多维随机变量及其分布ppt课件.ppt

绍兴文理学院,第三章 多维随机变量及其分布,3.1 多维随机变量及其联合分布3.2 边际分布与随机变量的独立性3.3 多维随机变量函数的分布3.4 多维随机变量的特征数3.5 条件分布与条件期望,绍兴文理学院,3.1 多维随机变量及其联合分布,一维随机变量XR1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标,3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是二维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).,绍兴文理学院,第三章知识框架图,作为整体：联合分布函数,离散型：联合分布列,连续型：联合密度函数,作为个体：边际分布函数,离散型：边际分布列,连续型：边际密度函数,相互关系,X,Y是否独立？,X,Y是否相关？,数字特征：协方差、相关系数，等,条件分布,二维随机变量(X,Y),绍兴文理学院,定义3.1.2,3.1.2 联合分布函数,F(x, y) = P( X x, Y y),为(X, Y) 的联合分布函数.,任对实数 x 和 y, 称二元函数,注意：,F(x, y)为随机点(X, Y)落在点(x, y)的左下区域内的概率.,绍兴文理学院,x,y,O,(x, y),绍兴文理学院,联合分布函数的基本性质,(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调不减.,(2) 0 F(x, y) 1，且,F(, y) = F(x, ) =0，,F(+, +) = 1.,(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续.,(4) 当ab, cd 时，有,F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.,注意：上式左边 = P(aXb, cY d).,(单调性),(有界性),(右连续性),(非负性),绍兴文理学院,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。,绍兴文理学院,例2 设二元函数,问G(x, y)能否作为某二维随机变量的联合分布函数？,绍兴文理学院,二维离散随机变量,3.1.3 联合分布列,若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对，则称(X, Y)为二维离散随机变量.,绍兴文理学院,二维离散分布的联合分布列,称,pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, .,为(X,Y) 的联合分布列，,其表格形式如下:,Y,X,y1 y2 yj ,x1x2xi,p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j ,绍兴文理学院,联合分布列的基本性质,(1) pij 0, i, j = 1, 2,(2) pij = 1.,(非负性),(正则性),绍兴文理学院,例4 从1，2，3，4中任取一个数记为X，再从1，,X中任选一个数记为Y.（1）求(X,Y)的联合分布列，（2）求P(X2,Y3),(3)求F(2.5,2).,绍兴文理学院,例5 一射手进行射击，每次击中目标的概率为p(0 p 1),射击直到击中目标两次为止。记X表示首次击中目标的射击次数，Y表示总共进行的射击次数。求X和Y的联合分布列。,练习： 设100件产品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品。从中任取5件，X,Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，试求(X, Y）的联合分布列.,绍兴文理学院,3.1.4 联合密度函数,则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。,称p(x, y) 为联合密度函数。,几何意义：F (x,y)表示以区域（-，x (-,y为底以f (x,y)为曲顶的空间立体的体积.,设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得,绍兴文理学院,联合密度函数的基本性质,(1) p(x, y) 0. (非负性),(2),(正则性),绍兴文理学院,绍兴文理学院,求：（1）(X,Y)的联合概率密度函数； （2）,例7 设(X,Y)的联合分布函数为,绍兴文理学院,一、多项分布,3.1.5 常用多维分布,若每次试验有r 种结果：A1, A2, , Ar,记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, , r,记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为：,例8 P150第1题.,绍兴文理学院,二、多维超几何分布,从中任取 n 只，,记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.,口袋中有 N 只球，分成 r 类 。,第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+Nr = N.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为：,绍兴文理学院,三、二维均匀分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：,则称 (X, Y) 服从 D 上的二维均匀分布，,记为 (X, Y) U (D) .,其中SD为D的面积.,例9 P148例3.1.6,绍兴文理学院,四、二维正态分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：,则称 (X, Y) 服从二维正态分布，,记为 (X, Y) N ( ) .,绍兴文理学院,绍兴文理学院,五、二维指数分布,作业：习题3.1第2、3、6、8、9、11、13、15题,绍兴文理学院,选作题 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴,y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,绍兴文理学院,3.2 边际分布与随机变量的独立性,问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，,如何求出 X 和 Y 各自的分布？,绍兴文理学院,3.2.1 边际分布函数,已知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，,则,Y FY (y) = F(+ , y).,X FX (x) = F(x, +),绍兴文理学院,例1 已知(X,Y)的联合分布函数为,求FX(x)与FY(y).,该分布称为二维指数分布.,此例说明什么问题？,绍兴文理学院,3.2.2 边际分布列,巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij，,则,X 的边际分布列为：,Y 的边际分布列为：,绍兴文理学院,X,Y,练习：P159第1题,绍兴文理学院,3.2.3 边际密度函数,巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，,则,X 的边际密度函数为 ：,Y 的边际密度函数为 ：,绍兴文理学院,例2 P147例3.2.3（X,Y )的联合概率密度为,（1) 求关于X,Y的边际概率密度；（2）求P(X+Y1).,绍兴文理学院,例3 P160第3题 设 (X, Y)服从区域 D=(x, y), x2+y2 1上的均匀分布，求X，Y 的边际密度函数.,-1,1,二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.,绍兴文理学院,注 意 点,绍兴文理学院,请同学们思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,绍兴文理学院,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,显然，(X,Y)不是二维正态分布，但是,绍兴文理学院,3.2.4 随机变量间的独立性,若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pi . p.j iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是相互独立的.,绍兴文理学院,性 质,任对实数a, b, c, d，有,(2) X 与Y 是相互独立的，则它们的函数g(X)与h(Y)也是相互独立的.,(1) X 与Y是独立的，其本质是：,绍兴文理学院,例4 设(X, Y) 的联合分布列为:,问：X与Y 是否独立？,看书中P157 例3.2.6,练习：P160第10题,绍兴文理学院,例5 已知 (X, Y) 的联合密度为,问 X 与Y 是否相互独立？,绍兴文理学院,注 意,(1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立.,(2) (X, Y) 服从其他区域上的均匀分布，则 X与Y 不独立.,(3) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( ) 则 X与Y 独立的充要条件是 = 0.,绍兴文理学院,作业：习题3.2 第4、5、12、13题,绍兴文理学院,3.3 多维随机变量函数的分布,问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，,如何求出 Z=g (X, Y)的分布？,绍兴文理学院,3.3.1 多维离散随机变量函数的分布,(2) 多维离散随机变量函数的分布列容易求得：,i) 对(X1, X2, , Xn)的各种可能取值对， 写出 Z 相应的取值.,ii) 对Z的相同取值，合并其对应的概率.,(1) 设(X1, X2, , Xn)是n维离散随机变量，则Z= g(X1, , Xn)是一维离散随机变量.,绍兴文理学院,求ZXY的分布列;(2)求WXY的分布列;(3) 求Mmax(X, Y)的分布列；(4) 求Nmin(X, Y)的分布列.,例1 设(X,Y)的联合分布列为,绍兴文理学院,离散场合的卷积公式,设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+ Y 的分布列为,绍兴文理学院,例2 （泊松分布的可加性） 设XP(1),YP(2),且X与Y相互独立，求证：Z=X+YP(1 + 2).,注意： X Y 不服从泊松分布.,绍兴文理学院,二项分布的可加性,若 X b(n, p)，Y b(m, p)，,注意：若 Xi b(1, p)，i=1,2,n且相互独立，则Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).,且独立，,则 Z = X+ Y b(n+m, p).,绍兴文理学院,3.3.2 最大值与最小值的分布,例3 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 -1 和1. （1）求 Z = max(X, Y) 的分布列.（2）求P(XY=1)=？（3）求P(X+Y=0)=?,绍兴文理学院,连续情况,设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函数均为F(x). 若记,绍兴文理学院,例4 见P173第3题 设一设备有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间均服从参数为的指数分布。当3个元件都正常工作时，设备才正常工作。求设备正常工作时间T的概率分布。,自学 P166例3.3.6,练习: 习题3.3 第5题设P(X0,Y 0)=3/7,P(X 0)=P(Y 0)=4/7,求P(max(X,Y) 0).,绍兴文理学院,3.3.3 连续场合的卷积公式,定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为,绍兴文理学院,正态分布的可加性,例5 设X与Y 是独立同分布的标准正态变量， 求 Z = X+ Y 的分布.,绍兴文理学院,独立正态变量的线性组合仍为正态变量,若Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则,绍兴文理学院,例6 见P172第9题 设 X 与 Y 相互独立，试求 Z = X+Y 的密度函数. （1） XU(0, 1), YU(0, 1).（2）XU(0, 1), YExp(1).,总结：哪些分布具有可加性？重要结论：N个独立同分布的标准正态分布之和，服从自由度为n的卡方分布。,绍兴文理学院,3.3.4 变量变换法,已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函数,求 (U, V) 的联合分布.,绍兴文理学院,变量变换法的具体步骤,有连续偏导、存在反函数,则 (U, V) 的联合密度为,若,其中J为变换的雅可比行列式,绍兴文理学院,例7 习题3.3第16题 设X,Y独立且均服从参数为1的指数分布，(1)求U=X+Y,V=X/(X+Y)的联合密度函数；(2)问U,V相互独立吗？,看书中 P170例3.3.10,延伸思考题： P173例17题,绍兴文理学院,增补变量法,可增补一个变量V = h(X, Y) ，,若要求 U = g (X, Y) 的密度 pU(u) ，,先用变量变换法求出 (U, V)的联合密度pUV(u, v)，,用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式,然后再由联合密度pUV(u, v)，去求出边际密度pU(u),绍兴文理学院,分布函数法,例9 设X,Y相互独立，且均服从N(0,1),求证：Z=(X2+Y2)1/2服从参数为1的瑞利分布.,作业：习题3.3第7、9、19题,综合思考题： 用两种方法解答习题3.3第14题设矩形的边长X,Y相互独立，且分别服从(0,2),(0,1)区间上的均匀分布，求矩形面积Z的密度函数.,绍兴文理学院,3.4.1 多维随机变量函数的数学期望,定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则,E(Z) = Eg(X, Y) =,3.4 多维随机变量的特征数,绍兴文理学院,例1 在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y， 求两点间的平均长度.,特别地,例2 设X1,X2独立同分布，且均服从Exp()，用两种方法求Y=max(X1,X2)的数学期望.,绍兴文理学院,例3 P190第15题 设X1,X2,Xn相互独立，且均服从U(0,)，(1)求Y=max(X1,Xn)的数学期望;(2)求Z=min(X1,Xn)的数学期望.,思考：P190第6题（离散型）,绍兴文理学院,3.4.2 数学期望与方差的运算性质,1. E(X+Y)=E(X)+E(Y),2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y),3. 当X与Y独立时， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y),4. 当X与Y独立时, 有Var(aX +bY) = a2Var(X)+ b2Var (Y),若X1, X2, , Xn相互独立，则,绍兴文理学院,技巧总结：将复杂的随机变量X分解成若干个随机变量之和，再求E(X).,例4 P191第25题 在一个有n个人参加的晚会上，每人带来一件礼物，且假定各不相同.晚会期间各从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼品的人数X的期望.,自主学习：书中P177例3.4.4； 推导二项分布的期望和方差,绍兴文理学院,1. 设随机变量XU(0,6),YN(1,4),且X,Y独立, 则E(X-2Y+3)=? Var(X-2Y+3)=?,练习题,2. 设X, Y, Z相互独立，且E(X)=4, E(Y)=1, E(Z)=-0.5, 则E(2X-3Y)(4Z+1)=?,作业习题3.4 第2、11、12题,绍兴文理学院,3.4.3 协方差,定义3.4.1 称 Cov(X, Y) =E(XE(X)(YE(Y),为 X 与 Y 的协方差.,简化公式：Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,Cov(X,Y)=0,称X与Y不相关.,绍兴文理学院,(1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X) (2) Cov(X, X)=Var(X); Cov(X, a)=0 (3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为 常数 (4) Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z),协方差的性质,绍兴文理学院,(5)Cov(aX+bY, cX+dY)=acVar(X)+ (ad+bc)Cov(X, Y)+bdVar(Y),若X, Y独立，则Cov(X, Y)=0,即X,Y不相关.,一般情况下，,此时有,绍兴文理学院,例5 设随机变量Xb(12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差.,例6 P191第27题 设(X,Y)的联合密度如下，求协方差.,自学书中P180例3.4.8,绍兴文理学院,配对模型的数学期望和方差,n 个人、n 件礼物，任意取. X 为拿对自己礼物的人数，求 E(X), Var(X) .,绍兴文理学院,3.4.4 相关系数,定义3.4.2 称 Corr(X, Y) =,为 X 与 Y 的相关系数.,绍兴文理学院,若记,注 意 点,则,绍兴文理学院,相关系数的性质,(2) 1 Corr(X, Y) 1.,(3) Corr(X, Y) = 1,X 与 Y 几乎处处有线性关系.,即存在a0,b使得P(Y=aX+b)=1.,(1) 施瓦茨不等式, Cov(X, Y) 2 Var(X)Var(Y).,绍兴文理学院,注 意 点,Corr(X, Y) 接近于1， X 与 Y 间 正相关.,Corr(X, Y) 接近于 1， X 与 Y 间 负相关.,Corr(X, Y) 接近于 0， X 与 Y 间 不相关.,没有线性关系,Corr(X, Y) 的大小反映了X与Y之间的线性关系：,绍兴文理学院,例7 设 (X, Y) 的联合分布列为,（1）求 X, Y 的相关系数.（2）判断X,Y的独立性与相关性.,此例说明什么问题？,绍兴文理学院,例8 设（X,Y）服从单位圆内的均匀分布，问X与Y是否独立? 是否相关？,例9 见P192第31题,此例说明什么问题？,绍兴文理学院,(1) 不相关与相互独立的关系,注意,相互独立,(2) 不相关的充要条件,绍兴文理学院,二维正态分布的特征数,(1) X N( 1, 12), Y N( 2, 22);,(3) X, Y 独立 = 0 X, Y不相关,(2) 参数 恰 为 X 和 Y 的相关系数(例3.4.9);,设,则,例9（续） P192第31题，求证：当a=b时，Y,Z相互独立.,绍兴文理学院,作业习题3.4 第32、35、41,练习 设随机变量(X,Y)N(-1,2,4,9,0), 则2X-3Y服从什么分布？,绍兴文理学院,1. 问题的提出,自主学习：相关系数的意义,绍兴文理学院,解得,绍兴文理学院,2. 相关系数的意义,代入得,绍兴文理学院,3.5 条件分布与条件期望,对二维随机变量(X, Y), 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; 在给定X取某个值的条件下, Y的分布.,绍兴文理学院,一. 离散情形 条件分布列为：,3.5.1 条件分布,绍兴文理学院,看 P194例3.5.1,绍兴文理学院,看 P195例3.5.2,例2 某时间段内进入商店的人数XP() ,每个顾客购买某种物品的概率为p,并且各个顾客是否购买该物品相互独立.求进入商店的顾客中购买该物品的人数Y的分布列.,绍兴文理学院,二. 连续情形 条件密度函数为：,绍兴文理学院,例3 P198例3.5.5,设（X,Y）服从单位圆上的均匀分布，试求给定Y=y 条件下的条件密度函数p(x|y).,绍兴文理学院,例4 P206第7题,设（X,Y）的联合密度函数为,求条件概率P(Y0.75|X=0.5).,绍兴文理学院,补充内容1： 协方差矩阵,绍兴文理学院,协方差矩阵的应用,协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究.,绍兴文理学院,举例,绍兴文理学院,补充内容2：n 维正态变量的性质,绍兴文理学院,线性变换不变性,绍兴文理学院,三. 连续场合的全概率公式与贝叶斯公式,绍兴文理学院,说明,联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下,联合分布,例5,绍兴文理学院,四. 条件期望,绍兴文理学院,例6 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为,在0y1时，求E(X|Y=y).,绍兴文理学院,五. 重期望公式,在E(X)不便于直接求的时候，有,例7 设可以供应的电力XU(10,30),实际需要的电力YU(10,20),利润为,求平均利润E(Z).,将此例题与P83例2.2.7 行比较.,绍兴文理学院,作 业习题3.5 第3、6、8、12题,