电子讲稿-复变函数.ppt
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1、1,数学物理方法,主讲教师:袁长迎、6089972E-mail:,辐射防护与环境工程07年级,2,课程性质,在高等数学和普通物理的基础上,学习物理中的常用数学方法,掌握复变函数、数学物理方程和特殊函数的基本理论、建模方法和计算方法,培养学生严谨的逻辑和推演等理性思维能力,并能将数学结果联系物理实际,加深对物理理论的理解,为学习量子力学、原子核物理学等后继课程打下良好的基础。,3,复变函数论数学物理方程(特殊函数),数学物理方法,4,5,教材数学物理方法(第三版)梁昆淼编,高教出版社。参考书数学物理方法,汪德新,华中科技大学出版社数学物理方法,郭敦仁编,高教出版社高等数学(第四册)。四川大学。高
2、等教育出版社,6,第一篇 复变函数论,数的概念的扩展,自然数 减法不封闭 整数 除法不封闭 有理数 正数的指数运算不封闭 实数 负数的指数运算不封闭 复数,7,第一章 复变函数,复数复变函数导数解析函数本章小结,8,1复数和复数的代数式,2复平面 实轴和虚轴,1.1 复数,9,3复数的三角式 指数式,(主辐角),4无穷远点,模为无穷大,辐角没有定义。零点,辐角没有定义。,(模),(辐角),10,5复数的运算,加减,乘除,幂和开方,复共轭,11,作业:1.1习题1(6)(7)(8)2(6)(7)3(4)(8),例 已知一复数Z,画出,并指出它们的几何关系。,12,1.2 复变函数,1复变函数的定
3、义,函数:从一个数域(定义域)到另一个数域(值域)的映射 实变函数:y=f(x)复变函数:w=f(z),2复变函数的定义域,13,3初等复变函数,指数函数,三角函数和双曲函数,14,幂函数,对数函数,例:,15,任意次幂函数,根式函数,例:,单值分支,16,O,O,O,O,枝点,17,多值函数的单值化处理 黎曼面,18,作业 1.2习题2(2)(3)(8)3,19,1.3 复变函数的导数,一、复变函数的导数的定义,科希黎曼方程,二、求导法则和导数基本公式,三、复变函数导数存在的必要条件,充分条件:连续,满足科希-黎曼条件,20,四、极坐标系中的科希-黎曼条件,21,1.4 解析函数,一、解析函
4、数的定义,复变函数 在区域B上处处可导。区域B上的解析函数。,二、解析函数与调和函数的关系,调和函数:,则 为二维调和函数,解析函数的实部和虚部都是调和函数。,共轭调和函数,22,三、解析函数的性质,是区域B上的两组正交曲线簇。,若 在区域B上解析,则,四、举例:由实(虚)部求虚(实)部,23,例1 已知,是解析函数,且,求出该解析函数。,从而,方法二:不定积分法,解:方法一:凑全微分法,24,方法三:曲线积分法,作业 p18 习题12(1)(4)(6)(10),25,本章小结,复变函数定义:两个复数集合之间的映射;特点:定义域和值域为2维;分析:可以分解成2个二元实函数;解析函数满足CR条件
5、;实部和虚部都是调和函数,相互正交。,26,路径积分(积分的定义)柯西定理不定积分柯西公式本章小结,第二章 复变函数的积分,27,2.1 复变函数的积分,一、复变函数积分的定义,二、复变函数积分的简单性质,28,例题1沿图所示的三条曲线分别计算复变函数Czdz从O到B的定积分。,29,例题2沿图所示的三条曲线分别计算复变函数z-1dz从A到D的定积分。,解:,30,习题一 按给定的路径计算积分:(1)沿路径C1:的上半圆周;(2)沿路径C2:的下半圆周。,习题二 计算积分:C分别为:(1)(2)(3),作业,31,2.2 柯西(科希)定理,一、单连通区域上的柯西定理,或,格林公式,32,二、复
6、连通区域上的柯西定理,33,例1 计算回路积分,根据复连通区域上的科希定理,有,令,,则,根据科希定理,34,例2 计算回路积分,35,2.3 不定积分,例:计算不定积分,36,2.4 柯西公式,一、柯西公式,意义:解析函数的整体性:内部值完全由边界值决定。,37,二、柯西公式的推论,推论一 解析函数有任意阶导数。,推论二 模数原理,f(z)在闭区域解析,则|f(z)|在边界上取最大值,38,推论三 刘维尔定理,例:计算回路积分,全平面上有界的解析函数必为常数。,作业 p38习题 1、2,39,本章小结,路径积分复变函数的积分可分解为2个线积分;一般情况下,积分与路径有关;柯西定理在单连通区域
7、内解析,则积分与路径无关,完全由起点和终点决定;在复连通区域内解析,则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。柯西公式,40,第三章 幂级数展开,复数项级数幂级数泰勒级数展开解析延拓罗朗级数展开孤立奇点的分类本章小结,41,3.1 复数项级数,部分和,1级数的定义,2级数收敛的必要条件,3绝对收敛,绝对收敛则一定收敛,收敛不一定绝对收敛。,42,4绝对收敛的判别,比值检验法,根值检验法,夹挤(逼)定理,43,5函数项级数,一致收敛,44,3.2 幂级数,1幂级数的形式,2幂级数的收敛半径,45,例 求收敛圆的半径,判断收敛圆上的敛散性:,作业 p46习题1(1)(4)(1)(3),46,3.
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