数学建模培训.ppt
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1、第一部分 建立数学模型,数学?,数学有什么用?怎么用?,数学?,电子计算机的出现及飞速发展;数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学有什么用?,数学?,工程技术领域:,数学有什么用?,大型水坝的应力问题、天气预报,数学?,工程技术领域:,数学有什么用?,高新技术领域:通讯、航天、微电子、自动化,数值风洞数值模拟飞行器流场波音777实现“无纸设计”,同时全部实验都在计算机上完成,数学?,工程技术领域:,数学有什么用?,高新技术领域:,计量经济学人口控制论,新的领域:,数学生态学数学地质学等,数学?,数学有什么用?,怎么用?,解决实际问题;数学模型。,模型,博览会上汽车、水果,电站、卫星、铁路
2、,照片、图表、公式、程序,模型与原型,原型:是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。,模型:指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简缩、提炼而构成的原型替代物。,模型不是原型原封不动的复制品。原型有各个方面和层次的特征,而模型只要求与某种目的有关的那些方面和层次。,模型的分类(用模型替代原型),直观模型:玩具、照片,思维模型,符号模型:地图、电路图、化学结构式,数学模型:由数字、字母或其它数学符号组成的,描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。,物理模型:风洞中的飞机模型,数学模型,对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,做出必要的简化假设,运用适当的数学工具
3、,得到的一个数学结构。,已知的数学模型,“航行问题”:甲乙两地相距750公里,船从甲地到乙地顺水航行需要30小时,从乙地到甲地逆水航行需要50小时,问船速、水速各若干?,数学模型无所不在,专业研究领域:物理、计算机研究,日常投资:投资、决策,各行各业:经济、金融,数学建模,Mathematical Modeling,应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,例1.手机电话卡的选择,已知入网电话卡每分钟0.4元,每月25元租金;神州行每分钟0.6元,不用月租费。问:选择哪种卡比较省钱?,例2.银行问题,去银行取钱对每个人来说可能都不是一次愉快的经历,因为每次去取钱都要花很长时间排队。银行
4、现在实行的排队方法是否合理?你是否有办法在现有窗口的情况下提高整个系统的效率?,数学建模作为用数学方法解决实际问题的 第一步,越来越受到人们的重视。,数学建模的一般步骤,实体信息,求解,假设,建模,验证,应用,分析,数学模型的分类,能力的培养,能力上的锻炼,Google,创新的能力,观察能力分析能力,在尽可能短的时间内查到并学会你想应用的知识的本领,图书馆,归纳能力数据处理能力,一些简单的实例,例1.某人第一天由A地去B地,第二天由B地沿原路返回A地。问:在什么条件下,可以保证途中至少存在一地,此人在两天中的同一时间到达该地。,分析:假如我们换一种想法,把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去
5、A,问题就化为:在什么条件下,两人至少在途中相遇一次?易得:只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间,两人必会在途中相遇。,例2:椅子放稳问题,把椅子往不平的地面上一放,通常只有,放不稳,然而只需稍微挪动几次,就可以使,放稳了。,四只脚同时着地,三只脚着地,模型假设:,椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处可视为一个点,四脚的连线呈正方形。,地面可视为数学上的连续曲面。,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。,建模:,设椅子的四只脚位于点 其连线构成一正方形,对角线的交点为坐标原点,对角线 为坐标轴(坐标系如图所示)。,D,A,C,B,O,C,B,A,D,y,x,设 为 两点椅子的脚离开地面的距离
6、之和;为 两点的椅子的脚离开地面的距离之和,则由条件得:,注意到:,椅子的四脚落地意味着 故不妨假设 则问题归结为是否存在 使得,令 则 是定义在 上的连续函数,且,求解,由条件可知:有,且,由根的存在定理知:使得 即,问题:,在原问题中,若将一个四方形的椅子改为长方形的桌子,则该如何求解?,例3.商人们怎样安全过河,三名商人各带一个随从乘船渡河,一只小船只能容纳两人,由他们自己划行。随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。,3名商人 3名随从,问题分析(多步决策过程),决策:,要求:,每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,在
7、安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,:过程的状态,:允许状态的集合,建模:,:第 次渡河前此岸的商人数,:第 次渡河前此岸的随从数,:状态转移律,:第 次渡船上的随从数,:决策,:允许决策集合,建模:,:第 次渡船上的商人数,求,使,并按转移律由 到。,建模:,多步决策问题:,模型求解,穷举法:编程上机,图解法,0,1,2,3,1,2,3,y,x,状态s=(x,y):16个格点,允许状态:,10个 点,允许决策:,移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移。,s1,sn+1,d1,d11,d1,d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各
8、带一随从的情况,例4,某人平时下班总是按预定时间到达某处,然后他妻子开车接他回家。有一天,他比平时提早了三十分钟到达该处,于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子。这一天,他比平时提前了十分钟到家,问此人共步行了多长时间?,分析,提前的十分钟时间从何而来?,会合点,相遇点,家,5分钟,5:30,5:35,由相遇点到会合点需开几分钟?,相遇时他已步行了多少分钟?,请思考:本题解答中隐含了哪些假设条件?,预备技能,数学知识,分析、代数、几何、概率、统计、优化、方程,软件使用,Matlab,Mathematica,Maple,Lindo,Lingo,编程:C/C+,第二部分 数学规划
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