电磁场中电子的运动.ppt
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1、电子在电磁场中的运动,西安交通大学 康永锋,电子光学 第二章(Kang)P.2,提纲牛顿运动方程拉格朗日方程最小作用原理折射率与轨迹方程电子运动的波动性质,引言,电子光学第二章(Kang)P.3,引言,运动规律电子光学的主要研究对象是带电粒子的运动规律。(质点动力学-轨迹)当我们忽略了带电粒子之间相互的电磁作用时,就可以将带电粒子运动看作为单个质点运动。因此可以利用单个粒子的质点运动方程,即牛顿型运动方程求解带电粒子运动规律。曲坐标系的拉格朗日方程,以及相对论效应。变分原理(哈密顿原理和最小作用原理)以及与光线光学的相似性。波动性原理;自由空间以及大尺度外电磁场,不考虑量子力学;只考虑衍射效应
2、。,电子光学 第二章(Kang)P.4,提纲引言拉格朗日方程最小作用原理折射率与轨迹方程电子运动的波动性质,牛顿运动方程,电子光学第二章(Kang)P.5,牛顿运动方程,洛仑兹力牛顿运动方程加速电位和能量守恒定理直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,电子光学第二章(Kang)P.6,牛顿运动方程,洛仑兹力,具有电荷为,,运动速度为,电场强度和磁感应强度分别为,和,的电磁场中运动,将受到罗伦兹力的作用,可以表示为:,的电子在,(2-1),上式有两部分,第一部分为电场力,它对电子做功,即改变电子的能量,产生电子的加速和减速运动;第二部分为磁场力,对电子不做功,它不能改变电子的能量,只改
3、变运动方向。利用该式可以描述电子的运动。,电子光学第二章(Kang)P.7,牛顿运动方程,牛顿方程电子的动量满足牛顿方程:,(2-2),非相对论情形(电子速度远小于光速),高能粒子,电子光学第二章(Kang)P.8,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理 由于磁力是不做功的,考虑带电粒子能量的变化仅仅由电场决定,用速度点乘牛顿方程的两端右端项的第二项磁场项等于零,可以得到方程:,(2-3),等式左边变换为:,等式右边变换为,电子光学第二章(Kang)P.9,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理 能量守恒,(2-4),令粒子速度为零时,电位为零。定义加速电位 U*,动能、势能和静止能量守恒;粒子在
4、任一点动能完全由加速电位决定。粒子的运动速度,电子光学第二章(Kang)P.10,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理 能量守恒(低速)同理,用速度点积牛顿方程两端,可得:,可得,电子光学第二章(Kang)P.11,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理 能量守恒(低速),(2-4),说明,带电粒子的能量为恒定值,即动能与位能的和等于常数。因此可以建立电子运动速度与电位之间的关系。,电子光学第二章(Kang)P.12,牛顿运动方程,加速电位和能量守恒定理 能量守恒(低速),(2-5),引入加速电位U*,上式表示了在低速情况下,加速电位与电子速度之间的关系,其中电位表示的是规范化电位,即考虑电子动
5、能为零作为参考点。用它可以计算电子光学仪器的电子能量。在高速情况下,需考虑相对论。,电子光学第二章(Kang)P.13,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程运动方程的直角坐标形式的三个分量方程为:,电子光学第二章(Kang)P.14,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程运动方程的圆柱坐标形式的三个分量方程可有直角坐标变换而来;,利用坐标变换,可建立直角坐标x和y与圆柱坐标r和之间的关系为:,上面的坐标对时间求微分有:,电子光学第二章(Kang)P.15,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,将而r方向的力表示为x和y
6、方向的力的投影,可以得到分量形式:,不变,电子光学第二章(Kang)P.16,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,将而r方向的力表示为x和y方向的力的投影,可以得到分量形式:,电子光学第二章(Kang)P.17,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,将x和y的微分形式用r和,的微分形式代入,上述方程可以得到圆柱,坐标方程下的牛顿方程:,电子光学第二章(Kang)P.18,牛顿运动方程,直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,因此,将方程左端向的洛仑兹力项带入方程中,可得,电子光学第二章(Kang)P.19,牛顿运动方程,直角坐标系
7、、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程,课本(2.1.15)式给出了任意一般正交曲线坐标系的牛顿运动方程,相当复杂。,电子光学 第二章(Kang)P.20,提纲引言牛顿运动方程最小作用原理折射率与轨迹方程电子运动的波动性质,拉格朗日方程,电子光学第二章(Kang)P.21,拉格朗日方程,拉格朗日方程的意义直角坐标系下推演拉格朗日方程磁场存在的情形考虑相对论后的拉格朗日函数拉格朗日方程与牛顿运动方程的联系,电子光学第二章(Kang)P.22,拉格朗日方程,拉格朗日方程的意义,1.牛顿运动方程能够处理给定电磁场中带电粒子运动的质点动力学的全部内容。2.但是牛顿运动方程运用到曲线坐标时,表达式比较复
8、杂,而且缺乏直观意义;3.而采用分析力学中的拉格朗日方程,利用广义坐标的表达形式更为直观,物理意义更为清晰。4.利用广义坐标,把粒子的速度V和势函数U和A用广义坐标q1,q2和q3及其对时间的导函数表示,则拉格朗日方程将自动产生三个标量的运动方程。,电子光学第二章(Kang)P.23,拉格朗日方程,直角坐标系下推演拉格朗日方程,由于静电场为保守场,因此可建立位函数W与场作用力的关系式为:,可以利用微分的性质,将上式中第一式的左端项写成用动能形式表示为,可得,电子光学第二章(Kang)P.24,拉格朗日方程,直角坐标系下推演拉格朗日方程,由于动能T只与速度有关,位能W只与坐标有关,根据偏微分的性
9、质,动能T对坐标的微分为零,而位能W对速度的微分为零,因此用函数,带入方程中,可以得到上式的等价方程为:,同理对y和z分量可得出类似的方程,如果将式中的坐标用广义坐标表示,在分析力学中已经证明,在qi为任意广义坐标时上式均成立。,电子光学第二章(Kang)P.25,拉格朗日方程,直角坐标系下推演拉格朗日方程,拉格朗日函数静电场是位场,因此将位能和动能函数带入到拉格朗日函数后,得到静电 场中的拉各朗日函数,如果把,称为广义速度,可以称,为广义的力,而将,称为广义动量,那么,称为位场决定的力,电子光学第二章(Kang)P.26,拉格朗日方程,磁场存在的情形,因为磁场不是位场,磁场作用力不能用上面的
10、位函数微分表示力,但可以证明存在一个对应的广义力为:,在电场强度向量为,及磁感强度为,定义的电磁场中,可以用,电位,和磁矢位,表示为:,电子光学第二章(Kang)P.27,拉格朗日方程,磁场存在的情形,右端式的前两项表示电位和磁位引起的电场作用,后一项表示磁位引起的磁场作用。,牛顿运动方程可以写为:,电子光学第二章(Kang)P.28,拉格朗日方程,磁场存在的情形,将右端项写成分量式,并化成全微分形式有:,其中,电子光学第二章(Kang)P.29,拉格朗日方程,磁场存在的情形,同理,对y 和 z分量也存在同样的方程,因此就有,令右端项后面的一项为,修正的拉格朗日函数为,则拉格朗日方程与牛顿方程
11、一致。,电子光学第二章(Kang)P.30,拉格朗日方程,考虑相对论后的拉格朗日函数,静电场,考虑磁场,考虑相对论修正后,上式第一项并不代表粒子运动的动能。,电子光学第二章(Kang)P.31,拉格朗日方程,拉格朗日方程与牛顿运动方程的联系,从拉格朗日方程出发,能直接导出第一节给出的正交曲线坐标系的运动方程。举个例子,在球坐标系中,静电场情形拉格朗日函数,从拉格朗日方程就可以直接写出球坐标系中牛顿运动方程,见课本(2.2.14),电子光学 第二章(Kang)P.32,提纲引言牛顿运动方程拉格朗日方程折射率与轨迹方程电子运动的波动性质,最小作用原理,电子光学第二章(Kang)P.33,最小作用原
12、理,变分原理简述泛函欧拉方程哈密顿原理最小作用原理轨迹相似性原理,电子光学第二章(Kang)P.34,最小作用原理,变分原理简述,1.经典力学的质点动力学问题,除了用上面介绍的牛顿方程、拉格朗日方程表示外,还可以采用变分原理描述;2.描述简洁,具有高度概括性;3.变分原理的应用揭示了带电粒子运动的规律与光线光学的运动类似性,在此基础上建立和发展了电子光学。4.所谓变分原理的数学问题是泛函求极值问题。,电子光学第二章(Kang)P.35,最小作用原理,泛函,我们知道函数的定义,即,假如一个连续变化的函数表示为:,那么,称为自变量,是自变量,的函数,如果一个,和 f(x)的关系为,,成立,则称,为
13、泛函,,与,的关系类似于,与,的关系,因此也,函数v与,称为函数的函数。,电子光学第二章(Kang)P.36,最小作用原理,泛函,泛函求极值,同函数一样,泛函的稳定值可以用极值描述,即微分等于0时的值。,发生一微小变化,即扰动时,,如果函数,可以表示为,其中(x)为任意给定函数,为数值参数。参量的变换意味着函数y的连续变化。当=0时,函数y值为f(x)即y0。,电子光学第二章(Kang)P.37,最小作用原理,泛函,泛函求极值,当变化时,显然泛函v也随着变化。,式中,因此,为,的一阶微分形式,用,表示,称为泛函,的一阶变分,称为泛函的极值,,称为二阶变分,如此类推。,电子光学第二章(Kang)
14、P.38,最小作用原理,泛函,在物理问题中一个常用的泛函表示形式是下面的定积分形式的泛函,这个积分形式的泛函极值问题,既变分问题所描述的是能量问题。假设一个积分形式的泛函表示为:,式中y是x的连续函数,且在该区间具有一阶、二阶导数存在。,现在研究泛函,的极值问题,由于当存在函数,时,,函数y和一阶微分可以分别表示为:,电子光学第二章(Kang)P.39,最小作用原理,泛函,因此,泛函v也是的函数,泛函取极值可以表示为,,即,函数,的两个端点值分别为,处,,处,,应有,电子光学第二章(Kang)P.40,最小作用原理,泛函,这时泛函V的极值可以表示为,根据端点的初始条件,上式中,代入方程中,可得
15、:,电子光学第二章(Kang)P.41,最小作用原理,泛函,将上式第二项做分部积分,将两个端点值带入,由于,因此上式的第一项为零,极值可以表示为:,电子光学第二章(Kang)P.42,最小作用原理,欧拉方程,对于任意函数,上式成立的必要条件是,该式称为欧拉方程,变分学的一个基本方程。泛函极值的必要条件是积分函数要满足欧拉方程,即欧拉方程成立,也就是说,上述定积分泛函的极值问题等价于欧拉方程。对于一个多变量泛函,可以用多个欧拉方程分量表示,而欧拉方程等价于牛顿运动方程,即变分问题与牛顿运动方程是等价的。,电子光学第二章(Kang)P.43,最小作用原理,哈密顿原理,将积分函数F换成拉格朗日函数,
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