多维随机变量及其分布ppt课件.ppt
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1、绍兴文理学院,第三章 多维随机变量及其分布,3.1 多维随机变量及其联合分布3.2 边际分布与随机变量的独立性3.3 多维随机变量函数的分布3.4 多维随机变量的特征数3.5 条件分布与条件期望,绍兴文理学院,3.1 多维随机变量及其联合分布,一维随机变量XR1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标,3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量,则称(X, Y) 是二维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).,绍兴文理学院,第三章知识框架图,作为整体:联合分布函数,离
2、散型:联合分布列,连续型:联合密度函数,作为个体:边际分布函数,离散型:边际分布列,连续型:边际密度函数,相互关系,X,Y是否独立?,X,Y是否相关?,数字特征:协方差、相关系数,等,条件分布,二维随机变量(X,Y),绍兴文理学院,定义3.1.2,3.1.2 联合分布函数,F(x, y) = P( X x, Y y),为(X, Y) 的联合分布函数.,任对实数 x 和 y, 称二元函数,注意:,F(x, y)为随机点(X, Y)落在点(x, y)的左下区域内的概率.,绍兴文理学院,x,y,O,(x, y),绍兴文理学院,联合分布函数的基本性质,(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调
3、不减.,(2) 0 F(x, y) 1,且,F(, y) = F(x, ) =0,,F(+, +) = 1.,(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续.,(4) 当ab, cd 时,有,F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.,注意:上式左边 = P(aXb, cY d).,(单调性),(有界性),(右连续性),(非负性),绍兴文理学院,反之,任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。,绍兴文理学院,例2 设二元函数,问G(x, y)能否作为某二维随机变量的联合分布函数?,绍兴文理学院,二维离散随机
4、变量,3.1.3 联合分布列,若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对,则称(X, Y)为二维离散随机变量.,绍兴文理学院,二维离散分布的联合分布列,称,pij = P(X=xi, Y=yj), i, j=1, 2, .,为(X,Y) 的联合分布列,,其表格形式如下:,Y,X,y1 y2 yj ,x1x2xi,p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j ,绍兴文理学院,联合分布列的基本性质,(1) pij 0, i, j = 1, 2,(2) pij = 1.,(非负性),(正则性),绍兴文理学院,例4 从1,2,3,4中任取一个数记为X,再从1,,X中任选一
5、个数记为Y.(1)求(X,Y)的联合分布列,(2)求P(X2,Y3),(3)求F(2.5,2).,绍兴文理学院,例5 一射手进行射击,每次击中目标的概率为p(0 p 1),射击直到击中目标两次为止。记X表示首次击中目标的射击次数,Y表示总共进行的射击次数。求X和Y的联合分布列。,练习: 设100件产品中有50件一等品,30件二等品,20件三等品。从中任取5件,X,Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数,试求(X, Y)的联合分布列.,绍兴文理学院,3.1.4 联合密度函数,则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。,称p(x, y) 为联合密度函数。,几何意义:F (x,y)表示以区域(-
6、,x (-,y为底以f (x,y)为曲顶的空间立体的体积.,设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y),若存在非负可积函数 p(x, y),使得,绍兴文理学院,联合密度函数的基本性质,(1) p(x, y) 0. (非负性),(2),(正则性),绍兴文理学院,绍兴文理学院,求:(1)(X,Y)的联合概率密度函数; (2),例7 设(X,Y)的联合分布函数为,绍兴文理学院,一、多项分布,3.1.5 常用多维分布,若每次试验有r 种结果:A1, A2, , Ar,记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, , r,记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.,则 (X
7、1, X2, , Xr)的联合分布列为:,例8 P150第1题.,绍兴文理学院,二、多维超几何分布,从中任取 n 只,,记 Xi 为取出的n 只球中,第i 种球的只数.,口袋中有 N 只球,分成 r 类 。,第 i 种球有 Ni 只, N1+N2+Nr = N.,则 (X1, X2, , Xr)的联合分布列为:,绍兴文理学院,三、二维均匀分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为:,则称 (X, Y) 服从 D 上的二维均匀分布,,记为 (X, Y) U (D) .,其中SD为D的面积.,例9 P148例3.1.6,绍兴文理学院,四、二维正态分布,若二维连续随机变量 (X, Y) 的
8、联合密度为:,则称 (X, Y) 服从二维正态分布,,记为 (X, Y) N ( ) .,绍兴文理学院,绍兴文理学院,五、二维指数分布,作业:习题3.1第2、3、6、8、9、11、13、15题,绍兴文理学院,选作题 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴,y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,绍兴文理学院,3.2 边际分布与随机变量的独立性,问题:已知二维随机变量 (X, Y) 的分布,,如何求出 X 和 Y 各自的分布?,绍兴文理学院,3.2.1 边际分布函数,已知 (X, Y) 的联合分布函数为 F
9、(x, y),,则,Y FY (y) = F(+ , y).,X FX (x) = F(x, +),绍兴文理学院,例1 已知(X,Y)的联合分布函数为,求FX(x)与FY(y).,该分布称为二维指数分布.,此例说明什么问题?,绍兴文理学院,3.2.2 边际分布列,巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij,,则,X 的边际分布列为:,Y 的边际分布列为:,绍兴文理学院,X,Y,练习:P159第1题,绍兴文理学院,3.2.3 边际密度函数,巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y),,则,X 的边际密度函数为 :,Y 的边际密度函数为 :,绍兴文理学院,例2 P147例3.2.3(X,
10、Y )的联合概率密度为,(1) 求关于X,Y的边际概率密度;(2)求P(X+Y1).,绍兴文理学院,例3 P160第3题 设 (X, Y)服从区域 D=(x, y), x2+y2 1上的均匀分布,求X,Y 的边际密度函数.,-1,1,二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.,绍兴文理学院,注 意 点,绍兴文理学院,请同学们思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,绍兴文理学院,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,显然,(X,Y)不是二维正态分布,但是,绍兴文理学院,3.2.4 随机变量间的独立
11、性,若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pi . p.j iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是相互独立的.,绍兴文理学院,性 质,任对实数a, b, c, d,有,(2) X 与Y 是相互独立的,则它们的函数g(X)与h(Y)也是相互独立的.,(1) X 与Y是独立的,其本质是:,绍兴文理学院,例4 设(X, Y) 的联合分布列为:,问:X与Y 是否独立?,看书中P157 例3.2.6,练习:P160第10题,绍兴文理学院,例5 已知 (X, Y) 的联合密度为,问 X 与Y 是否相互独立?,绍兴文理学院,注
12、意,(1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布,则X与Y 独立.,(2) (X, Y) 服从其他区域上的均匀分布,则 X与Y 不独立.,(3) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( ) 则 X与Y 独立的充要条件是 = 0.,绍兴文理学院,作业:习题3.2 第4、5、12、13题,绍兴文理学院,3.3 多维随机变量函数的分布,问题:已知二维随机变量 (X, Y) 的分布,,如何求出 Z=g (X, Y)的分布?,绍兴文理学院,3.3.1 多维离散随机变量函数的分布,(2) 多维离散随机变量函数的分布列容易求得:,i) 对(X1, X2, , Xn)的各种可能取值对, 写出 Z 相应的取值.,
13、ii) 对Z的相同取值,合并其对应的概率.,(1) 设(X1, X2, , Xn)是n维离散随机变量,则Z= g(X1, , Xn)是一维离散随机变量.,绍兴文理学院,求ZXY的分布列;(2)求WXY的分布列;(3) 求Mmax(X, Y)的分布列;(4) 求Nmin(X, Y)的分布列.,例1 设(X,Y)的联合分布列为,绍兴文理学院,离散场合的卷积公式,设离散随机变量 X 与 Y 独立,则 Z=X+ Y 的分布列为,绍兴文理学院,例2 (泊松分布的可加性) 设XP(1),YP(2),且X与Y相互独立,求证:Z=X+YP(1 + 2).,注意: X Y 不服从泊松分布.,绍兴文理学院,二项分
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