弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶第三章ppt课件.ppt
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1、第三节 位移分量的求出,第四节 简支梁受均布荷载,第五节 楔形体受重力和液体压力,例题,教学参考资料,第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答,第二节 矩形梁的纯弯曲,第三章 平面问题的直角坐标解答,习题的提示与答案,当体力为常量,按应力函数 求解平面应力问题时, 应满足,31 逆解法和半逆解法 多项式解答,按 求解, 多连体中的位移单值条件。 (c), S = 上应力边界条件, A内相容方程,对于单连体,(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。,由 求应力的公式是,(d), 先找出满足 的解,2 .逆解法 先满足(a),再满足(b)。 步骤:,(e),逆解法, 在给定边界形状S下,由式(
2、b)反推出 各边界上的面力,, 代入(d), 求出,从而得出,在面力(e)作用下的解答,就是上述 和应力。,逆解法,逆解法没有针对性,但可以积累基本解答。,例1 一次式 =ax+by+c,对应于无体力,无面力,无应力状态。故应力函数中加减一次式,不影响应力。例2 二次式 ,分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。,逆解法,2a,2a,o,y,x,o,y,x,o,y,x,b,b,b,b,2c,2c,例3,逆解法,设图中所示的矩形长梁,l h,试考察应力函数 能解决什么样的受力问题?,y,x,o,l,h/2,h/2,( l h),解:按逆解法。,1. 将 代入相容方程,可见 是满足的。 有可能成为
3、该问题的解。,2. 由 求出应力分量,。,3. 由边界形状和应力分量反推边界上的面力。,在主要边界(大边界) 上,,因此,在 的边界面上,无任何面力作用,即,在x = 0,l的次要边界(小边界)上,,在x = 0,l 小边界上的面力 ,如下图(b) 所示,而其主矢量和主矩,如(c)所示。 由此,可得出结论:上述应力函数可以解决悬臂梁在x = 0处受集中力F 作用的问题。,F,F,MFl,(b),(c), 由应力(d)式,推测 的函数形式;, 代入 ,解出 ;,3.半逆解法 步骤:,半逆解法, 假设应力的函数形式 (根据受力情况,边界条件等);, 由式(d),求出应力;,半逆解法, 校核全部应力
4、边界条件(对于多连体, 还须满足位移单值条件)。 如能满足,则为正确解答;否则修改假 设,重新求解。,梁lh1,无体力,只受M作用(力矩/单宽,与力的量纲相同)。本题属于纯弯曲问题。,问题提出,h/2,h/2,l,y,x,( l h),o,M,M,3-2 矩形梁的纯弯曲, 由逆解法得出,可取 ,且满足, 求应力,(a),求解步骤:,本题是平面应力问题,且为单连体,若按 求解, 应满足相容方程及 上的应力边界条件。, 检验应力边界条件,原则是:,边界条件,b.后校核次要边界(小边界),若不能精确满足应力边界条件,则应用圣维南原理,用积分的应力边界条件代替。,a.先校核主要边界(大边界),必须精确
5、满足应力边界条件。,主要边界,从式(a)可见,边界条件(b)均满足。,满足。,主要边界,次要边界x=0,l,(c),的边界条件无法精确满足。,次要边界,用两个积分的条件代替,当 时,即使在 边界上面力不同于 的分布,其误差仅影响梁的两端部分上的应力。,式(d)的第一式自然满足,由第二式得出,最终得应力解,(e),3-3 位移分量的求出,在按应力求解中,若已得出应力,如何求出位移?,以纯弯曲问题为例,已知,试求解其位移。,问题提出,1. 由物理方程求形变,求形变,2. 代入几何方程求位移,求位移, 对式(a)两边乘 ,积分得, 对式(b)两边乘 ,积分得,求位移, 再代入(c) , 并分开变量,
6、,上式对任意的 x , y 都必须成立,故两边都必须为同一常量 。,求位移,由此解出,求位移,得出位移为,3.待定的刚体位移分量 ,,须由边界约束条件来确定。,2.代入几何方程,积分求 ;,归纳:从应力求位移的步骤:,3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量,1.由物理方程求出形变;,纯弯曲问题的讨论:,1. 弯应力 与材力相同。,2. 铅直线的转角 故在任一 截面x 处,平面截面假设成立。,3.纵向纤维的曲率 (常曲率), 同材力。故在纯弯曲情况下,弹力解与材力解相同。,简支梁 ,受均布荷载 及两端支撑反力 。,。,问题,y,x,o,l,l,h/2,h/2,3-4 简支梁受均布荷载,书中采用假
7、设,半逆解法,按半逆解法求解。, 假设应力分量。由材力, 由应力分量推出应力函数的形式。,由,对 x 积分,,对x再积分,,(a),半逆解法, 将 代入相容方程,求解 :,相容方程对于任何 均应满足,故,的系数均应等于0。由此得三个常微分方程,半逆解法,式(b)中已略去 的一次式。,将式(b)代入式(a),即得 。,(b),半逆解法,从而解出:,对称性条件由于结构和荷载对称于 轴, 应为 的偶函数, 为 x的奇函数,故 。, 由 求应力。,半逆解法,在无体力下,应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。, 考察边界条件。,由此解出系数 A , B , C , D 。,主要边界 ,,主要
8、边界,次要边界 x=l 上,次要边界,由此解出H,K.,另一次要边界(x= - l ) 的条件,自然满足。,应用圣维南原理,列出三个积分条件:,最后应力解答为:,应力,关于应力的量级:当 时, x l 同阶,y h 同阶。,第一项 同阶,(与材力解同);,第二项 同阶,(弹力的修正项)。,同阶,(与材力解同)。,应力的量级,同阶, (材力中不计)。,当 时, 量级的值很小,可以不计。,应力与材力解比较:,最主要量级 ,和次要量级 ,在材力中均已反映,且与弹力相同。,最小量级 ,在材力中没有:,当 时,仅占主项 的1/15 ( 6 %) ,应力比较,弹力与材力的解法比较:,应力比较,弹力严格考虑
9、并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。,材力在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。,平衡条件中,略去 作用,没有考虑微分体的平衡,只考虑 的内力平衡;,几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布;,例如:在材力中,边界条件也没有严格考虑;材力解往往不满足相容条件。,对于杆件,材力解法及解答具有足够的精度; 对于非杆件,不能用材力解法求解,应采用弹力解法求解。,设有楔形体,左面垂直,顶角为,下端无限长,受重力及齐顶液体压力,o,y,x,n,问题,3-5 楔形体受重力及液体压力,用半逆解法求
10、解。,应力 , 而应力的量纲只比,高一次(L),,应力,(x , y 一次式),=,即可假设应力为x , y 的一次式。,(1)用量纲分析法假设应力:,(2)由应力 关系式, 应为x,y的三次式,,(3) 满足相容方程,(4)由 求应力,,(5)考察边界条件本题只有两个大边界,均应严格满足应力边界条件:,x=0 铅直面,,解出,解出,斜边界上,,须按一般的应力边界条件来表示,有,其中,由式(b)解出a、b,最后得应力解答,应力,水平截面上的应力分布如图所示。,楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题, 在坝体中部的应力,接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
11、 材料力学解法(重力法)。 重力坝的精确分析,可按有限单元法进行。,第三章例题,1,例题2,例题3,例题4,例题8,例题7,例题6,例题5,例题,例题1,设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用,体力可以不计, 如图,试用应力函数 求解应力分量。,图3-5,y,dy,y,x,l,h/2,h/2,o,解:,本题是较典型的例题,已经给出了应力函数 ,可按下列步骤求解。,1. 将 代入相容方程,显然是满足的。,2. 将 代入式(2-24),求出应力分量,,考察边界条件: 主要边界 上应精确满足:,在次要边界x=0上,只给出了面力的主矢量和主矩,应用圣维南原理,用三个积分的边界条件代替。注意x=
12、0是负x面,图中表示了负x面上的 的正方向,由此得:,由(a),(b) 解出,最后一个次要边界条件(x=l上),在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下,是必然满足的,故不必再校核。,代入应力公式,得,例题2,挡水墙的密度为 ,厚度为b,如图,水的密度为 ,试求应力分量。,y,o,x,解:,用半逆解法求解。,假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上, y=b/2边界上, ,所以可假设在区内 沿x 向也应是一次式变化,即,2. 按应力函数的形式,由 推测 的形式,,3. 由相容方程求应力函数。代入 得,要使上式在任意的x处都成立,必须,代入 ,即得应力函数的解答,其中已略去了与应
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