定理可知:静电场在空间中的分布特征和场源关系由静电场的环流和旋度、通量和散度来决定。,2.2.2 真空中静电场的基本方程,空间某一面元 对一定点O所张的立体角 定义:以O为球心,以点O到面元 的距离R 为半径作一球面,如图2.2.8所示,则立体角 为 在球面上的投影 与 的比,即,图2.2.8 空间面元 对一定点O的立体角,闭合面
6、对定点O的立体角一定等于球面对O点的立体角,即。如果O点在闭合面外,则该闭合面在球面上投影的带数和为零,如图2.2.9b所示,因此,该闭合面对定点O的立体角一定等于零。,图2.2.9 闭合面对定点的立体角,验证高斯定理,先研究一个点电荷的情况:,在点电荷q的电场中任选一闭合面S,电场强度在S面上的通量为:,上式中 是面元对点电荷q所张的立体角,若 点在闭合面内,则该立体角为,若q 点在闭合面外,则该立体角为0,若S面内有N个点电荷,则根据叠加原理:,式中Q为闭合面的总电荷。,若闭合面S包围的体积 内,电荷以体密度 分布,则 内总电荷量为,根据高斯散度定理有:,则:,因为闭合面是任取的,所包围的
7、体积也是任意的,于是有,高斯定律的积分形式,高斯定律的微分形式,环流方程和旋度方程:,在点电荷的场中取一条曲线连接A、B两点,如图2.2.10所示,沿此曲线的积分为:,图2.2.10 的计算,当积分路径是闭合路径时,点A和点B重合,因此,利用斯托克斯定理,上式可写成:,因此:静电场是一种无旋场,或者说是一种发散场。从力场的角度来看,又可以把静电场说成是一种保守场。,静电场基本方程的积分形式,静电场基本方程的微分形式,2.3 泊松方程 拉普拉斯方程,2.3.1 电位函数,静电场是无旋的矢量场,它可以用一个标量函数的梯度表示,此标量函数称为静电场的电位函数或简称电位。静电场中,电位函数 的定义为:
8、,在直角坐标系中:,将上式在空间A、B两点间积分可得A、B两点的电位差:,电场强度沿一路径从A点到B点的线积分等于电位从A点到B点的下降.由此可见:电场强度的线积分反应了空间两电位的差。,若在空间中任选P点作为电位的参考点,即,则A点的电位,参考点的选定最好使电位函数的表达式比较简单,通常电荷分布在有限区域时,最好选无穷远点为参考点;如果电荷分布到无穷远处,则不能选无穷远点为参考点,而必须将参考点选在有限远处。对于点电荷的电位:,若选取无穷远点为参考点,则,于是,体电荷、面电荷和线电荷分布的电位函数表达式为:,2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程,拉普拉斯算符,无源区域,拉普拉斯方程,泊松方程,
9、在直角坐标系中,拉普拉斯算符可以写成:,2.4 介质中的高斯定律 电位移矢量,2.4.1 电介质的极化,电介质简称介质,是一种电阻率很高、导电性能很差的物质。当介质被放入电场中时,介质在电场作用下会使介质表面或介质中出现某种电荷分布,这种现象称为介质的极化,这种因极化而产生的电荷称为极化电荷或束缚电荷。,引入极化强度矢量:在电场作用下,介质中某点单位体积内电偶极子电矩的矢量和,即,显然,极化强度矢量等于分子的平均电矩 与子密度N的乘积,对于常用的各向同性的线性均匀介质:,极化电荷体密度与极化强度的关系,图2.4.1 极化介质的物理模型,介质的分子密度为N,分子的平均电矩为,在dS为底、斜高为
10、的一个小柱体积内的正电荷都将从dS穿过,其电荷量为,从闭合面S上穿出的电荷总量 为:闭合面S内的极化电荷为:应用高斯散度定理:则因此极化体电荷密度为:,图2.4.2 面极化电荷密度,在S面上取一面元矢量,从面元矢量 穿出的电荷量为 其中 为表面的单位法向矢量介质表面上的极化电荷密度为:,2.4.2 介质中的高斯定律 电位移矢量,源电荷分布激励电场,束缚电荷分布要激励电场,介质中的高斯定律,电位移矢量,介质中高斯定律的积分形式和微分形式,对以各向同性的均匀介质,与 的关系称为介质的本构方程或组成关系,相对电容率,2.4.3 介质中静电场的基本方程,积分方程:微分方程:本构方程:,2.5 介质分界
11、面上的边界条件,介质分界面上的边界条件是指:静电场中电场强度 和电位移矢量,在不同介质的分界面上遵循的变化规律。,图2.5.1 分界面上 的边界条件,在分界面上取一个小的柱形闭合面,其上、下两底面与分界面平行,并分居于分界面两侧,高h为无限小量,如图2.5.2所示。对于此闭合面,由于两底面积很小,面上的场量可以视为增均匀分布,因此,高斯定律写成,或,为分界面上的自由电荷密度,当分界面上无自由电荷分布时:,即,由此可得 的法向分量在介质面两侧的关系:(1)如果介质分界面上无自由电荷,则分界面两侧 的法向分量连续(2)如果介质分界面上分布电荷密度,的法向分量从介质1跨过分界面进入介质2时将有一增量
12、,这个增量等于分界面上的面电荷密度。,边界条件可用电位表示为:,在分界面上取一小的矩形闭合路径,使两个边 与分界面平行,并分居于分界面的两侧,高,如图2.5.2所示,对于此小矩形闭合回路,由于 很小,电场强度可以认为在 上均匀分布,而电场强度 在此回路上的环量为零,因此:,即,电场强度的切向分量在不同介质的分界面上总是连续。,图2.5.3 不同介质的分界面,由于电场的切向分量在分界面上总连续,法向分量有限,故在分界面上电位函数连续,即:,对于没有电荷分布的介质分界面,若分界面两侧电场强度 和 与法线的夹角分别为 和 则:,对于导体与空气的分界面,由于导体内无电场,故在空气侧的导体表面上有:,图
13、2.5.3 不同介质的分界面,2.6 导体系统的电容,图2.6.1 孤立导体的电容,图2.6.2 双导体系统的电容计算,孤立导体储存电荷的能力用导体上单位电位的电荷量来表示:,双导体系统中,若在两导体间加电压,两导体的电容定义为:,两导体上的电荷分别为:,其中:,多导体系统中,如果对各导体分布的电位分别为(大地的电位取为零),则各导体表面上将分别分布 的电荷。可以写出各导体上的电荷量为,当 时,称为电容系数;当 时,称 为导体 与导体 之间的感应系数。,令:,则:,图2.6.3 多导体系统的部分电容,上式表明:在一个多导体系统中,任何一个导体i上储存的电荷由N部分电荷组成,例如导体1所带电荷,
14、它的第一部分 为当导体与大地存在电位差 时,由导体1与大地之间的电容效应所储存的电荷,称比值 为导体与大地之间的部分电容;第二部分电荷 与导体1、2间的电压成正比,它是由导体1与导体2之间的电容效应所储存的电荷,称比值 为导体1与导体2之间的部分电容 在多导体系统中,所有的导体与大地之间以及任意两个导体之间都存在部分电容。导体与大地之间的部分电容称为自部分电容;导体之间的部分电容称为互部分电容。,2.7 电场能量与能量密度,2.7.1 带电系统的静电能,设每个带电体的最终电位为1、2、n,最终电荷为q1、q2、qn。带电系统的能量与建立系统的过程无关,仅仅与系统的最终状态有关。假设在建立系统过
15、程中的任一时刻,各个带电体的电量均是各自终值的倍(1),即带电量为qi,电位为i,经过一段时间,带电体i的电量增量为d(qi),外源对它所作的功为id(qi)。外源对n个带电体作功为,因而,电场能量的增量为,在整个过程中,电场的储能为,2.7.2 能量密度,图 2 7.1 能量密度,由于,所以,将 和 代入上式,有,故得到:对于各向同性介质:,场中任一点的能量密度为:凡是静电场不为零的空间中都储存着静电能。静电能是以电场的形式存在于空间,而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。,2.8 恒定电场的基本方程,在空间中分布不随时间变化的电流称为恒定电流,与恒定电流对应的电场称为恒定电场。,2.8.
16、1 恒定电流的基本特征,根据电荷守恒定律,单位时间内由面流出的电流等于单位时间内面内电荷的减少量:,(应用散度定理),电流连续性方程:,恒定电流场中:,由于电流密度可以视为单位面积的电流密度,电场强度可以视为在电场强度方向单位长度上的电压。因此,对一段长为,横截面为S的导线,欧姆定律的微分形式可写成:,实验表明在导电媒质中,当温度不变时,媒质中某点的电流密度 与该点的电场强度 成正比,欧姆定律的微分形式,(电路理论中的欧姆定律),在均匀导电媒质中:,在金属导体中,自由电子在电场力的作用下做定向移动,在自由电子的运动过程中,电场力不断地对自由电子做功,自由电子获得动能;同时自由电子又不断地与晶体
17、点阵上的原子碰撞,将动能转换为原子的热能。这就是通常所说的电流热效应。由电能转换而来的热能称为焦耳热。能引起焦耳热的媒质称为有耗媒质。,在恒定电场中,恒定电场将电荷 在导电媒质中移动,电场力做的功为:,这些功全部转换为焦耳热:,单位体积的功率损耗:,2.8.2 恒定电场的基本方程,均匀导电媒质中恒定电场的散度方程:任一闭合面上恒定电场的通量为:,导电媒质中的恒定电场由外加电源产生。实际上,恒定电场应该理解为由外电源建立的空间净电荷分布激励的。既然这些净电荷是稳定分布的电荷,它们激励的电场当然是库仑电场,它具有与静电场相同的性质,所以,恒定电场的基本方程总结为:,2.8.3 恒定电场的边界条件,
18、当恒定电流通过不同电导率 和 的两种导电媒质的分界面时,在分界面上,恒定电流 和恒定电场 各自满足的关系称为恒定电场的边界条件。,(采用与静电场中推导边界条件相同的方法),或,或,应用欧姆定律可得:,4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度,图4.1.1 回路 与回路 间的安培力,1820年法国物理学家A.M.安培通过实验总结出:两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。,4.1.1 安培力定律,第3 章 恒定磁场,安培定律指出:在真空中载有电流I1的回路 上的电流元 对载流回路 的电流去元 的作用力表示为,l2,整个载流回路 对电流元 的作用力,载流回路 对载流回路 的作用力,真空中的磁导率,4
19、.1.2 磁感应强度,载流回路之间的相互作用是通过磁场来进行的。,载流回路 对电流元 的作用力,可以认为是载流回路 上的电流 在空间激励的磁场,而磁场 对电流元 施加作用力 载流回路 激励的磁场在空间中的分布,显然只与载流回路 和空间中的媒质和位置有关,与电流元 无关。将载流回路 在空间中激励的磁场表示为,运动电荷的电流,因此运动电荷在磁场中受的力为:,空间电流I在R处激励的磁场的大小描述:,毕奥-萨伐尔定律,磁感应强度,单位特斯拉,简记为T,理论上可将电流回路的磁感应强度,视为电流回路上各电流元激励的磁感应强度的叠加,则电流元 的磁感应强度为:,对于体电流和面电流分布,分别用体电流元 和面电
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