拉格朗日中值定理的应用毕业论文.doc
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1、本科毕业论文设计题目: 拉格朗日中值定理的应用 学生姓名: 任雯蕾 学号: 201000820223 专业: 信息与计算科学 指导教师: 范进军 学 院: 数学科学学院 2014 年 5 月 8 日毕业论文(设计)内容介绍论文(设计)题 目拉格朗日中值定理的应用选题时间20131125完成时间201458论文(设计)字数8000关 键 词拉格朗日中值定理、应用、极限、收敛论文(设计)题目的来源、理论和实际意义:以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学地理论基础,而拉格朗日中值定理是这几个中值定理中最重要的一个,具有中值性,在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的
2、重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明,例如为利用导数判断函数取极值、单调性、拐点、凹凸性等多项重要函数性态提供重要理论依据,从而可以把握函数图像的各种几何特征。总之,微分中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理,研究其定理的证明方法,力求正确地理解和掌握它,并在此基础上深入了解它的一些重要应用,是十分必要的,鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子,而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用,并没有进行系统的总结,有鉴于此,本文将对其应用进行了深入的总结。论文(设计)
3、的主要内容及创新:课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子,而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用,因而本文对拉格朗日中值定理的理解进行了深入的分析,介绍了它的几种证法,并在此基础上就拉格朗日中值定理的应用进行了系统的总结。附:论文(设计)本人签名: 任雯蕾 2014 年 5 月 8 日 目 录中文摘要.1英文摘要.2引言.3一、拉格朗日中值定理及其证明.31.定理内容.3 2.定理意义.3 3.定理证明.4二、拉格朗日中值定理的应用.4 1.利用拉格朗日中值定理证明不等式.5 2.利用拉格朗日中值定理证明等式.6 3.利用拉格朗日中值定理求极限.7 4.利用拉格朗日中值定理判
4、别级数敛散性.8 6.利用拉格朗日中值定理估值.9 7.利用拉格朗日中值定理延吉函数性态.10 8.利用拉格朗日中值定理判断根的存在性.12三、结束语.14参考文献.14 拉格朗日中值定理的应用任雯蕾(山东师范大学 ,数学科学学院, 信息与计算科学, 2010级2班)摘要:以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的重要理论基础,而拉格朗日中值定理因其中值性是几个中值定理中最重要的一个,在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明,例如利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据,从而把握函
5、数图像的各种几何特征。总之,微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理,研究其定理的证明方法,力求正确地理解和掌握它,并在此基础上深入了解它的一些重要应用,是十分必要的,鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子,而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用,并没有进行系统的总结,有鉴于此,本文将对其应用进行了深入的总结。关键词:拉格朗日中值定理;应用;极限;收敛 Applications of Lagranges mean value theoremRen Wenlei(C
6、lass 2 Grade 2010 , Information and Computing Science, School of Mathematical Science, Shandong Normal University) Abstract:A group of mean value theorem which includes Rolles mean value theorem , Lagranges mean value theorem and Cauchys mean value theorem is the theoretical basis of the differentia
7、l calculus. And Lagranges mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, in
8、flection point, and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the
9、 whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagranges mean value theorems way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its imp
10、ortant applications. There is no special explanation about the applications of Lagranges mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary.Keywords:Lagranges mean value theorem; Application; Limit;
11、 Convergence 拉格朗日中值定理的应用引言: 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性,是微分学的重要的和基本的定理,所以统称微分中值定理,以拉格朗日中值定理作为中心,它们之间的密切关系可用示意图表示如下:罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式 特例 推广 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础,特别是拉格朗日中值定理。因为它建立了导数值与函数值之间的定量联系,因而可用中值定理通过导数从而研究出函数的性态。中值定理的主要用于理论分析和证明,例如为利用导数判断函数单调性、凹凸性、拐点、取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据,
12、从而可以准确的把握函数图像的各种几何特征。总之,微分中值定理是沟通函数值与导数值之间的重要桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理,力求正确地理解和掌握它,并在此基础上深入了解它的一些重要应用,这是十分必要的。一、拉格朗日中值定理及其证明1.定理内容: 若函数满足如下条件:在闭区间上连续;在开区间内可导;则在内至少存在一点,使。2. 几何意义: 函数在区间上的图形是连续光滑曲线弧 上至少有一点,曲线在点的切线平行于弦。如图 3.定理证明:(1)教材证法从拉格朗日中值定理的条件与结论可见,若在闭区间两端点的函数值相等,即,则拉格朗日中值定理
13、就是罗尔中值定理(如果函数满足条件:在闭区间上连续;在开区间内可导;(3),则在内至少存在一点 ,使得)。 换句话说,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。所以,我们只须对函数作适当变形,便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.证明:作辅助函数 显然,函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,而且于是由罗尔中值定理知道,至少存在一点,使.即.(2)用作差法引入辅助函数法证明:作辅助函数 ,显然,函数在闭区间上连续,在开区间内可导,。因此,由罗尔中值定理得,至少存在一点,使得,即 二、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心,有着广泛的应用,主要有以下几个方面:利用拉
14、格朗日中值定理证明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求极限、证明级数收敛、研究函数在区间上的性质、估值等问题。1.利用拉格朗日中值定理证明不等式例1当x0时,证明。证明:做辅助函数。 函数在定义域上可导,故对于0,有在闭区间 上连续,在开区间上可导。 则至少存在一点,使得=, 而,。 当0时,有,即, 又当时,有, 所以得证。 对于证明不等式, 关键怎样构造函数, 其后巧用拉格朗日中值定理, 画龙点睛恰到好处。例2已知0,证明。证明:做辅助函数。 由于函数在上连续可导,且, 于是当0时,在闭区间内可导, 即满足拉格朗日中值定理的条件。 所以,使得。 有(1)。 又在上单调递减, 所以当0时,有
15、0, 即转化成(2)。 综合(1)、(2)可得成立。 综上所得当0,。 拉格朗日定理的应用使本题简化了计算量,对于构造函数也比较简单,其优势表现的淋漓尽致。2. 利用拉格朗日中值定理证明等式(包含恒等式和等式)例 3证明 恒等。证明:令, 则在时有意义,且 。 在时,(为常数)。 又取内任一点,如,有, 且,所以端点值也成立, 有推论恒等。 由拉格朗日中值定理知,函数在定义域内取两点,(不妨设)有。那么若恒为0,则有,所以,由的任意性可知,在定义域内函数值恒等。例4 设在上连续,在内可导,且,试求,使得.证明:令, 则在上满足拉格朗日中值定理条件, 故存在,使得。 由条件,可得。 再令, 则在
16、上满足拉格朗日中值定理条件。 故存在,使得, 综合上述两式可得即。用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项,证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子,寻找机会应用。3.利用拉格朗日中值定理求极限例5 求极限 。解:分母是两式相减的情形,可构造, 易知函数在区间上是符合定理条件的。 所以,其中,当时,。 所以。在有些求极限问题当中,用常规方法很难入手,但是运用拉格朗日中值定理却可以迎刃而解,尤其是一些比较复杂的分式的极限计算问题。例6证明如果函数在R上可导,极限。证明:运用拉格朗日中值定理 于是有。 0)收敛。证明:做辅助函数,则有, 当时在闭区间上用拉格朗日中值定理得到
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