必修4平面向量的概念与运算.ppt
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1、新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,1,2023/10/26,王新敞,(必修4)第二章 平面向量,第27讲,平面向量的概念与运算,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,2,1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义,理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义,掌握向量数乘的运算,理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,3,3.了解平面向量的基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.理解
2、平面向量数量积的含义及其物理意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系,掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量垂直关系.,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,4,1.下列说法正确的是(),C,A.平行向量就是与向量所在直线平行的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在一条直线上的向量,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,5,平行向量指方向相同或相反的非零向量,其所在直线可以平行也可以重合,故A错;长度相等的向量不一定是相等向量,故B错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故D错;C
3、是正确的.,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,6,2.若向量a=(x,1),b=(4,x),则当x=时,a与b共线且方向相同.,2,因为a=(x,1),b=(4,x),若ab,则xx-14=0,即x2=4,所以x=2,当x=-2时,a与b方向相反,当x=2时,a与b方向相同.,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,7,3.已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b与a垂直,则实数k等于.,-1,ka-2b=(k-4,k+6),a=(1,1),由已知得(ka-2b)a=k-4+k+6=0,解得k=-1.,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,8,4.已知a、b均为单位向量,
4、它们的夹角为60,那么|a+3b|=(),C,A.B.C.D.4,a+b遵循平行四边形法则.|a+3b|=.故选C.,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,9,5.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为(),A,A.B.C.D.,|a|cos=|a|=.故选A.,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,10,1.向量的有关概念既有 又有 的量叫做向量.的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.的向量叫做单位向量.方向 的 向量叫做平行向量(或共线向量).且 的向量叫做相等向量.且 的向量叫做相反向量.,大小,方向,长度为0,长度为1,相同或相反,非零,长度相等,方
5、向相同,长度相等,方向相反,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,11,2.向量的表示方法用小写字母表示,用有向线段表示,用坐标表示.3.向量的运算加法、减法运算法则:平行四边形法则、三角形法则.实数与向量的积:实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下:,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,12,(1)|a|=;(2)当0时,a的方向与a的方向;当0时,a的方向与a的方向;当=0时,a=.运算律:交换律、分配律、结合律.4.平面向量共线定理向量b与非零向量a共线的充分必要条件是.,|a|,相同,相反,0,有且只有一个实数,使得b=a,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新
6、敞,13,5.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内两个 的向量,那么对这个平面内任一向量a,.实数1,2,使a=1e1+2e2.6.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底,对任一向量a,x、y,使得a=xi+yj,则实数对 叫做向量a的直角坐标,不共线,有且只有一对,有且只有一对实数,(x,y),新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,14,记作a=(x,y),其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.相等的向量坐标,坐标相同的向量是 的向量.7.平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=
7、(x2,y2),则ab=.(2)如果,则=.(3)若a=(x,y)则a=.,相同,相等,(x1x2,y1y2),A(x1,y1),B(x2,y2),(x2-x1,y2-y1),(x,y),新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,15,8.平行与垂直的充要条件(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是.9.向量的夹角两个非零向量a和b,作=a,=b,则 叫做向量a与b的夹角,记作.如果夹角是,我们说a与b垂直,记作.,x1y2-x2y1=0,x1x2+y1y2=0,AOB=(0180),a,b=,90,a
8、b,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,16,10.向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量 叫做a与b的数量积(或内积),记作.规定:零向量与任一向量的数量积为.向量的数量积满足的运算律:(1);(2);(3).,|a|b|cos,ab=|a|b|cos,0,ab=|a|b|cos,(a)b=(ab)=a(b),(a+b)c=ac+bc,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,17,数量积的性质:(1)ea=(e是与a同方向的单位向量);(2)a2=;(3)ab=0;(4)cos=;(5)|ab|a|b|.,ae,|a|cos,|a|2,ab,新疆奎屯市第一高级中学
9、特级教师王新敞,18,11.向量数量积的坐标运算若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=.向量a在b上的投影为.12.定理两个向量a、b垂直的充分必要条件是.,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,19,题型一 向量的基本概念、线性运算及简单性质,例1,判断下列各题是否正确:(1)向量 与 是共线向量,则A、B、C、D必在同一直线上;(2)向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;(3)四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=;,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,20,(4)已知,R,,则(+)a与a共线;(5)O是平面内一定点
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