高等数学上泰勒公式课件.ppt
1,二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,5.3 泰勒 ( Taylor )公式,1二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立三、泰勒,2,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x 的一次多项式,2特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式,3,1. 求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,31. 求 n 次近似多项式要求:故令则,4,2. 余项估计,令,(称为余项) ,则有,42. 余项估计令(称为余项) ,则有,5,5,6,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,6公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .公式,7,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,* 可以证明:, 式成立,7公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项,8,特例:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,8特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为(2) 当,9,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,9称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .则有在泰勒公,10,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,10二、几个初等函数的麦克劳林公式其中,11,其中,11其中,12,类似可得,其中,12类似可得其中,13,其中,13其中,14,已知,其中,类似可得,14已知其中类似可得,15,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0 , x 的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;,2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;,3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.,15三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用 误差M 为在,16,已知,例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,16已知例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过解,17,说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后 6 位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .,17说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入,18,例2. 用近似公式,计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时, 由给定的近似公式计算的结果,能准确到 0.005 .,18例2. 用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到,19,2. 利用泰勒公式求极限,例3. 求,解:,由于,用洛必塔法则不方便 !,192. 利用泰勒公式求极限例3. 求解:由于用洛必塔法则不,20,3. 利用泰勒公式证明不等式,例4. 证明,证:,203. 利用泰勒公式证明不等式例4. 证明证:,21,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,21内容小结1. 泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式 .,22,2. 常用函数的麦克劳林公式,3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(2) 利用多项式逼近函数 ,222. 常用函数的麦克劳林公式3. 泰勒公式的应用(1),23,泰勒多项式逼近,2342246420246泰勒多项式逼近,24,泰勒多项式逼近,2442246420246泰勒多项式逼近,25,思考与练习,计算,解:,原式,25思考与练习 计算解:原式,26,由题设对,证:,备用题 1.,有,且,26由题设对证:备用题 1.有且,27,下式减上式 , 得,令,27下式减上式 , 得令,28,两边同乘 n !,= 整数 +,假设 e 为有理数,( p , q 为正整数) ,则当 时,等式左边为整数;,矛盾 !,2. 证明 e 为无理数 .,证:,故 e 为无理数 .,等式右边不可能为整数.,28两边同乘 n != 整数 +假设 e 为有理数( p ,
