数分：一元函数微分学习题课ppt课件.ppt

一元函数微分学习题课,第三章,一、导数与微分的基本概念,1导数定义:,2导数的几何意义:,为曲线 在点 的切线斜率。,在 处可导,且 。,与 都存在，,3. 在 处可导的充分必要条件：,二、极限、连续、可导与可微的关系,4. 在 处的可微定义：,三、求导法则,1四则运算求导法则,2反函数求导法则,（1）,（2）,（3）,函数 在对应的 内也可导，且,或 。,设 在 区间内单调、可导且 ，则其反,3复合函数求导法则,4隐函数求导法则,求导过程中牢记 是 的函数 ，方程中含有 的,项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出 。,5参数方程求导,参数方程 确定可导函数 ，则,由方程 确定了 ，方程两端对 求导，在,四、高阶导数定义及求导,若函数 的导函数 仍然是可导函数，则将 的,导函数叫做函数 的二阶导数。记作,依此类推，函数 的导函数叫做 的 阶导数。,记 。,五、典型例题,分析 计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有,解：,左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。,【例1】设 ，问 是否存在？,【例2】设 ，求 及 。,解： 当 时，,解：因为 在 处可导，所以 在 处连续；,即,【例 4】已知 ，求 。,解： 当 时， ；,当 时， ；,当 时，,综上，,所以,【例5】设 ，求 。,解：,解：,【例6】设 ，求 。,解：,【例7】求星形线 在 处的导数 。,故,解：方程两边对 求导得,将 代入,得,【例9】求函数 的微分。,解：,所以,分析 因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。,解：应用对数求导法。函数两边取对数得,所以,方程两边对 求导得,【例10】设 ，求 。,【例11】设 ，求 。,方程两边对 求导得,解：函数两边取对数得方程,所以,所以切点坐标为,则所求切线方程为,解：先求切点坐标. 将 代入曲线方程得,将 代入上式, 得,再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对 求导，得,【例13】 已知 , 设 存在且不为零, 求,解： 因为,所以,【14】 求 的 阶导数.,解：,微分中值定理,一、微分中值定理,1罗尔定理,2拉格朗日中值定理,3柯西中值定理,在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一,使,在 上连续, 在 内可导, ，,则至少存在一 使,三、三个定理之间的内在联系,拉格朗日中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,二、判别 的方法,若,，则,四、典型例题,定理的三个条件。, 所以不能利用零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。,的左端函数, 其次 在题设的相应区间上满足罗尔,首先构造一个函数 使 ，其中 是欲证方程,零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。因此构造函数,范围内, 不能找到区间 ，使得 , 所以不能利用,由于要证明方程至少存在根，所以，要在 的范围内,的系数，不难发现,所以选取,，因此，对 应用罗尔定理即可证明。,证明 ：令,取区间,显然 在 连续，在 内可导，且,即,构造函数,因此，方程 至少有一个,正根。,证明存在一点 使,罗尔定理的条件，且从 中能得出 .,由于结论是两项和，故 为两个函数乘积的形式。将,分析 从结论 看等价于方程,有实根，但若利用零点定理，无法验证 ，所以,采用罗尔定理证明。,关键是找 , 使 在 上满足,换为 若令 则结论,为,证明: 令,且 , 故由罗尔定理知,使 即,由已知条件知 在 上连续, 在 内可导，,分析 将所证不等式变形为 , 可见,此题类型为利用拉格朗日中值定理证明不等式。,只要对 在 上应用拉格朗日中值定理即可.,即,故,或,得,显然有,可见，应对 与 在 上应用,柯西中值定理的条件。由柯西中值定理可知，,柯西中值定理.,总结：利用中值定理证明相关命题，关键是根据题目的特点，寻找合适的定理及相应的辅助函数。步骤如下：,（1）构造辅助函数；（2）确定区间；（3）验证定理条件。,亦即,在 内至少存在一点 , 使,即,洛必达法则与泰勒公式,一、洛必达法则,1洛必达法则：, 函数 与 都趋向于0(或 );, 与 都存在,且 ;, 存在(或为无穷大).,那么,设在 的某一趋向下,函数 与 满足:,2适用类型：未定式,基本型： “ ”型“ ” 型，运用洛比达法则求.,1泰勒公式,拉格朗日型余项,佩亚诺型余项,2麦克劳林公式,拉格朗日型余项,佩亚诺型余项,泰勒公式,拉格朗日中值定理,3. 泰勒公式与中值定理的联系,n0,4常用的初等函数的麦克劳林公式,三、典型例题,【例1】计算,解:,（ 型）,分析 当 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算.,先化简在使用洛必达法则,【例2】计算,解：,（ 型）,（ 型）,分析 当 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算.,解：,等价无穷小代换,（ 型）,分析 当 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算.,直接用洛必达法则求解,【例4】计算,解：,( 型),( 型),分析 当 时, 函数式为 型, 将其化为 或 型.,【例5】计算,解：,( 型),（ 型）,（ 型）,分析 当 时, 函数式为 型, 将其化为 或 型.,【例6】求,解：,( 型),令,（ 型）,分析 当 时, 函数式为 型, 将其化为 或 型.,解:,( 型),分析 当 时, 函数式为 型, 将其化为 或 型,再运用洛必达法则计算.,使用洛必达法则求极限应注意的问题, 洛必达法则可反复使用, 但是要注意验证洛必达法则的条件., 单纯应用洛必达法则可能导致繁杂的计算，注意把求极限的多种方法综合运用（如等价无穷小代换、两个重要极限、变量替换等），并利用极限运算法则及时化简非零因子，可使计算简捷。,解：因,所以,一阶泰勒公式为,余项为： 其中 在 与 之间.,三阶泰勒公式为,余项为: 0.,【例9】 求函数 按 的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。,解：将 按 展开n阶泰勒公式, 即在 处展开.,因为,所以,则 的n阶泰勒公式为:,即,在1与 之间.,因,所以,即,导数的应用,一、函数的极值与单调性,1函数极值的定义,2函数的驻点,3函数的单调区间的判别,则 为 的驻点。,在 上，若 ，则单调增加；,若 ，则单调减少；,1函数凹凸性定义,2函数的拐点,称曲线为凹的；凸函数,称曲线为凸的，凹函数。,3函数凹凸性的判别,二、函数的凹凸性及拐点,凹弧与凸弧的分界点 。,凹弧，凸函数 ； 凸弧，凹函数。,1第一充分条件,三、函数极值的充分条件,则 在 处取得极大值；,则 在 处取得极小值；,（3）若 时， 的符号保持不变，,则 在 处没有极值；,（1）若 时，,而 时，,（2）若 时，,而 时，,2第二充分条件,（2）当 时，函数 在 处取得极小值；,（1）当 时，函数 在 处取得极大值；,设函数 在其定义区间 上连续，且除有限个,导数不存在的点外，导函数连续，且 ， ，,， 在 处导数不存在。且,分别研究函数在各个部分区间上单调性、凸凹性、极值及拐点。,，则可用 将 划分，,不存在,不存在,极小,拐点,极大,拐点,六、典型例题,解:,【例1】确定函数 的单调区间。,因为 ，故知 的不可导点仅有 , 令,，得 ， 。从而有,当 时， ，故 在 内单调减少；,当 时， ，故 在 内单调减少；,当 时， ，故 在 内单调增加；,当 时， ，故 在 内单调减少；,解: 在方程两边对 求导，得 ，即,。令 ，得 ， 。从而有,当 时， ，故 在 内单调减少；,当 时， ，故 在 内单调减少；,当 时， ，故 在 内单调减少；,【例3】当 时,证明：设,故 在 上单调增加，而,因此,即,因为,【例4】证明：当 时，有不等式 .,证明：设 , 则 ；,从而 在 内单调增加，即有,即,亦即,因此 在 内单调增加，于是有,解： ， 。由于点,为拐点，必有 ,即 ， 。又点,为驻点，必有 ，即 ，,从而函数为 ，注意到,当 时， ，图形是凸的；,【例6】 求函数 的极值.,解：（1）函数的定义域为,（2）,（3）令 得驻点 ；,（4）利用第一充分条件。,当 时， ；当 时， .,同理在 处取得极大值, 极大值为 .,本题的第四步也可用第二充分条件来判别：,因而, 函数 在 处取得极小值，极小值为 .,（4）利用第二充分条件。,所以， 在 处取得极小值, 极小值为 ;,【例7】 求函数 的极值.,解： 函数的定义域 为,令 ,得驻点 ,且在 内只有一个驻点,而无不可导点.,在 处取得极大值，且极大值为 .,从而，函数在 处取得极小值，极小值为0.,【例8】 求函数 的极值.,解：（1）函数的定义域 为 ;,（2）当 时, ; 当 时, 不存在.,（3）函数在 内无驻点, 只有一个不可导点 ;,（4）由于在 内, ,函数单调增加;,在 内, , 函数单调减少;,极大值为 .,又函数在 处连续, 于是函数在 处取得极大值,解 :,将这些点处的函数值,最大值为,最小值为,解：由题设可知 , 其中 为常量;,表面积,令 得唯一驻点,表面积最小，这时底直径与高的比为1:1.,由实际问题的意义和唯一性可知，当 和,列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,补充点:,极大值,拐点,极小值,