理论力学II.ppt
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1、理论力学(II),第 三 章 分析力学基础,自由度和广义坐标是分析力学最基本的概念.虚位移原理的广义坐标描述便是:对应于各广义坐标的广义力分别为零是系统静止平衡的充要条件.虚位移原理也称静力学普遍方程.虚位移原理与达朗伯原理的结合便得到动力学普遍方程.动力学普遍方程的广义坐标表达可得到拉格朗日方程.确切地说是第二类拉格朗日方程.它是完整约束下的质点系统的运动微分方程通式.,3 1 自由度与广义坐标,自由度:独立的虚位移的个数.广义坐标:确定质点系空间位置的独立变量.:在完整约束下,自由度的个数与广义坐标的个数相等.完整约束下,若系统有n 个质点,s 个约束方程,则自由度N=3n s,用直角坐标
2、系下的投影表达为:,3.广义力.广义力的定义须用数学式表达.这里要说的是:广义力是质点系中一群力和力偶的组合.它是分析力学中的一个基本概念.它与广义坐标直接相关,不同的的广义坐标对应着不同的广义力.,称Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力.(k=1、2、3N),对于完整的理想约束下的力学系统,质点系的虚功表达可作如下的演变:,上式中令,则,3 2 以广义坐标表示的质点系的平衡条件,Qk 为系统对应于广义坐标qk 的广义力.(k=1、2、3N),上式中令,所以,由于各广义坐标是互相独立的,而虚位移是不能为零的.因而有:,即是:如果质点系统平衡,则各广义坐标对应的广义力分别为零.,例二.平行四
3、杆机构,尺寸a、b、l 及力P、F 均为已知.求:平衡时=?=?,解:这是一个双自由度的力学系统.选广义坐标、.(、分别为与水平线的夹角).由本题的特点,建立直角坐标系,求出有关的虚位移.(不作功的虚位移不必求出).,由、的独立性及 0、0 必有:,注意前面这两行虚位移原理方程的展开式:,即是:,上式是两个自由度力学系统的虚位移原理用广义坐标的表达式.如果一个有N个自由度的力学系统,则虚位移原理的广义坐标的表达式为:,对比例题的结果,不难理解这样一个结论:对于完整理想约束的力学系统,其静止平衡的充要条件是:对应于每一个广义坐标的广义力分别为零.如果广义力不为零,质点系必然运动.描述其运动,我们
4、可用后面将要讲到的 拉格朗日方程.,解:系统有两个自由度,选广义坐标 x1 和x2.,习题选解:习 17 15(P275)图示系统中,重物P3,倾角,皆为已知.不计摩 擦,忽略滑轮和绳子的质量.求平衡时,重物P1 和P2 的大小.,习 17 17(P276)杆系在铅垂面内平衡,AB=BC=l,CD=DE,且AB,CE 为水 平,CB为铅垂.均质杆CE 与刚度为 k1 的弹簧相连,重为P 的均质杆AB 的左端A 处装有一刚度为 k2 的螺旋弹簧.BC 杆上作用有线性分布载荷,其最大的集度为q.BC 杆的重量不计.求此时水平弹簧的变形量 和 螺旋弹簧的扭转角.,解:两个自由度.选广义坐标(螺旋弹簧
5、的扭转角)和(线弹簧的伸长量),由广义坐标的虚位移原理:,对本题有:,由质点系的达朗伯原理:,由虚位移原理:,在理想约束下:,即是:,(1)式称为动力学普遍方程.若用直角坐标分量来表达则为:,3 3 动力学普遍方程,(2),例一:(书上 例18 2)两个半径为r 的均质轮质量皆为m1,对轮心的转动惯量各为J.连杆的质量为m2,其两端与两轮的轮心以铰链相连.设圆轮在倾角为的斜面上作纯滚动,求轮心的加速度.,解:设轮心的加速度为a.系统的运动分析及达朗伯惯性力简化如图所示.,由动力学普遍方程:,例二(书上例 18 3)图中二均质圆柱轮质量皆为m,半径皆为r.轮I 绕O 轴转动,轮II 上绕有细绳且
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