微分中值定理证明不等式方法研究毕业论文.doc
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1、JIU JIANG UNIVERSITY毕 业 论 文 题 目 微分中值定理证明不等式方法研究英文题目Using differential mean value theorem proving inequality method studying 院 系 理学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 班 级 A0811班 指导教师 二零一二年五月摘 要不等式的证明有很多种,其中微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法。本文分别给出罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理的定义以及分别利用其定理证明的一些不等式。新课程标准更加注重理论联系实际且应用实际的原则,因此本文最后还给出一些
2、基本不等式在现实生活中的应用。关键词: 罗尔中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒中值定理;不等式证明;不等式的应用 Abstract There are many ways to prove inequality,And value theorem to prove the inequality is a kind of important method. This paper will give some examples that use Roller Mean Value Theorem,Lagrange Mean Value Theorem,Cauchy Mean Value
3、 Theorem and Taylor Mean Value Theorem to prove inequality. The new curriculum standard pay more attention to the principle that theory with the practice and apply practical,therefore this paper finally give some basic inequality in real life application.Key Words: Roller Mean Value Theorem; Lagrang
4、e Mean Value Theorem; Cauchy Mean Value Theorem; Taylor Mean Value Theorem; Apply of inequality; Prove inequality.目 录引言1第一章 知识准备21.1微分中值定理定义21.2微分中值定理证明不等式的步骤3第二章 利用罗尔中值定理证明不等式42.1罗尔中值定理的意义及分析42.2 罗尔中值定理的应用4第三章 利用拉格朗日中值定理证明不等式53.1拉格朗日中值定理的意义及分析53.2拉格朗日中值定理证明不等式5第四章 利用柯西中值定理证明不等式84.1柯西中值定理的分析84.2柯西中值
5、定理证明不等式8第五章 利用泰勒中值定理证明不等式115.1泰勒中值定理证明不等式的方法归纳115.2泰勒中值定理证明不等式11第六章 综合利用微分中值定理证明不等式146.1通过求极值点证明不等式14第七章 微分中值定理证明不等式在解题中的应用16第八章 基本不等式在现实生活中的应用18第九章 研究总结20参 考 文 献21致 谢22 引 言 不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别,
6、并且还给出基本不等式在现实生活中的应用.数学问题的解决关键在于我们对待数学问题的方法,如果在学习数学的过程中,我们能有意识地将数学问题系列化,解决数学问题的方法系列化,那么解决数学问题的能力将会得到升华.在高等数学的学习中,不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待的,不等式的证明是数学的重要内容之一,也是难点之一,其常用的方法有:比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等,而有一些问题用上述方法解决是困难的,在学完中值定理与导数的应用的内容以后,可以利用微分中值定理、函数的单调性、常数变易法、函数极值性、凸凹性等知识解决一些不等式证明的问题.因此,微分中值定理为证明不等式注入了新的活力
7、,这一创造性思维有效合理的使不等式获得证明,从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系.随着时代的发展,科技的进步及课程改革的不断深入,微分中值定理的应用必将渗透到社会领域的方方面面.第一章 知识准备1.1微分中值定理定义微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:定理1 罗尔中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且满足,那么在内至少存在
8、一点,使得.定理2 拉格朗日中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导, 那么在内至少存在一点,使得.当函数在内的变化范围已知时,有,于是可以利用拉格朗日定理来证明一类的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点均不为零,那么在内至少存在一点,使得. 定理4 泰勒中值定理:如果函数在含有点的区间上有直到阶的导数,则函数在内可表示成一个多项式与一个余项式的和:.其中,. 注:当时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式. 1.2微分中值定理证明不等式的步骤在微分学中,微分中值定理在证
9、明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这个等式根据取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值定理在证明不等式的应用.因此给出利用微分中值定理证明不等式的步骤(1) 构造辅助函数(2)构造微分中值定理需要的区间(2) 利用,对进行适当的放缩第二章 利用罗尔中值定理证明不等式 2.1罗尔中值定理的意义及分析罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于轴.在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定
10、理证明时要综合利用其他的微分中值定理.2.2 罗尔中值定理的应用例1 设函数在上连续,在内可导,且.证明:内必存在一点,使得.分析:由结论令 . 证明:令,由于在上连续,在内可导,且,又,则由罗尔定理知:存在,使得,又,从而在上.再由罗尔定理知:必存在一点,使得即 第三章 利用拉格朗日中值定理证明不等式 3.1拉格朗日中值定理的意义及分析拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线,两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数,正是曲线与弦线之差.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格
11、朗日定理的一个特殊情形.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ,; (2) ;(3) 值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于,还是都成立.而则是介于与之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点表示成了,使得不论,为何值,总可为小于的某一整数.3.2拉格朗日中值定理证明不等式例2 (1)如果,试证; (2)求证: .证明 (1)令,在区间上连续,在内可导,应用拉格朗日中值定理,则有,.由于在闭区间上,有,所以.(2)当时,显然等号成立.当时,不妨设.设, 由拉格朗日中值定理得, ,.则有 所以 .以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活
12、些.例3 当时,函数在其定义域上可导,且为不增函数,又, 求证 .证明 用数学归纳法当时,显然不等式成立.当时,若均为,或者一个为时,当一个为时,显然有 .设均大于,不妨设,在应用拉格朗日中值定理可得:.在上再次利用拉格朗日中值定理可得:显然,由题设知, .所以 ,即 .假设当时不等式成立,即 .取,显然的情况不证而明,所以只考虑的情况.取,由前面已证的结论有 ,再用归纳假设可得 ,即当时结论成立.所以. .第四章 利用柯西中值定理证明不等式4.1柯西中值定理的分析柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为)取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日
13、中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例2用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:证明 (1)令,.在区间上连续,在内可导,且在内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:,则有 ,.下面与例2中解法同,这里就不再赘述了.4.2柯西中值定理证明不等式 例4 (1)设,对的情况,求证: .(2)设,求证: .证明 (1)设,.当时结论显然成立.当时,取或,在闭区间或上连续,在开区间或可导,且在内或每一点均不为零,由柯西中值定理可得:,或即 .所以得证.(2)设,在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:
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