《算法设计与分析教学资料》第2章.ppt
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1、第2章 递归与分治策略,学习要点:理解递归的概念。掌握设计有效算法的分治策略。通过下面的范例学习分治策略设计技巧。(1)二分搜索技术;(2)大整数乘法;(3)Strassen矩阵乘法;(4)棋盘覆盖;(5)合并排序和快速排序;(6)线性时间选择;(7)最接近点对问题;(8)循环赛日程表。,分治法概述,分治法是一种非常有用的算法技术,它可以用于求解许多算法问题.什么是分治法?,算法总体思想,计算机求解的复杂度与问题的规模有关,回忆:1、2、3n个元素的排序问题;1、2、3n个元素的查找问题;结论:多个元素的排序和查找比较少元素的排序和查找复杂和困难的多!想法:能否将“多个元素的排序和查找”变成数
2、个“较少元素的排序和查找”,分别进行?,算法总体思想,分治法的可行性:如果原问题可以分成k个子问题且子问题都可解并可利用子问题的解求出原问题的解,算法总体思想,问题分解是求解复杂问题时很自然的做法。求解一个复杂问题可以将其分解成若干个子问题,子问题还可以进一步分解成更小的问题,直到分解所得的小问题是一些基本问题,并且其求解方法是已知的,可以直接求解为止。,将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。,算法总体思想,n,T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n),=,对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问
3、题规模足够小,很容易求出其解为止。,算法总体思想,对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。,n,T(n),=,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。,n,T(n),=,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。,分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,
4、分而治之。凡治众如治寡,分数是也。-孙子兵法,算法总体思想,通常,由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如果得到的子问题相对来说还太大,则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题,直至产生出不用进一步细分就可求解的子问题。由此可知,分治法求解很自然地可用一个递归过程来表示。分治法作为一种算法设计策略,要求分解所得的子问题是同类问题,并要求原问题的解可以通过组合子问题的解来获取。,2.1 递归的概念,直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治
5、手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。,2.1 递归的概念,递归的使用场合:数据结构本身是递归定义的,其实现算法往往是递归算法,比如二叉树和图等;求解过程需要递归,算法描述简捷其易于理解及分析,比如阶乘计算,下面来看几个实例。,在算法设计中使用递归技术,往往使算法的描述简单明了、易于理解、容易编程和验证。在计算机软件领域,递归算法是一种非常重要并且不可或缺的算法。,2.1 递归的概念,例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为:,边界条件:非
6、递归定义的初始值,递归方程:递归定义式,边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出结果。,较小自变量的函数值表示较大自变量的函数值,2.1 递归的概念,例1 阶乘函数,第n个阶乘可递归地计算如下:int factorial(int n)if(n=0)return 1;return n*factorial(n-1);,2.1 递归的概念,例2 Fibonacci数列(斐波那契数列)无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为:,边界条件,递归方程,第n个Fibonacci数可递归地计算如下
7、:int fibonacci(int n)if(n=1)return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);,数列的第n项的值是它前面两项之和,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数(阿克曼函数)当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这个函数是双递归函数。Ackerman函数A(n,m)定义如下-有两个独立的整型变量m、n:,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义:,本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数A(n,m)的自变量m
8、的每一个值都定义了一个单变量函数(根据m的不同可得到基于n的不同函数!):m=0时,A(n,0)=n+2m=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故A(n,1)=2*nm=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)=2n。m=3时,类似的可以推出m=4时,A(n,4)的增长速度非常快,以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数定义单变量的Ackerman函数A(n)为,A(n)=A(n,n)。定义其拟逆
9、函数(n)为:(n)=minkA(k)n。即(n)是使nA(k)成立的最小的k值。因为:A(0)=1,A(1)=2,A(2)=4,A(3)=16所以:(1)=0,(2)=1,(3)=(4)=2(5)=(16)=3(n)在复杂度分析中常遇到。对于通常所见到的正整数n,有(n)4。但在理论上(n)没有上界,随着n的增加,它以难以想象的慢速度趋向正无穷大。,2.1 递归的概念,例3 Ackerman函数作业1:采用递归方式实现Ackerman函数,2.1 递归的概念,例4 排列问题设计一个递归算法生成n个元素r1,r2,rn的全排列。从n个不同元素中任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排列起叫做从n
10、个不同元素中取出m个元素的一个排列,当m=n时所有的排列情况叫全排列。如1,2,3三个元素的全排列为:1,2,31,3,22,1,32,3,13,1,23,2,1,集合X中元素的全排列记为perm(X)。(r)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀r得到的排列。,2.1 递归的概念,例4 排列问题设计一个递归算法生成n个元素r1,r2,rn的全排列。,设R=r1,r2,rn是要进行排列的n个元素,Ri=R-ri。集合X中元素的全排列记为perm(X)。(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下:,当n=1时
11、,perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素;当n1时,perm(R)由(r1)perm(R1),(r2)perm(R2),(rn)perm(Rn)构成。,2.1 递归的概念,例4 排列问题(http:/,n=2 perm(R):(r1)perm(R1)(r2)perm(R2)即:(r1)(r2)(r2)(r1),当n=1时,perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素;当n1时,perm(R)由(r1)perm(R1),(r2)perm(R2),(rn)perm(Rn)构成。,n=3 perm(R):(r1)perm(R1)(r2)perm(R2)(r3)perm(R3)即:(
12、r1)perm(R2R3)(r2)perm(R1R3)(r3)perm(R1R2)最终:(r1)(r2)(r3)(r1)(r3)(r2)(r2)(r1)(r3)(r2)(r3)(r1)(r3)(r1)(r2)(r3)(r2)(r1),2.1 递归的概念,例4 排列问题,/perm函数:perm(Object list,int k,int m)/作用:输出数组list中,前缀为顺序的前k个元素,后缀为后m-k个元素的全排列,所组成的排列/参数:list数组,要进行排列的元素/k,数组下标0-(k-1)为前缀/m,数组下标0-m为要进行排列的元素/说明:若要对list中的所有元素进行排列,k应为0
13、,m应为数组上界,2.1 递归的概念,例4 排列问题,public static void perm(Object list,int k,int m)/若所有要排列元素都为前缀,则依次输出if(k=m)for(int i=0;i=m;i+)System.out.print(listi+);System.out.println();/否则,前缀增1,后缀减1else/依次将原后缀中任一个元素放入到前缀中,得到新的前后缀,进行递归for(int i=k;i=m;i+)swap(list,k,i);perm(list,k+1,m);swap(list,k,i);,2.1 递归的概念,例4 排列问题,
14、public static void swap(Object list,int k,int m)Object t;t=listk;listk=listm;listm=t;int main()int list=1,2,3;perm(list,0,2);return 0;,2.1 递归的概念,例4 排列问题作业2:采用递归方式实现排列问题,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题将正整数n表示成一系列正整数之和:n=n1+n2+nk,其中n1n2nk1,k1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。,例如正整数6有如下11种不同的划分:6;5+1;4+2,4+1+1;3+3,
15、3+2+1,3+1+1+1;2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1。,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题前面的几个例子中,问题本身都具有比较明显的递归关系,因而容易用递归函数直接求解。在本例中,如果设p(n)为正整数n的划分数,则难以找到递归关系,因此考虑增加一个自变量:将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。注意:m的取值范围为1,),我们可分段讨论。m=11n,(2)q(n,m)=q(n,n),mn;最大加数n1实际上不能大于n。因此,q(1,m)=1。,(1)q(n,1)=1,n1;当最大加数n1不大于1时
16、,任何正整数n只有一种划分形式,即,(4)q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),nm1;正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1m-1 的划分组成。,(3)q(n,n)=1+q(n,n-1);正整数n的划分由n1=n的划分和n1n-1的划分组成。,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题前面的几个例子中,问题本身都具有比较明显的递归关系,因而容易用递归函数直接求解。在本例中,如果设p(n)为正整数n的划分数,则难以找到递归关系,因此考虑增加一个自变量:将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。,2.1 递归的概念,例5 整
17、数划分问题前面的几个例子中,问题本身都具有比较明显的递归关系,因而容易用递归函数直接求解。在本例中,如果设p(n)为正整数n的划分数,则难以找到递归关系,因此考虑增加一个自变量:将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。,6;5+1;4+2,4+1+1;3+3,3+2+1,3+1+1+1;2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;1+1+1+1+1+1。,例:q(6,3)=q(3,3)+q(6,2),2.1 递归的概念,例5 整数划分问题前面的几个例子中,问题本身都具有比较明显的递归关系,因而容易用递归函数直接求解。在本例中,如果设p(n)为正
18、整数n的划分数,则难以找到递归关系,因此考虑增加一个自变量:将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。,正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题,/函数:q(int n,int m)/作用:用来得到正整数n,最大加数不大于m的划分个数public static int q(int n,int m)/若正整数或最大加数小于1,则返回0if(n1|m1)return 0;/若正整数或最大加数等于1,则划分个数为1(n个1相加)if(n=1|m=1)return 1;/若最大加数实际上不能大于正整数n,若大于则划分个
19、数等于最大加数为n的划分个数if(nm)return q(n,n);/若正整数等于最大加数,则划分个数等于if(n=m)return 1+q(n,n-1);return q(n,m-1)+q(n-m,m);,2.1 递归的概念,例5 整数划分问题作业3:采用递归方式实现整数划分问题,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题设a,b,c是3个塔座。开始时,在塔座a上有一叠共n个圆盘,这些圆盘自下而上,由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上,并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则:规则1:每次只能移动1个圆盘;规则2:任何时刻都不
20、允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上;规则3:在满足移动规则1和2的前提下,可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题一个简单的解法:假设塔座a,b,c排成一个三角形,a b c a构成一顺时针循环。在移动圆盘的过程中,若是奇数次移动,则将最小的圆盘移动到顺时针方向的下一个塔座上;若是偶数次移动,则保持最小的圆盘不动,而在其他两个塔座之间,将较小的圆盘移动到另一个塔座上去。以上算法如何理解?注意:圆盘数目不同,要ab,塔座的顺序也不同。奇数:abca 偶数:acba,非递归解法,若是奇数次移动,则将最小的圆盘移到顺时针方向的下一塔座上;若是偶数次移动,则保持
21、最小的圆盘不动,而在其他两个塔座之间,将较小的圆盘移到另一塔座上去。,当n为奇数时,目的塔座是b,按顺时针方向移动;当n为偶数时,目的塔座是c,按逆时针方向移动。,在问题规模较大时,较难找到一般的方法,因此我们尝试用递归技术来解决这个问题。,当n=1时,问题比较简单。此时,只要将编号为1的圆盘从塔座a直接移至塔座b上即可。当n1时,需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c,然后,将剩下的最大圆盘从塔座a移至塔座b,最后,再设法将n-1个较小的圆盘依照移动规则从塔座c移至塔座b。由此可见,n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题,这又可
22、以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题的递归算法如下。,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题,public static void hanoi(int n,int a,int b,int c)/将塔座a上自下而上,由大到小叠放在一起的n个圆盘依移动规/则移至塔座b上并仍按同样顺序叠放。if(n 0)hanoi(n-1,a,c,b);/在移动过程中,以塔座c作为辅助塔座 move(a,b);/将塔座a上编号为n的圆盘移至塔座b上 hanoi(n-1,c,b,a);,2.1 递归的概念,例6 Hanoi塔问题作业4:画图表示Hanoi塔问题关键:为算法建立递归调用工作栈,2
23、.1 递归的概念,通常,在一个算法中调用另一算法时,系统需在运行被调用算法之前先完成三件事:(1)将所有实参指针、返回地址等信息传递给被调用算法;(2)为被调用算法的局部变量分配存储区;(3)将控制转移到被调用算法的入口。在从被调用算法返回调用算法时,系统也相应地要完成三件事:(1)保存被调用算法的计算结果;(2)释放分配给被调用算法的数据区;(3)依照被调用算法保存的返回地址将控制转移到调用算法。,系统在实现子程序的调用时,要用栈方式管理调用子程序时的返回地址。子程序调用的内部实现为两个方面。,2.1 递归的概念,当有多个算法构成嵌套调用时,按照后调用先返回的原则进行。注意:信息传递和控制转
24、移必须通过栈来实现。重要的是数据栈和工作栈。递归算法的实现类似于多个算法的嵌套调用,只不过调用算法和被调用算法是同一个算法。为了保证递归调用正确执行,系统要建立一个递归调用工作栈,为各层次的调用分配数据存储区。一个递归过程的执行类似于多个子程序的嵌套调用,递归过程是自己调用自己本身代码。如果把每一次的递归调用视为调用自身代码的复制件,则递归实现过程基本上和一般子程序的实现相同。,递归小结,优点:结构清晰,可读性强,而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性,因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。,缺点:递归算法的运行效率较低,无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。,解决方法:
25、在递归算法中消除递归调用,使其转化为非递归算法。1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强,但本质上还是递归,只不过人工做了本来由编译器做的事情,优化效果不明显(常用方法!)。2、用递推来实现递归函数。3、通过变换能将一些递归转化为尾递归,从而迭代求出结果。后两种方法在时空复杂度上均有较大改善,但其适用范围有限。,递归小结,讨论:,找出n个自然数(1,2,.,n)中取r个数的组合。,int a100;void comb(int m,int k)for(int i=m;i=k;i-)ak=i;if(k1)comb(i-1,k-1);else for(int j=a0;j0
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