随机系统的建模与仿真.ppt
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1、第6章 随机系统的建模与仿真,陈无畏合肥工业大学机械与汽车工程学院,系统建模与仿真,6.1 随机系统基本知识,随机系统概述,1 随机事件与随机变量随机事件:在随机实验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复实验中具有某种规律性的事件。随机变量:设S为随机实验,它的样本空间为,对于每一个,有一个实数 与之对应,则 就称之为随机变量。,6.1 随机系统基本知识(续),2 随机过程、样本函数随机过程(Stochastic Process):设()是随机实验,每一次实验都有一条时间波形(称为样本函数),记为,所有可能出现的结果总体 就构成一随机过程,记作。如图6-1所示。,6.1 随机系统基本知识(续)
2、,图6-1 样本函数的总体-随机过程,6.1 随机系统基本知识(续),6.1.2 随机变量的统计特性,6.1 随机系统基本知识(续),1 概率密度函数 概率密度函数 表示每个 值发生的可能性,即每个事件发生的概率分布,表示其中一个事件。概率密度函数 的性质如下,(6.1)(6.2),6.1 随机系统基本知识(续),2 概率分布函数随机变量 的概率分布函数 是指变量的值小于或者等于 的随机变量的概率。定义为(6.3)如果有两个随机变量,则可以用联合概率分布函数及联合概率密度函数来加以描述,定义如下:联合概率分布函数(6.4)联合概率密度函数(6.5),6.1 随机系统基本知识(续),3 均值、均
3、方值、均方根随机变量 的均值 定义为(6.6)随机变量 的均方值 定义为(6.7)随机变量 的均方根 定义为(6.8),6.1 随机系统基本知识(续),4 方差随机变量 的方差 定义为(6.9),6.1 随机系统基本知识(续),泊松分布,指数分布,分布,爱尔朗分布,常用的几种概率分布,6.1 随机系统基本知识(续),(1)均匀分布若在区间 中,连续型随机变量 的概率密度函数为(6.10)则 称在区间 上服从均匀分布,记作。,6.1 随机系统基本知识(续),均匀分布的概率密度函数和分布函数可用图6-2的曲线表示。,图6-2 均匀分布的分布曲线,6.1 随机系统基本知识(续),(2)正态分布正态分
4、布又称为高斯分布,是最常用的一种连续分布。若连续型随机变量 的概率密度函数为(6.12)其中 为大于零的常数,则 称服从参数 的正态分布,记作。,6.1 随机系统基本知识(续),(3)泊松分布若离散型随机变量 的概率分布为(6.13)其中 为常数,则称 服从参数 的泊松分布,记作。其中参数 为泊松分布随机变量 的均值和方差。,6.1 随机系统基本知识(续),(4)指数分布若连续型随机变量的概率密度函数为(6.14)其中 为常数,则称 服从参数 的指数分布。,6.1 随机系统基本知识(续),(a)指数分布的曲线(b)指数分布的曲线图6-5 指数分布曲线,6.1 随机系统基本知识(续),(5)分布
5、和爱尔朗分布以p为参数的广义积分,当p0时收敛,它所确定的函数p称为 的函数,记作若随机变量的概率密度函数为(6.16)其中p0为常数,则称X服从a,p参数的 分布。,6.1 随机系统基本知识(续),k个相互独立,具有相同分布的指数分布随机变量之和服从爱尔朗分布。即若有k个相互独立的机变量,其概率密度函数为,6.1 随机系统基本知识(续),那么,随机变量 其概率密度函数为,6.1.3 随机过程的统计特性,自相关域特性,幅值域(时域)特性,6.1.3 随机过程的统计特性(续),1.幅值域(时域)特性 对于各态历经平稳随机过程(即平稳随机过程的数据特征与一个样本函数 的时间平均数据特征相同),随机
6、过程统计特性可以简化为 的时间统计特性。统计特性有:,6.1.3 随机过程的统计特性(续),(1)均值(6.18)(2)方差(6.19)(3)均方值(6.20),6.1.3 随机过程的统计特性(续),2.自相关域特性 自相关函数是对随机过程在相关域上的特性描述。它表征随机过程在一个时刻和另一时刻采样值之间的相互依赖程度,即表征信号随机变化的程度。对于平稳随机过程,有自相关函数,(6.21),6.1 随机系统基本知识(续),反映了在时刻 和 的值和的相关性,或者说已知,的可预见性。自相关函数大,则 变化缓慢,由 预见 的可能性大;自相关函数小,则相反。是一个偶函数,即,并且在 时有最大值,即。,
7、6.1.3 随机过程的统计特性(续),3.频域特性功率谱密度是对随机过程在频域上的特性描述,它是自相关函数的傅里叶变换,有功率谱密度函数(6.22)其逆变换为(6.23),6.1.3 随机过程的统计特性(续),以上两式构成傅里叶变换对,称为维纳-辛钦公式。功率谱密度函数 表示随机过程的均方值(总能量)在频率域内的分布情况。,6.1.4 白噪声的统计特性,白噪声是最简单的一种随机过程。所谓白噪声是指它的自相关函数为一理想脉冲函数,它的功率谱密度是一个常数。有(6.24)(6.25)式中 为白噪声的方差,为脉冲函数。,6.1.4 白噪声的统计特性,从频域角度看,白噪声的能量在整个频谱上均匀分布。如
8、图6-6所示。,图6-6 白噪声的自相关函数及功率谱密度,6.1.4 白噪声的统计特性(续),白噪声只有理论上的价值,实际上只有近似的白噪声,即在系统感兴趣的频带之内 是一 个常数,而 也只是近似于一个脉冲。如图6-7所示。,6.1.4 白噪声的统计特性(续),图6-7 近似白噪声的自相关函数及功率谱密度,6.2 随机系统模型简介,假设某一随机系统为一线性时变系统,其数学模型可用状态方程描述(6.26)式中:为系统的状态变量;为随机初值;为系统输出;为外界扰动,为随机变量;为系数矩阵,为确定量;为输入矩阵,为确定量;为输出矩阵,为确定量;为系统参数随机误差;亦为系统参数随机误差。,6.2 随机
9、系统模型简介(续),指数相关的随机过程,自回归-滑动平均模型,6.3 随机变量的分布参数估计,6.3 随机变量的分布参数估计(续),(1)位置参数位置参数确定了一个分布函数取值范围的横坐标。(2)比例参数比例参数决定分布参数在其取值范围内取值的比例尺。(3)形状参数 形状参数确定分布参数的形状,从而改变分布参数的性质。,6.3 随机变量的分布参数估计(续),2.分布参数的估计,总体参数:已知仿真模型中随机模型的分布类型,为完全确定一个分布所需要确定的分布类型中所含参数的数值 参数空间:总体参数可能取值的范围参数估计:已知被仿真实际系统随机变量的实际数据,根据这些数据对分布类型中的未知总体参数进
10、行估计的过程,6.3 随机变量的分布参数估计(续),参数估计问题的实质:给出一组分布函数,只知道其中有一个是总体分布函数,但不知道究竟是哪一个,需要根据样本来估计这个实际的总体分布。分布参数的方法:最大似然估计,最小二乘估计,无偏估计等,6.4 随机系统的仿真方法,6.4.1 蒙特卡罗仿真法,定义:蒙特卡罗法是一种通过随机变量 的统计实验、随机仿真来求解数 学物理、工程技术问题近似解的 数值方法。,1.蒙特卡罗方法概述,6.4 随机系统的仿真方法(续),步骤:第一,建立随机系统模型;第二,多次循环仿真,记录每次仿真 的主要结果;第三,多次仿真结果的后处理,计算统计特 性,如均值、方差、频谱或相
11、关函数。,6.4 随机系统的仿真方法(续),特点:第一,适应线性系统和非线性系统,使 用限制条件少;第二,仿真工作量大。尤其系统存在多 种随机因素,而且想得到每种因素对系 统的影响时更为繁琐。,6.4 随机系统的仿真方法(续),2.蒙特卡罗方法的概率收敛性 根据大数定律,是 个独立的随机变量,它们有相同的分布,且有相同的有限期望 和方差,。则对于任意,有(6.30),6.4 随机系统的仿真方法(续),由伯努利定理说明,设随机事件A的概率为P(A),在N次独立实验中,事件A发生的频数为n,频率为n/N,则对于任意的,有(6.31),6.4 随机系统的仿真方法(续),蒙特卡罗方法从总体 抽取简单子
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