数项级数和函数项级数及其收敛性的判定毕业论文.doc
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1、学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称: 数学与信息科学学院 专业名称: 数学与应用数学 年级班别: 姓 名: 指导教师: 2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究,总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法,并且介绍两种特别判别法:导数判别法和对数判别法。关键词:数项级数;正项级数;函数项级数;一致收敛性;导数判别法;对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of their convergenceAbstract In
2、 this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant meth
3、od and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛,如正项级数的
4、求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。1 正项级数及其收敛性一系列无穷多个数写成和式 就称为无穷级数,记为。如果,那么无穷级数,就称为正项级数。若级数的部分和数列收敛于有限值S,即 则称级数收敛,记为 并称此值为级数的和数。若部分和数列发散,则称级数发散。当级数收敛时,又称 为级数的余和。1.1 几种不同的判别法 1.11 正项级数收敛的充要条件 部分和数列有界,即存在某正数M,有N都有,那么(1)若级数收敛,则级数也收敛;(2)若级数发散,则级数也发散;即和同时收敛或同时发散;。比较判别法的极限形式 :设和是两个正项级
5、数。若=l,则(1)当01时,与同时收敛或同时发散;(2)当=0且级数收敛时,也收敛;(3)当且发散时,也发散。例2 分析:本题无法使用根式判别法和比式判别法,因此选择比较判别法进行判断所以级数收敛 定理1.14 比式判别法比式判别法的极限形式:若为正项级数,则 例3 定理1.14 根式判别法根式判别法的极限形式: 设是正项级数,且=,则(1)当1时,级数发散。 定理1.15 积分判别法 设为上非负递减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。 定理1.16 拉贝判别法 设是正项级数,且存在自然数及常数r,拉贝判别法的极限形式:(1)当时,级数收敛;(2)当时,级数发散。(3)当时,拉贝
6、判别法无法判断定理1.17 阿贝尔判别法若数列,且为单调有界数列,级数收敛,则级数收敛。例4 分析:本题中的通项含有阶层,但不能使用根式判别法和比式判别法进行判定,因此选用拉贝尔判别法。=定理1.18 狄利克雷判别法若数列,且数列单调递减,又级数的部分和数列有界,则级数收敛。例5 分析:本题型如,为任意函数,则可以选用狄利克雷判别法。因此,级数收敛 定理1.19 伯尔特昂(Bertrand)判别法设是正项级数,且,若,则(1)当B1时,级数收敛;(2)当B1时,级数发散。定理2.20 对数判别法 1.2级数收敛的新方法导数判定法 我们知道,若任意项无穷级数 (1)的每一项的绝对值所成的正项级数
7、 (2)的收敛的,则称原级数(1)绝对收敛。 对于任意项级数(1)是否绝对收敛,可以利用正项级数的诸种判别法来对(2)进行考察.例如可以应用比较法及其极限形式,比值判别法以及根值判别法等等.本人试图提供一种新的任意项级数绝对收敛的判别法即导数判别法,它给出了任意项级数绝对收敛的一个充分必要条件,这个判别法对于判别某些任意级数是否绝对收敛非常方便。1.21 导数判别法定理及推论定理(导数判别法)设为实数项的任意项级.令f(x)是一个是函数,对所有的正整数n使得,充分必要条件是. 证明:此判别法的证明依赖于罗必塔法则和比较判别法原则因为由定理 的假设条件知在处存在,所以在的某个领域内是可导的(显然
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