数分:一元函数微分学习题课ppt课件.ppt
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1、一元函数微分学习题课,第三章,一、导数与微分的基本概念,1导数定义:,2导数的几何意义:,为曲线 在点 的切线斜率。,在 处可导,且 。,与 都存在,,3. 在 处可导的充分必要条件:,二、极限、连续、可导与可微的关系,4. 在 处的可微定义:,三、求导法则,1四则运算求导法则,2反函数求导法则,(1),(2),(3),函数 在对应的 内也可导,且,或 。,设 在 区间内单调、可导且 ,则其反,3复合函数求导法则,4隐函数求导法则,求导过程中牢记 是 的函数 ,方程中含有 的,项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出 。,5参数方程求导,参数方程 确定可导函数 ,则,由方程 确定了 ,
2、方程两端对 求导,在,四、高阶导数定义及求导,若函数 的导函数 仍然是可导函数,则将 的,导函数叫做函数 的二阶导数。记作,依此类推,函数 的导函数叫做 的 阶导数。,记 。,五、典型例题,分析 计算分段函数分界点处的导数,要根据定义看是否有,解:,左导数和右导数,并且还要看左右导数是否相等。,【例1】设 ,问 是否存在?,【例2】设 ,求 及 。,解: 当 时,,解:因为 在 处可导,所以 在 处连续;,即,【例 4】已知 ,求 。,解: 当 时, ;,当 时, ;,当 时,,综上,,所以,【例5】设 ,求 。,解:,解:,【例6】设 ,求 。,解:,【例7】求星形线 在 处的导数 。,故,
3、解:方程两边对 求导得,将 代入,得,【例9】求函数 的微分。,解:,所以,分析 因为含有乘积与幂指函数,故应用对数求导法。,解:应用对数求导法。函数两边取对数得,所以,方程两边对 求导得,【例10】设 ,求 。,【例11】设 ,求 。,方程两边对 求导得,解:函数两边取对数得方程,所以,所以切点坐标为,则所求切线方程为,解:先求切点坐标. 将 代入曲线方程得,将 代入上式, 得,再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对 求导,得,【例13】 已知 , 设 存在且不为零, 求,解: 因为,所以,【14】 求 的 阶导数.,解:,微分中值定理,一、微分中值定理,1罗尔定理,2拉格朗日中值定理,3柯
4、西中值定理,在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一,使,在 上连续, 在 内可导, ,,则至少存在一 使,三、三个定理之间的内在联系,拉格朗日中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,二、判别 的方法,若,,则,四、典型例题,定理的三个条件。, 所以不能利用零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。,的左端函数, 其次 在题设的相应区间上满足罗尔,首先构造一个函数 使 ,其中 是欲证方程,零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。因此构造函数,范围内, 不能找到区间 ,使得 , 所以不能利用,由于要证明方程至少存在根,所以,要在 的范围内,的系数,不难发现,所以选取,,因此,对 应用罗尔定理即可证明。,证明 :令,
5、取区间,显然 在 连续,在 内可导,且,即,构造函数,因此,方程 至少有一个,正根。,证明存在一点 使,罗尔定理的条件,且从 中能得出 .,由于结论是两项和,故 为两个函数乘积的形式。将,分析 从结论 看等价于方程,有实根,但若利用零点定理,无法验证 ,所以,采用罗尔定理证明。,关键是找 , 使 在 上满足,换为 若令 则结论,为,证明: 令,且 , 故由罗尔定理知,使 即,由已知条件知 在 上连续, 在 内可导,,分析 将所证不等式变形为 , 可见,此题类型为利用拉格朗日中值定理证明不等式。,只要对 在 上应用拉格朗日中值定理即可.,即,故,或,得,显然有,可见,应对 与 在 上应用,柯西中
6、值定理的条件。由柯西中值定理可知,,柯西中值定理.,总结:利用中值定理证明相关命题,关键是根据题目的特点,寻找合适的定理及相应的辅助函数。步骤如下:,(1)构造辅助函数;(2)确定区间;(3)验证定理条件。,亦即,在 内至少存在一点 , 使,即,洛必达法则与泰勒公式,一、洛必达法则,1洛必达法则:, 函数 与 都趋向于0(或 );, 与 都存在,且 ;, 存在(或为无穷大).,那么,设在 的某一趋向下,函数 与 满足:,2适用类型:未定式,基本型: “ ”型“ ” 型,运用洛比达法则求.,1泰勒公式,拉格朗日型余项,佩亚诺型余项,2麦克劳林公式,拉格朗日型余项,佩亚诺型余项,泰勒公式,拉格朗日
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