专题十一 因式分解的常用方法.docx
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1、因式分解的常用方法第一部分:方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初 等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性 强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学 生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中 主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一 讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解
2、中常用的公式,例如:(1) (a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b);(2) (a土b)2 = a22ab+b2a22ab+b2=(a土b)2;(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式:(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6) a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知 a, b,c 是 A ABC 的三边,
3、且 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca,则AABC的形状是()A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解:a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2can (a 一 b)2 + (b 一 c)2 + (c 一 a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式例1、分解因式:am + an + bm + bn分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分 解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有后两项都含有因此可以考
4、虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。解:原式=(am + an) + (bm + bn)=a(m + n) + b(m + n)每组之间还有公因式!=(m + n)(a + b)例 2、分解因式:2ax -lOay + 5by - bx解法一:第一、二项为一组; 第三、四项为一组。解:原式=(2ax -10) + (5by - bx) = 2tz(x -5y) -Z?(x-5y) =(x 5y)(2o b)解法二:第一、四项为一组;第二、三项为一组。原式=(2ax - bx) + (-10。+ 5by)=x(2a - b) -5y(2a - b)(2i Z?)(
5、x 5y)练习:分解因式1、-ab + ac-bc2、xy-x-y + 1(二) 分组后能直接运用公式例3、分解因式:%2 _y2 + ax + ay分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但 提完后就能继续分解,所以只能另外分组。解:原式=(X2 -y2)+ (ax + ay)= (x+y)(x-y) + a(x+y)= (x+j)(x-y + a)例 4、分解因式:。2 2。/? + Z?2 解:原式=(。2 一2。/? + /?2)一。2=( -Z?)2 - Cd=(a Id c)(i Z? + c)练习:分解因式 3、X2 -x-9y2 -3y4、12 -
6、2 - 乎 一 2yz综合练习:(1) X3 +x2y-xj2 -(2) ax -bx +bx-ax + a-b(3)工2 + 6xy + 92 16。2 + 8。一 1 (4) 2 - 6ab + 12Z? + 9b -4a(5) 14一2。3+。29(6) 4ax-4ay -bx + by(7) X2 - 2xy - xz + yz + y2(8) a2 -2a + b -2b + lab +1(9) y(y - 2) - (m -l)(m +1)(io) (a + c)(a - c) + b(b - 2a)(11) (b + c) + (a + c) + (a + b) + labc (
7、12) a +b +c - 3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式42 + 3 + q)x + pq = (x+ p)(x + q)进行分解。特点:(1)二次项系数是1;(2) 常数项是两个数的乘积;(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考:十字相乘有什么基本规律例.已知00 而且是一个完全平方数。于是 = 9 - 8a为完全平方数,a = 1例5、分解因式:x2 + 5x + 6分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1 X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适 合,即 2+3=5。12.解:x2
8、 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2 x 313=(x + 2)( x + 3)1X 2+1X 3=5 . . . . . 用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数 和要等于一次项的系数。例6、分解因式:x2 一7x + 6解:原式=x2 + (-1) + (-6)x + (-1)(-6)1 -一一l -1=(x 1)( x 6)1-6,(-1) + (-6) = -7练习 5、分解因式(1)x2 +14x + 24 (2)a2 15a + 36(3)x2 + 4x 5练习 6、分解因式(1)x2 + x 一 2(2) y2 - 2y -15
9、(3)x2 -10x 一 24(二)二次项系数不为1的二次三项式 ax2 + bx + c 条件:(1)(2)(3)分解结果:c = c cb = a c + a cb = a c + a c12211221ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c )例7、分解因式:3x2 llx +10分析:1 -2(-6) + (-5) = -11、解:3x2 llx +10 = (x 2)(3x 5)练习 7、分解因式:(1) 5x2 + 7x 6(2) 3x2 7x + 2(3) 10x2 17x + 3(4) 一62 +11 y +10(三) 二次项系数为1的齐次多项式例8
10、、分解因式:a2 8ab 128b2分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进 行分解。1*-一-一 8b厂 -16b8b+(-16b)= -8b解:a2 8ab 128b2 = a 2 +8b + (16b)a + 8b x (16b)=(a + 8b)(a 16b)练习 8、分解因式(1)x2 一 3xy + 2y2(2)m2 6mn + 8n2(3)a2 ab 6b2(四) 二次项系数不为1的齐次多项式例 10、x 2 y 2 一 3 xy + 2把xy看作一个整体 1、l -11 -2(-1)+(-2)= -3解:原式=(xy 1)( xy 2)例 9、2
11、x 2 7 xy + 6 y 21、/ -2y2 / -3y(-3y)+(-4y)= -7y解:原式=(x 2 y )(2 x 3 y)练习 9、分解因式:(1) 15x2 + 7xy 一4y2(2) a2x2 6ax + 8综合练习 10、(1) 8x6 7x3 1(3)(x + y )2 3( x + y) 10(2) 12 x 2 11xy 15 y 2(4) (a + b)2 4a 4b + 3(5)(7)(9)(6) m2 4mn + 4n2 3m + 6n + 2(8) 5(a + b)2 + 23(a2 b2) 10(a b)2x 2 y 2 一 5 x 2 y 一 6 x 2x
12、 2 + 4 xy + 4 y 2 一 2 x 一 4 y 一 34x2 一 4xy 一 6x + 3y + y2 一 10 (10) 12(x + y)2 +11(x2 一 y2) + 2(x一 y)2思考:分解因式:abcx2 + (a2b2 + c2)x + abc五、换元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x-2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解:(1)设 2005= a,则原式=ax2 (a2 1)x a=(ax +1)( x a)=(2005 x +1)( x 2005)(2)型如abcd + e的多项式,分解
13、因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x2 + 5 x + 6 A,则 x2 + 7 x + 6 = A + 2 x原式=(A + 2 x) A + x 2 = A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x)2 = (x 2 + 6 x + 6)2练习 13、分解因式(1) (x2 + xy + y2)2 4xy(x2 + y2)(2) (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) + 90(3) (a2 +1)2 + (a2 + 5)2 4(a2 + 3)2例 14、分解因式(1) 2x4 一 x3
14、- 6x2 一 x + 2并且观察:此多项式的特点一一是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少1, 系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。解:原式=x2 (2 x2 x 6 + ) = x212( x2 + ) (x + ) 6xx2111设 x+ t,贝g x2 + t2 2x.原式=x 2( 12 2) t 6】=x 2 Gt 2 t 10 )上 2 一Y=x2(2t 5)( + 2)= x2 2x + 二-5 x + 上 +(21(11x2 x + 5 x x + 2V x )Vx )=(x +1)2(2 x 1)( x
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