一阶电路和二阶电路的时域分析汇总课件.ppt

第七章 一阶电路和二阶电路 的时域分析,零输入响应、零状态响应、全响应,重点掌握:,稳态分量、暂态分量,7-1 动态电路的方程及其初始条件,一.动态电路,1.定义：由电容或电感等动态元件构成的电路称为动态电路。,2.描述方程：当电路含有电感L或电容C时，电路方程是以电流或电压为变量的微分方程。,3.一阶电路：由一个动态元件和电阻构成的电路称一阶电路。,二.电路的过渡过程,1.过渡过程：电路由一个工作状态转变到另一个工作状态需要经历的一个过程，这个过程称为过渡过程。,（1）S未动作前（一个工作状态）：,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,（2）S接通电源后很长时间（另一个工作状态）：,2.稳态：电路的结构或元件的参数不再发生变化，经过一段时间后的工作状态称为稳态。,例如一个工作状态到另一个工作状态中的过渡过程：,三.过渡过程产生的原因,1.电路内部含有储能元件：电感L 、电容 C,能量的储存和释放都需要一定的时间来完成,2.电路结构发生变化,四.稳态分析和动态分析的区别,稳态 动态,换路发生很长时间,换路刚发生,iL 、 uC随时间变化,代数方程组描述电路,微分方程组描述电路,iL、uC随时间不变,1.换路:电路结构或参数的改变引起电路的变化称为换路。,通常认为换路在 t=0时刻进行；换路前瞬间称t=0-；换路后瞬间称t=0+;换路所经过时间为0到0。,五.电路的初始条件,微分方程初始条件为 t = 0+时u ，i及其各阶导数的值,2.电路的初始条件：,定义：电路换路后瞬间（t=0+)时电路元件的参数初值独立初始条件：uc(0+), iL(0+)非独立初始条件:iC(0+), uL(0）,uR等,靠换路定则求得,要记住了!,靠KCL、KVL求得,3.换路定则的推导,令t0=0-,t=0+,得：,当i()为有限值时,uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-),结论:换路瞬间，若电容电流保持为有限值时，则电容电压 （电荷）换路前后保持不变。,0,电荷守恒,（1）对于线性电容：,当u为有限值时:,iL(0+)= iL(0-) L (0+)= L (0-),结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值时，则电感电流 （磁链）换路前后保持不变。,令t0=0-,t=0+,则得：,0,（2）对于线性电感：,磁通链守恒,六.初始条件的确定,2.非独立初始条件求解:,利用独立初始条件在0+等效电路以及根据KCL、KVL的关系进行求解.,3.画0+等效电路:,把t=0+时电容电压和电感电流的初值分别用电压源、电流源替代，方向同原假定的电容电压、电感电流相同。由此获得的计算电路称为t0时的等效电路；电压源的等效值为uc(0+)；电流源的等效值为iL(0+)。,1.独立初始条件根据换路定则:uc(0+)=uc(0-)，iL(0+)=iL(0-),4.由0+电路求所需各变量的0+值。,(2) 由换路定律,uC (0+) = uC (0-)=8V,(1) 由0-电路求 uC(0-),uC(0-)=8V,(3) 由0+等效电路求 iC(0+),解：,iL(0+)= iL(0-) =2A,t = 0时闭合开关S , 求 uL(0+),0+等效电路,求初始值的步骤,1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。,2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,解：,iL(0+) = iL(0-) = IS,uC(0+) = uC(0-) = RIS,uL(0+)= - RIS,求 iC(0+) , uL(0+),0+等效电路,解：,7-2 一阶电路的零输入响应,2.零输入响应：动态电路没有外施电源激励，仅由动态元件的初始储能引起的电路响应。,1.一阶电路：仅含有一个动态元件且由一阶微分方程描述 的电路，称为一阶电路。,二. RC电路零输入响应,已知 uC (0-)=U0,一.一阶电路的零输入响应,uC = uR= Ri,解:,求 uC（t）和 i（t）.,特征根,则,由换路定则:,通解:,uC (0+)=uC(0-)=U0,续解,（t0）,若令: =RC, ( 称为一阶RC电路的时间常数),得:A=uc(0+)=U0,将初始值代入:,续解,所求uc和i为:,则RC一阶电路的响应可写为:,(t0+),1.时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。,当电压初值一定：,R 大（C不变） i=u/R 放电电流小,C 大（R不变） W=0.5Cu2 储能大,的单位,讨论：,工程上认为 , 经过 3 5 , 过渡过程结束。,1 ：电容电压衰减到初始电压36.8%所需的时间。,2.能量关系：,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收能量：,即：WCWR,三. RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根 p =,由初始值 i(0+)= I0 确定积分常数A,A= i(0+)= I0,i (0+) = i (0-) =,求电感电压uL（t）和电流i（t）,解:,令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数,i(0)一定： L大 起始能量大 R小 放电过程消耗能量小,小结：,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的响应,它们都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2. 体现了一阶电路的固有特性，衰减快慢取决于时间常 数。RC电路 = RC , RL电路 = L/R。,3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,iL (0+) = iL(0-) = 1 A,分析:,表明:猛的切断电感电流时，必须考虑磁场能量的释放，如能量较大，会出现电弧。,（t0）,零状态响应：电路在储能元件零初始条件下由外施激励引起的电路响应。,列方程：,7-3 一阶电路的零状态响应,一阶常系数非齐次线性微分方程,解答形式为：,对应的齐次方程的通解,对应非齐次方程的特解,一. RC电路的零状态响应,与输入激励的变化规律有关。当某些激励的强制分量为电路的稳态解时，强制分量又称为稳态分量。,变化规律由电路参数和结构决定,全解:,uC (0+)=A+US= 0, A= - US,由初始条件 uC (0+)=0 确定积分常数 A,齐次方程 的解,：特解（强制分量）,= US,：通解（自由分量，暂态分量）,能量关系,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中，也就是说，充电效率为50%。,电容储存电能：,电源提供能量：,电阻消耗电能:,二. RL电路的零状态响应,解,（t0）,一.一阶电路的全响应及其两种分解方式,解答为: uC = uC + uC,非齐次微分方程,通解:, = RC,其中,全解：,uC (0+)=A+US= uC (0-)= U0, A=U0 - US,由初始值来确定A:,引例：如下图所示一阶电路，假设uC (0-)=U0，求解开关闭合后电容电压。,解：,所以:,暂态解,稳态解,全解,uC,uC,US,uc,全响应：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产生的响应，称为全响应。,全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),两种分解方式,由上页推导可知：,uC(t)又可表示为：,2）全响应 = 零状态响应零输入响应,+,用电路图表示：,二.三要素法分析一阶电路,以一阶RC电路全响应说明:,上式可写成:,在直流激励下，电路的任意一个全响应可用f(t)表示，则:,结论:,根据三要素，可直接写出一阶电路在直流激励下的全响应，这种方法称为三要素法。,一般步骤:,1.利用换路定则以及KCL、KVL求出f（0+）;2.在换路后的稳态电路中求出稳态分量f（）;3.计算RC或RL串联电路的时间常数 。,已知：t=0时合开关S 求 ：换路后的uC(t) 。,解:,三.复杂一阶电路求解,1.利用戴维南定理或诺顿定理求出有源一端口等效电路（即Ri、Uoc）;2.串接上电感L或电容C，在等效的简单一阶电路中求解 储能元件上的电流或电压；3.若还需求其他元件的电压、电流，则需在等效变换前的原电路中进行求解。,解题思路,当电路中含有一个储能元件电感L（或电容C），而其他部分可构成有源一端口网络。利用三要素法求解一阶电路全响应的时间常数时，须在求之前进行电路等效变换。,解：,（1）先移去电感支路，对a、b一端口求戴维南等效电路;,开路电压Uoc:,等效电阻Req:,Req=R=2 ,b,（2）画出等效电路求出三要素;,（3）用三要素法求解iL;,（4）由原电路图求出i。,先移去电容，求一端口a、b的戴维南等效电路.,解:,（1）求ab一端口的戴维南等效电路,1).求开路电压uoc:,2）求等效电阻Req：（先求出短路电流iSc）,（2）画出等效电路利用三要素法求解uC(t):,电容电压uC(t):,7-7 一阶电路的阶跃响应,一.单位阶跃函数:,1. 定义,2. 单位阶跃函数的延迟,任一时刻 t0 起始的阶跃函数:,3. 由单位阶跃函数组成复杂的信号,4. 由单位阶跃函数来起始任意函数,设：f(t)是对所有t都有定义的一个任意函数，它的波形如左图所示。,如果需要让f(t)在t0以后才起作用，可利用单位阶跃函数来“起始”它，即：,所对应的波形如右图所示。,二.电路的阶跃响应:,1.定义:电路对于阶跃输入的零状态响应称为阶跃响应。,以单位阶跃响应为例,2.电路的全响应:,全响应=零输入响应+电路的阶跃响应,解:,（方法一）,把电路看成先充电，后放电的过程。,所以：,续解,（方法二）,续解,续解,（1）,（3）,分段表示为：（方法一解得的结果）,续解,例2,已知：电感无初始储能 t = 0 时合S1 ， t =0.2s时合S2 。求两次换路后的电感电流i(t)。,解： 0 t 0.2s,t 0.2s,7-5 二阶电路的零输入响应,一.二阶电路,1.定义:用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。,2.最简单的二阶电路：RLC串联电路，GLC并联电路。,3.二阶电路中,给定的初始值应有两个,且由储能元件的初始值决定。,二.RLC电路的分析,求 uC(t) , i(t) 。,解：,又:,则:,RLC电路的分析,提出问题,特征根为,分,根的性质不同，响应的变化规律也不同,R=0 共轭虚根,电容电压响应uC:,电流响应 i:,R,L,C,+,-,i,uc,uL,+,-,初始条件：,（1）,U0,整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。,此时电路为非振荡放电，又称为过阻尼状态。,设: t = tm 时i 最大。,即,（2）,i,tm,电感在ttm时，吸收能量，建立磁场；,当ttm时,电感释放能量，磁场逐渐衰减，趋向消失。,能量转换关系,非振荡放电过程、过阻尼:,0 t tm uc减小，i 增加,t tm uc减小， i 减小,1 , p2为相等的负实根,非振荡放电过程,（二）,临界阻尼状态,衰减因子,响应曲线:,特征根为一对共轭复根,（三）,得电流取得最大值的时间,振荡放电过程,欠阻尼状态,0 之间，,振荡角频率,衰减因子,初相位,-,2-,2,uC,U0,0,i,+,能量转换关系,uC 减小，i 增大,uC 减小，i 减小,|uC |增大，i 减小, t,-2 之间，电路中的能量转换关系又是什么样的？,（四）R0时，特征根为共轭虚根,等幅振荡过程，无阻尼状态,例1:,已知Us=10v，C=1F，R=4K，L=1H，在t=0时，开关S由1接至触点2处，求:(1)uC，uR和uL；(2)imax。,解：,1)判断特征方程根:,代入数据:,2).,电容电压:,电路电流:,电阻电压:,电感电压:,3). 求电流imax的值:,设电流最大值发生在tm时刻,即:,例2：在受控热核研究中，需要强大的脉冲磁场，它是靠强大的脉冲电流产生的。这种强大的脉冲电流可以由RLC放电电路产生。,解:,根据已知参数有:,振荡放电过程,若已知uC(0-)=15kv，C=1700F，R=610-4，L=610-9H。试问: (1) i(t)为多少？(2) i(t)在何时达到最大值?求出imax。,由公式:,最大放电电流可达6.36106A.,小结：,定积分常数,由,本节讨论的具体结果只适用于本例，不能套用到其它电路，而得出的规律具有一般性。但分析方法可推广应用于一般二阶电路。,分析二阶电路的步骤： （1）列写二阶微分方程。RLC串联电路以uC为变量，GLC并联电路以iL为变量。 （2）求解对应的特征根。根据特征根的三种不同情况，对应写出未知变量的通解形式。 （3）用给定的两个初始值来确定待定系数A1、A2或（K、）。不同的电路具有不同的初始值。 （4）把求出的待定系数代入到通解中，即为所求结果。若求其它变量（电流、电压），一般根据元件的的约束关系列写方程求解得到。如i=CduC/dt等。 （5）注意整个求解过程并未涉及如何求解二阶方程。,7-6 二阶电路的零状态响应和全响应,零状态响应：二阶电路的初始储能为零(即电容两端的电压和 电感中的电流都为零)，仅有外施激励引起的响 应称为零状态响应。,一.二阶电路的零状态响应:,以RLC电路为例:,以uC为未知量,则:,列写KVL列方程,有:,特解为:,*此方程为二阶常系数非齐次微分方程。方程的解由非齐次方程的特解和对应的齐次方程的通解构成。,齐次方程的特征方程为:,其特征根为:,分,1.二阶电路的零状态响应仍有非振荡，振荡，临界三种状态。,2.全解由特解和对应的齐次方程的通解组成，即稳态解为特解， 而通解与零输入响应形式相同。,3.根据初始条件确定积分常数，写出全解。,解:,以UC为电路未知量,则:,则,其特解为:,齐次的特征方程为:,其特征根为:,得,*两个根为共轭复数,属于振荡放电过程.,设:,当t=0+时,由初始条件得:,得:,则,二.二阶电路的全响应：,1.全响应:二阶电路具有初始储能，又接入外施激励， 则电路的响应称为二阶电路的全响应。,2.求解全响应的一般方法:,（1）全响应=零输入响应+零状态响应,（2）通过求解二阶电路非齐次方程的方法可求得全响应。,3.以GLC并联电路为例:,4.求解过程与前相同，只是在根据换路定则求初始条件时 uC(0-)，iL(0-)不再为0。,当L、C元件初始储能不为0时，求得的响应则为全响应。,(一) 全响应,(二)全响应的分析,已知：iL(0)=2A，uC(0)=0，R=50，L=0.5H，C=100F。,求：iL(t) 。,解 (1) 列微分方程,(2)求通解(自由分量）,特征根 p= -100 j100,(3)求特解（强制分量，稳态解）,(4)求全解,(4)由初值定积分常数,iL(0+)=2A , uC(0+)=0 （已知）,iL,1. 一阶电路是单调的响应，用时间常数表示过渡过程的时间。,小结,2. 二阶电路用三个参数 ， 和 0来表示动态响应。,5.线性电路古典法解二阶过渡过程包括以下几步： (1)换路后(0+)电路列写微分方程 (2)求特征根，由根的性质写出自由分量（积分常数待定） (3)求强制分量（稳态分量） (4)全解=自由分量+强制分量 (5)将初值f(0+)和f （0+)代入全解，定积分常数求响应 (6)讨论物理过程，画出波形,3.电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结构 和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。,4.特征方程次数的确定：等于换路后的电路经过尽可能简化而 具有的独立初始值的数目。,