弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶第三章ppt课件.ppt

第三节 位移分量的求出,第四节 简支梁受均布荷载,第五节 楔形体受重力和液体压力,例题,教学参考资料,第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答,第二节 矩形梁的纯弯曲,第三章 平面问题的直角坐标解答,习题的提示与答案,当体力为常量，按应力函数 求解平面应力问题时， 应满足,31 逆解法和半逆解法 多项式解答,按 求解, 多连体中的位移单值条件。 (c), S = 上应力边界条件, A内相容方程,对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。,由 求应力的公式是,(d), 先找出满足 的解,2 .逆解法 先满足(a),再满足(b)。 步骤:,(e),逆解法, 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，, 代入(d), 求出,从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。,逆解法,逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。,例1 一次式 =ax+by+c,对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数中加减一次式，不影响应力。例2 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。,逆解法,2a,2a,o,y,x,o,y,x,o,y,x,b,b,b,b,2c,2c,例3,逆解法,设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？,y,x,o,l,h/2,h/2,( l h),解：按逆解法。,1. 将 代入相容方程，可见 是满足的。 有可能成为该问题的解。,2. 由 求出应力分量,。,3. 由边界形状和应力分量反推边界上的面力。,在主要边界（大边界） 上，,因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即,在x = 0，l的次要边界（小边界）上，,在x = 0,l 小边界上的面力 ，如下图(b) 所示，而其主矢量和主矩，如(c)所示。 由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x = 0处受集中力F 作用的问题。,F,F,MFl,(b),(c), 由应力(d)式，推测 的函数形式；, 代入 ，解出 ；,3.半逆解法 步骤：,半逆解法, 假设应力的函数形式 （根据受力情况，边界条件等）；, 由式（d），求出应力；,半逆解法, 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）。 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。,梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。,问题提出,h/2,h/2,l,y,x,( l h),o,M,M,3-2 矩形梁的纯弯曲, 由逆解法得出，可取 ，且满足, 求应力,(a),求解步骤：,本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件。, 检验应力边界条件，原则是:,边界条件,b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。,a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。,主要边界,从式(a)可见，边界条件(b)均满足。,满足。,主要边界,次要边界x=0,l,(c),的边界条件无法精确满足。,次要边界,用两个积分的条件代替,当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。,式(d)的第一式自然满足，由第二式得出,最终得应力解,(e),3-3 位移分量的求出,在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？,以纯弯曲问题为例，已知,试求解其位移。,问题提出,1. 由物理方程求形变,求形变,2. 代入几何方程求位移,求位移, 对式(a)两边乘 ,积分得, 对式(b)两边乘 ，积分得,求位移, 再代入(c) , 并分开变量，,上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。,求位移,由此解出,求位移,得出位移为,3.待定的刚体位移分量 ，,须由边界约束条件来确定。,2.代入几何方程，积分求 ；,归纳：从应力求位移的步骤：,3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量,1.由物理方程求出形变；,纯弯曲问题的讨论：,1. 弯应力 与材力相同。,2. 铅直线的转角 故在任一 截面x 处，平面截面假设成立。,3.纵向纤维的曲率 (常曲率)， 同材力。故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。,简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。,。,问题,y,x,o,l,l,h/2,h/2,3-4 简支梁受均布荷载,书中采用假设,半逆解法,按半逆解法求解。, 假设应力分量。由材力, 由应力分量推出应力函数的形式。,由,对 x 积分，,对x再积分，,(a),半逆解法, 将 代入相容方程，求解 :,相容方程对于任何 均应满足,故,的系数均应等于0。由此得三个常微分方程,半逆解法,式(b)中已略去 的一次式。,将式(b)代入式(a)，即得 。,(b),半逆解法,从而解出:,对称性条件由于结构和荷载对称于 轴， 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故 。, 由 求应力。,半逆解法,在无体力下，应力公式如书中式( f ), (g)，(h)所示。, 考察边界条件。,由此解出系数 A , B , C , D 。,主要边界 ，,主要边界,次要边界 x=l 上,次要边界,由此解出H，K.,另一次要边界(x= - l ) 的条件，自然满足。,应用圣维南原理，列出三个积分条件:,最后应力解答为：,应力,关于应力的量级:当 时, x l 同阶，y h 同阶。,第一项 同阶,（与材力解同）;,第二项 同阶,（弹力的修正项）。,同阶,（与材力解同）。,应力的量级,同阶, （材力中不计）。,当 时， 量级的值很小，可以不计。,应力与材力解比较:,最主要量级 ，和次要量级 ，在材力中均已反映，且与弹力相同。,最小量级 ，在材力中没有:,当 时，仅占主项 的1/15 ( 6 %) ,应力比较,弹力与材力的解法比较:,应力比较,弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理，但只影响小边界附近的局部区域)。,材力在许多方面都作了近似处理，所以得出的是近似解答。,平衡条件中，略去 作用，没有考虑微分体的平衡，只考虑 的内力平衡；,几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布；,例如：在材力中,边界条件也没有严格考虑；材力解往往不满足相容条件。,对于杆件，材力解法及解答具有足够的精度; 对于非杆件，不能用材力解法求解，应采用弹力解法求解。,设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力,o,y,x,n,问题,3-5 楔形体受重力及液体压力,用半逆解法求解。,应力 , 而应力的量纲只比,高一次（L），,应力,(x , y 一次式）,=,即可假设应力为x , y 的一次式。,（1）用量纲分析法假设应力:,（2）由应力 关系式， 应为x,y的三次式，,（3） 满足相容方程,（4）由 求应力，,（5）考察边界条件本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件:,x=0 铅直面，,解出,解出,斜边界上，,须按一般的应力边界条件来表示，有,其中,由式（b)解出a、b,最后得应力解答,应力,水平截面上的应力分布如图所示。,楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法 材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。,第三章例题,1,例题2,例题3,例题4,例题8,例题7,例题6,例题5,例题,例题1,设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计， 如图，试用应力函数 求解应力分量。,图3-5,y,dy,y,x,l,h/2,h/2,o,解：,本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。,1. 将 代入相容方程，显然是满足的。,2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量，,考察边界条件： 主要边界 上应精确满足：,在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图中表示了负x面上的 的正方向，由此得：,由(a),(b) 解出,最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。,代入应力公式，得,例题2,挡水墙的密度为 ，厚度为b,如图,水的密度为 ，试求应力分量。,y,o,x,解：,用半逆解法求解。,假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2边界上， ，所以可假设在区内 沿x 向也应是一次式变化，即,2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式，,3. 由相容方程求应力函数。代入 得,要使上式在任意的x处都成立，必须,代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。,4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意体力 ，求得应力分量为,5. 考察边界条件： 主要边界 上,有,由上式得到,求解各系数，由,由此得,又有,代入A,得,在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：,由式(g),(h)解出,代入应力分量的表达式，得最后的应力解答：,例题3,已知,试问它们能否作为平面问题的应力函数？,解：,作为应力函数，必须首先满足相容程，,将 代入，,(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数；,必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。,例题4,图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F 和力矩 的作用，试用应力函数 求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。,b,b,A,y,x,h,O,F,Fb/2,解：,应用应力函数求解：,(1) 校核 相容方程 ，满足.,(2) 求应力分量 ，在无体力时，得,(3) 考察主要边界条件，,考察次要边界条件，在y=0上，,上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。,代入，得应力的解答，,(4) 求应变分量，,(5) 求位移分量，,将u,v代入几何方程的第三式，,两边分离变量，并令都等于常数，即,从上式分别积分，求出,代入 u,v, 得,再由刚体约束条件，,代入u,v,得到位移分量的解答,在顶点x=y=0，,例题5,图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数,求解应力分量。,y,x,o,h/2,h/2,l,解：应用上述应力函数求解：,(1) 将 代入相容方程，,由此，,(2) 代入应力公式，在无体力下，得,(3) 考察主要边界条件,对于任意的x值，上式均满足，由此得,(a),(b),(c),(d),由(c)+(d)得,由(c)-(d)得,由(e)-(a)得,(e),(4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由,得,由式(b)和(f)解出,另两个积分的边界条件，,显然是满足的。,于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。,读者试校核在 x=l 的小边界上，下列条件是满足的，,例题6,矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数,求解其应力分量。,M,q,q,h,y,x,o,b/2,b/2,解：应用上述应力函数求解：,(1) 代入相容方程，,(2) 求应力分量，在无体力下，,考察边界条件，在主要边界,在小边界x= 0,再由(a),(b)式解出,代入，得应力解答，,例题7,试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。,解：应校核相容方程和边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。,本题得出的应力解答是,例题8,试用应力函数 求解图中所示的半平面体在 的边界上受均布切力q的问题。,解：应校核相容方程和边界条件，若这些条件均满足，就可以求出其应力分量。,本题得出的应力解答是,3-1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力 从而得出这个应力函数所能解决的问题。,第三章 习题的提示与答案,3-2 用逆解法求解。由于本题中 lh, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。,3-3 见3-1例题。,3-4 本题也属于逆解法的问题。首先校核 是否满足相容方程。再由 求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是：,主要边界：,所以在 边界上无剪切面力作用。,下边界无法向面力；,上边界有向下的法向面力q。,次要边界：,x=0面上无剪切面力作用；,但其主矢量和主矩在 x=0 面上均为零。,因此，本题可解决如习题3-10所示的问题。,3-5 按半逆解法步骤求解。（1）可假设（2）可推出（3）代入相容方程可解出f、 ，得到（4）由 求应力。（5）主要边界x=0,b上的条件为,次要边界y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为,读者也可以按 或 的假设进行计算。,3-6 本题已给出了应力函数 ，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在 各有两个应精确满足的边界条件，即,而在次要边界 y=0 上， 已满足，而 的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0，使本题无解），可用积分条件代替：,3-7 见例题2。3-8 同样，在 的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。3-9 本题也应先考虑对称性条件进行简化。3-10 应力函数 中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程，系数之间必须满足一定的条件。,3-11 见例题3。3-12 见圣维南原理。3-13 m个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式(2-15)所示。n个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。3-14 见教科书。3-15 严格地说，不成立。,（一）本章学习重点及要求,本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数 作为基本未知数进行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。在学习本章时，应重点掌握：,第三章 教学参考资料,按应力函数 求 解时， 必须满足的条件。逆解法和半逆解法。由应力求位移的方法。从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力学和材料力学解法的异同。,在早期应用逆解法和半逆解法，曾经得出许多平面问题的解答。但是对于有复杂荷载和边界条件的工程实际问题，是,难以用这些方法找出函数式解答的。我们可以采用弹性力学的近似解法来求解工程实际问题。因此，我们不要求读者去求解新的问题的解答，而是要求读者了解弹性力学问题是如何求解的，如何满足有关的方程和边界条件的。从而使读者能阅读和理解弹性力学已有的解答，并应用到工程实践中去。,（二）本章内容提要,按应力函数 求解时， 必须满足： (1) 区域A内的相容方程，（2） 上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）（3）多连体的位移单值条件。在半逆解法中寻找应力函数 时，通常采用下列方法来假设应力分量的函数形式 （1）由材料力学解答提出假设，（2）由边界受力情况提出假设，（3）用量纲分析方法提出假设。,3. 在校核应力边界条件时，必须注意以 下几点（见（四）。,4. 学习本章的重点，是掌握弹性力学问 题按应力求解的方法。要求读者在掌 握这些基本理论之后，能阅读和理解 弹性力学文献，并将已有的解答应用 到工程实践中去。,5. 对于工程实际问题，由于边界形状和受 力、约束条件较为复杂，难以得出微分方 程的函数式解答。因此，并不要求读者去求解新的解答，只要求能掌握基本理论，并能应用弹性力学近似解法（见后面几章）去解决工程实际问题。,（三）重力坝的材力解法,一般重力坝的分析，采用的是材料力学的解法，称为重力法。其解法的要点是：对重力坝进行分层计算，对每一水平层， 1. 假设 沿水平的x向为直线分布，即 ，并由偏心受压公式确定每一层的a和b。,2. 将 代入平衡微分方程（2-2）的第二式，并对x积分，可得出切应力 的表达式，,再由上，下游切应力的边界条件，及水平截面上的总水平力的平衡条件来确定 及 。,3.将 代入平衡微分方程（2-2）的第一式，并对x积分，可得出水平向正应力 的表达式，,其中的 可由上下层对 y的导数（差分形式）及上下游边界条件确定。,重力法至今仍列入重力坝的规范中，作为设计的方法。这是因为:(1)重力坝中最主要的应力 为直线分布，符 合楔形体的解答及坝体上部 区域的实 际情形；(2) 重力法计算简单；(3)在中低坝中倾复和滑移的稳定性是设计中 的主要控制因素，因此应力可简单地按 上述方式进行分析。,从弹性力学观点来看，重力法中虽然考虑了平衡微分方程，但没有满足相容方程；又因为实际重力坝的下部是与地基联接的，下部的边界条件也没有进行考虑。因此，对于近代工程中出现的高坝和其他复杂形式的坝体，可以用弹性力学的近似解法有限单元法进行较精确的分析。,1、应首先校核主要边界（大边界），在主要边界上必须精确满足应力边界条件（式（2-15）。2、其次校核次要边界条件（小边界、局部边界），在次要边界上，若精确的应力边界条件不能满足时，可以应用圣维南原理，,（四）校核应力边界条件时，应注意下列几点：,用三个积分的应力边界条件（等效的主矢量、主矩的条件）来代替。后者虽然是近似的应力边界条件，但应用于小边界，只影响局部区域的应力，对整个弹性体的解答没有明显的影响。,3、应力边界条件只在边界上才成立， 因此，必须把边界的方程代入边界条件。,4、应力边界条件中的应力、面力及法线的方向余弦，应按各自的符号规则来确定。,5、对于斜边界，须按一般的应力边界条件（2-15）来表示。6、所有边界上的应力边界条件（主要边界上的两个精确的边界，次要边界上的三个积分的边界条件）都必须满足。当平衡微分方程和其他边界条件都已满足时，可以推论出最后一个次要边界条件上的三个积分边界条件，必须满足的，因此可以不必校核。,7、精确的（严格的）应力边界条件（2-15），一般是二个函数方程，可以用来确定待定的函数；近似的三个积分的应力边界条件，是三个代数方程。因此，边界条件的数目与待定系数的数目并不一定相符。,8、应力边界条件表示在边界上，面力（外力）与内部应力之间的统一关系，这种统一关系可以用两种方式来表达： （1）在边界上取出一个微元体，列出应力边界条件； （2）在同一边界面上，应力等于对应的面力（数值相等，方向一致）也得出应力边界条件。,9、在平衡微分方程中考虑到二阶微量；而在应力边界条件中，考虑到一阶微量，因此，体力不出现在应力边界条件中。,