《选择性必修三》随机变量及其分布 随机变量及其分布.docx

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1、“条件概率与全概率公式”单元设计(3课时，单元教学设计)一、单元内容和内容解析1 .内容条件概率，乘法公式，全概率公式，*贝叶斯公式，贝叶斯公式与人工智能.本单元教学大约需要3课时,第1课时,条件概率和概率的乘法公式；第2课时,全概率公式和贝叶斯公式；第3课时，贝叶斯公式和人工智能.2 .内容解析(1)内容的本质：条件概率的概念比较抽象,教科书创设了不同的情景,让学生直观认识条件概率的意义,通过列举实验的样本空间,发现条件概率的本质是在缩小的样本空间上的概率,然后由特殊到一般,抽象出条件概率的概念以及它的计算公式.在类比原有的概率性质,得到条件概率的三个基本性质.全概率公式是概率论中一个基本而

2、重要的公式,用来解决复杂事件的概率问题.即将一个复杂事件表示成若干个两两互斥事件的和事件,再结合概率的加法公式和乘法公式求出这个复杂事件的概率.利用全概率公式求事件的概率,充分体现了分解与综合,化难为易的转化思想.贝叶斯公式是用来描述两个条件概率的关系的，它是人工智能理论背后的一个基本原理.通过实例展现贝叶斯公式在人工智能方面的简单应用，体会贝叶斯方法在数据处理中的独特优势.(2)蕴含的数学思想和方法：通过具体的案例分析进行归纳得到条件概率的概念以及计算方法，展现由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想.再类比概率的性质得到条件概率的性质，从已经了解的旧事物中推理、猜测和掌握新事物的性质.在全概率

3、公式的推导过程中，让学生体会将陌生的问题转化成熟悉的问题，将复杂问题划归为简单问题的数学思想，此方法学习新的知识是一种重要的认识问题的途径.(3)知识的上下位关系：首先结合古典概型，采用归纳推理建立条件概率的概念，导出针对于非独立事件的概率的乘法公式,解决了积事件概率的计算问题.而后再结合概率的加法公式和乘法公式推出全概率公式以及贝叶斯公式，从而为计算复杂事件的概率提供了有力的工具.最后，通过案例研究展示贝叶斯公式在人工智能领域的研究，让学生感受数学的力量.(4)育人价值：结合本单元的学习，学生能够学会用数学的眼光来分析和处理随机事件的概率，能用概率的一般概念和结论解释一些具体的现象,并拓展分

4、析复杂问题,寻找解决复杂问题的方法.贝叶斯在人工智能方面的应用拓宽了学生的数学视野,激发了学生学习数学的热情.在本节的学习过程中，重点提升了学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养.(5)教学重点：条件概率与概率的乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式在人工智能中的应用.二、单元目标和目标解析L目标(1)通过具体实例，结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.(2)通过具体实例，结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.(3)结合古典概型,会用乘法公式计算概率.(4)结合古典概型,会用全概率公式计算概率.*(5)了解贝叶斯公式.(6)通过案例研究，了解贝叶斯公式在人工智能中的简单应

5、用.2.目标解析达成上述目标的标志是：(1)能结合具体实例，理解条件概率的定义以及与积事件的区别，并能用条件概率的定义或条件概率公式计算简单随机事件的条件概率.(2)能根据事件的独立性、条件概率的意义，描述“事件独立的充要条件是条件概率等于无条件概率”，并能够根据定义进行推理.(3)能根据条件概率的定义推导概率的乘法公式，能说出条件概率的三个基本性质，会利用概率的乘法公式计算积事件的概率.(4)能利用概率的加法和乘法公式推理得到全概率公式，会利用全概率公式计算较复杂事件的概率.*(5)能通过实例了解贝叶斯公式，知道它是描述两个条件概率之间的关系.(6)能通过案例的学习，体会贝叶斯公式蕴含的数学

6、思想，感受贝叶斯公式在人工智能中的应用.三、单元教学问题诊断分析在本单元的学习中，学生对条件概率定义的理解会比较困难，它与已学的概率中积事件的概率往往让学生产生混淆，并且条件概率在计算上采用了缩小样本空间的方式进行非条件概率的转化，改变了以往古典概型计算公式，学生接受起来比较抵触.另外事件的独立性是概率中的重要概念,它与条件概率的关系学生容易忽视,事实上,事件独立性的判断学生往往是根据基于经验进行的,而条件概率可以对独立性进行描述,这也就在独立性定义的基础上多了一个判断独立性的途径.全概率公式和贝叶斯公式都是解决复杂概率问题的重要工具，特别是贝叶贝叶斯公式在人工智能、医学中扮演着重要作用.但是

7、，学生在实际问题的解决过程中，抽象出正确的概率模型比较困难.基于以上分析：本单元的教学难点为对条件概率中条件的理解及乘法公式和全概率公式的应用，贝叶斯公式应用中的数学方法.四、单元教学支持条件分析由于条件概率的学习要结合古典概型的具体实例，因此需要提供直观的模型帮助学生理解概念.可借助树状图、列表等直观化的方法帮助学生分析问题.全概率公式的形成过程为了更好地让学生体会“划分”，借助图表帮助学生分析和理解问题,在贝叶斯和人工智能中，利用视频导入了解贝叶斯生平以及贝叶斯公式的由来，激发学生的学习兴趣.以上课堂的技术支持使教师更好地完成本单元的教学目标.五、课时教学设计第1课时7.1.1条件概率(-

8、)教学内容条件概率，概率的乘法公式.(-)教学目标了解条件概率的概念，掌握条件概率的两个公式，并能用该公式计算条件概率，掌握概率的乘法公式，并会简单的应用.(三)教学重点和难点重点：条件概率与概率的乘法公式，由特殊到一般的研究方法.难点：对条件概率中“条件”的正确理解,条件概率与无条件概率的比较.(四)教学过程设计1.知识回顾(1)古典概型的概率公式:尸(A)=A所包含的样本点个数样本空间Q包含的样本点总数(2)当事件A与3相互独立时，有P(AB)P(A)P(B)f如果事件A与B不相互独立，如何表示积事件AB的概率呢?2.情境引入问题1：某班级有45名学生，其中男、女生人数及团员的人数如表1所

9、示.表1团员非团员合计男生16925女生14620合计301545在班级里随机选择一人做代表:(1)选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？师生活动：学生尝试利用古典概型自主完成上面的问题，并要求学生在每个问题中用符号表示样本空间和相关的事件,教师完善解题过程.在问题(1)中，随机选择1人做代表，则样本空间。包含45个等可能的样本点.设A二“选到团员”，8二“选到男生”，则有(A)=30,“(3)=25,(Q)=45.255根据古典概型知识可知，选到男生的概率P(B)=2=乙459对于问题(2),引导学生分析“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在

10、事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为尸(6A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知：P(BlA)二nAB)MA)63015追问1：事件A的发生是对样本空间产生了怎样的影响？追问2：在新的样本空间中,事件8的样本点发生了什么样的变化？师生活动：教师引导学生思考、交流、总结.设计意图：通过具体的实例，引入条件概率的直观概念，使学生认识到在事件A发生的条件下，会缩小样本空间，条件概率尸(3IA)本质上是在新的样本空间A中事件AB的概率，即P(BM)=M也.n(A)问题2：假定生男孩和生女

11、孩是等可能的，现在考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？师生活动：在问题1的基础上,鼓励学生自主完成,尽可能规范解题步骤,然后教师引导学生进行互动交流.对于问题(1),它与抛掷硬币问题很相似,所以学生不难判断它满足古典概型，用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，直接用古典概型的计算尸(8)=也=，；“(Q)4对于问题(2),首先要引导学生分析所求的概率就是“在事件A发生的条件下,事件8发生”的概率，记为P(BIA).此时A成为样本空间，事件

12、8就是积事件A8.根据古典概型知识可知，P(MA)=巡=1.”(A)3追问：两个事件的概率计算中分子都是1,它们表达的意义一样吗？设计意图：通过问题1和问题2,引导学生发现对于一般的古典概型，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是P(34)=生竺2.(A)3 .抽象条件概率的概念问题3：结合以上两个问题，关于条件概率的计算，你能得出什么结论？师生活动：学生集体回答，教师整理，借助图1可知，若已知事件A发生，则A成为样本空间,此时，事件8发生的概率是A8包含样本点数与A包含样本点数的比值，即P(WA)n(AB)MA)追问：在古典概型下，该表达式还可以进行怎样的变形？学生探索：又因为P(BIA

13、)=巡竺-7叵-曳辿，所以在事件A发生的条1n(A)(A)P(A)(C)件下，事件B发生的概率也可以通过P(BA)=窄竽来计算.教师总结：虽然此表达式是在古典概型中得到的，但是它适用于一般的概率模型.所以以此作为条件概率的定义(教师板书).于是，给出一般的条件概率的定义：一般地，设4,B为两个随机事件，且P(A)0,我们称P(*)=曳学为事件A发生的条件下，事件8发生的条件P(A)概率，简称条件概率.设计意图：由具体实例抽象概括共同特征以形成数学概念，是数学抽象核心素养的重要表现形式，也是重要的数学思想方法，条件概率的定义不再局限于古典概型，对于一般的概率模型都成立，这也是数学概念的一般性的体

14、现.4 .条件概率与独立性的关系，乘法公式问题4：在问题1和问题2中，都有P(BlA)WP(B).一般地,P(B4)与P(B)不一定相等.如果P(8A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？师生活动：教师引导学生根据P(5A)=P(5)的直观意义，先猜结果，再根据条件概率的定义及事件独立性的定义推理得出结论，教师可引导学生自己根据定义推导条件概率和独立性的关系.直观上看，当事件A与事件8相互独立时，事件A发生与否不影响事件8发生的概率，这等价于P(3A)=P(B).事实上，若事件A与8相互独立，即P(AB)=P(A)P(B),且P(A)O,则P(BlA)=管=0(设助=P(A).反之,

15、若P(BIA)=P(砂，且P(A)0,即P(BIA)=生竺=P(B),所以有尸(48)=P(A)P(8),即事件A与B相互独立.P(A)以上过程安排两位学生上黑板推导.因此，当P(A)0时，当且仅当A与8相互独立时，有P(BlA)=P(3).追问1:关于独立性的充要条件，你还有其它的表达式吗？学生探索：当P(B)0时，当且仅当A与8相互独立时，有P(AB)=P(A).即当P(A)0,P(B)0时，A与8相互独立等价于P(BlA)=P(B),也等价于P(AIB)=P(A).追问2：对于任意两个事件A与8,如果已知P(A)与P(3A),如何计算MAB)呢？师生活动：教师引导学生通过对条件概率公式进

16、行变形，得到计算P(AB)的公式，即对于任意两个事件4与B,若尸(A)0,则P(AB)=P(A)P(61A),称此式为概率的乘法公式.同理，若P(B)0,则MAB)=M8)P(AIB).提醒学生此结论适用于任意两个事件,独立事件作为特例自然也是满足.设计意图：通过对问题的进一步深入探究，得到两事件A,B相互独立的充要条件，并推导出概率的乘法公式.有了条件概率的定义、条件概率与独立性的关系、概率乘法公式，就初步具备了解决较复杂概率问题的能力.5 .应用新知例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率.(2)

17、在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.师生活动：教师先作示范性分析，再由学生独立完成.在学生完成本例题的解答以后，教师给出完整的解题过程.追问1：通过本例，你能谈谈积事件与条件概率的区别和联系吗？追问2：通过以上的例题的解答，请问条件概率一般有几种求法吗？追问3：条件概率只是缩小了样本空间，你认为条件概率有什么性质？师生活动：关于追问1,学生自主回答，感受积事件的“同时”与条件概率的“序”.关于追问2,教师根据学生回答，进行总结.求条件概率一般有两种方法：一种是基于样本空间C,先计算P(A)和P(AB),利用条件概率公式求P(BIA)；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发

18、生”的条件后，样本空间缩小为A,求P(BlA)就是以A为样本空间计算43的概率.关于追问3,教师给出概率性质，让学生类比得到条件概率性质，并将证明留给学生课下探索.条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)0,贝IJP(A)=1如果B和C是两个互斥事件，则P(8JCIA)=P(3A)+尸(ClA)设B和7互为对立事件，则P(BIA)=I-P(BIA)设计意图：通过具体实例分清条件概率与积事件概率的联系与区别，归纳求条件概率的两种一般方法，总结条件概率的三个基本性质.课堂练习已知3张奖券中只有一张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序

19、有关吗？师生活动：原本教材中例题作为课堂练习以例代练，由学生自主完成，教师引导学生关注“中奖的概率与抽奖的次序有关吗？”这个问题的本质是计算甲、乙、丙中奖的概率.如果概率相等，那么与抽奖次序无关；如果概率不相等，那么与抽奖次数有关.追问：如果是有放回随机抽样，中奖的概率与抽奖的次序有关吗？获奖的情况会有什么改变？师生活动：教师引导学生与放回随机抽样中奖的概率进行比较，得出结论:在抽奖问题中，无论是放回还是不放回，中奖的概率都与抽奖的次序无关.设计意图：通过一个简单的具体问题，把对问题的判断转化成概率的计算问题，根据概率计算的结果作出正确的判断.这个问题虽然可以利用古典概型概率公式求解，安排在本

20、节的意图是让学生体会用乘法公式计算概率，具有解题思路清晰，运算量小等优点.例2银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率.（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.师生活动：教师先要求学生分析例2中的问题，尝试自主解决问题，并实时将解题过程中的困难，通过师生互动加以解决.教师在分析中，应重点提示学生,最后1位密码“不超过2次就按对“等价于”第1次按对，或者第1次按错但第2次按对可以先把复杂事件用简单事件的运算结果表示，再利用概率性质求解.设计意图：通过具体实例，让学生进一步感受计

21、算复杂事件的概率的方法,将复杂事件分解为简单事件，再利用互斥事件概率的加法公式、乘法公式、条件概率等求出概率.6 .总结提升教师引导学生回顾本节课的学习过程，并让学生回答以下问题：（1）什么是条件概率？（2）对于随机事件A,B,请你说一说“事件A,B同时发生”与“在事件4发生的条件下，事件B发生”的区别，这两个事件的概率有什么关系？（3）求条件概率一般有几种方法?（4）条件概率有那些性质？设计意图：通过以上4个问题，梳理本节课的核心内容和主要方法，使学生能在整体上把握条件概率的含义，能运用条件概率的知识进行概率计算.7 .布置作业课本48页练习及习题7.1第1,2,6,9题.(五)目标检测设计

22、从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回.(1)已知第一次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率；(2)求第一次抽到A牌且第2次抽到A牌的概率.设计意图：考查学生对条件概率概念的了解，以及对条件概率与积事件的区别与联系的了解.第2课时7.1.2全概率公式(-)教学内容全概率公式，贝叶斯公式.(-)教学目标结合古典概型,会利用全概率公式计算概率,*了解贝叶斯公式.(三)教学重点和难点重点：全概率公式及其应用.难点：运用全概率公式求概率.(四)教学过程设计8 .知识回顾条件概率计算公式和概率的乘法公式.9 .情境引入思考：从有。个红球和8个蓝球的袋子中，每次随机摸出

23、1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为，.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？师生活动：先由学生独立思考，侧重直观感知概率的值，师生互动交流.因为抽签的公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是一J.对于这个结果，学a+b生是疑惑的，因为第2次摸球的结果显然受第1次的结果的影响.教师鼓励学生用所学知识进行探究.追问1：如何将“第2次取到红球”这个事件对应的情况进行细化分解？师生活动：学生自主探究，教师利用图1引导学生思考、交流，与学生合作对摸球过程进行演练，以及在此过程中的事件概率进行计算，然后教师给出事件概率的求解./?2RlR?JRIBN一RL81公尸(为尸1

24、BBlB?用R,表示事件“第,次摸到红球”，用表示事件“第，次摸到蓝球”，2.事件可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即&=NR?U与旦.利用概率的加法公式和乘法公式，得P(Rj=P(R阳2)+MBA)=P(RJP(R21)+P(BJP(R21BJaa-baa=XFX=a-jt-ba-1t-b-a+ha-b-a+h教师归纳：上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.设计意图：通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解，从而建立全概率的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数

25、学抽象和数学建模的核心素养.追问2：如果将问题一般化，将复杂事件8表示为若干个互斥事件的并，你能得出什么结论？师生活动：通过上述证明过程的一般化推广，教师归纳可将一个复杂事件分解成若干个互斥事件的并，从而利用概率的加法和乘法公式进行计算，学生上黑板给出事件B概率的推导过程，并得出全概率公式.教师板书并指出此公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一.引导学生小组讨论全概率公式成立的条件，即4,42,4满足的条件，从而得到全概率公式的完整表达并将全概率公式归纳成由因求果：一般地，设从，A24是一组两两互斥的事件，AU4UU4=c,且P(A)0，i=l,2,，则对任意的事件BqQ,有P

26、(B)=WP(4(814).Z=I设计意图：通过具体的实例，并且结合集合的知识，推理得出全概率公式,培养了学生逻辑推理，数学抽象等学科素养.在此需要指出，对于全概率公式，我们并没有进行严格的证明，只是将发现的规律进行了推广，但是以后也可以直接应用该公式解决问题.10 例题剖析例1某学校有A,8两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.师生活动：教师提示学生本题中的0.6,0.8这两个概率分别对应的是哪个事件的概率，从而引导学生利用全概率公式求

27、解.教师给出规范的解题过程，再引导学生总结出全概率公式的解题步骤(设事件一写概率一代公式).第一步，用符号表示随机事件：设A:第1天去A餐厅用餐”，用=第1天去3餐厅用餐”，人二“第2天去A餐厅用餐”.第二步，划分样本空间：C=AUq,且A与4互斥.第三步,分别计算P(A)=Pg)=O.5,p(a2a)=06,p(4e)=o.8.第四步，由全概率公式求出概率：P(A2)=P(4)p(A2IAt)+P(B1)P(A2IB1)=0.7即王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.设计意图：通过典例剖析，让学生体会全概率公式的应用，掌握全概率公式求概率的一般步骤，感受数学模型在数学应用中的价值.发展学生

28、逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.例2有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=l,2,3）台车床加工的概师生活动：关于第1小题，请学生自主合作分析概率模型，解决问题，直接根据学生回答给出解题过程；关于第2小题，教师请学生上黑板解题，并给出点评.设计意图：通过本例的第1小题，巩固全概率公式的应用，增强学生对于全概率公式应用情境的熟练；第2小题为引出贝叶斯

29、公式做准备.追问h在上述例题的解答中，概率MA,），P（AIB）的实际意义是什么？师生活动：由于贝叶斯公式是选学内容,理解难度较大,教师直接解释P（A）为先验概率，Maib）是后验概率，即出现次品后操作员需要承担责任的份额.追问2：在本例第2小题的求解过程中，我们应用到了哪些公式？可以推广得到一般性结论吗？师生活动：教师引导,在本例第2小题的求解过程中，我们用到了条件概率、全概率以及概率的乘法公式，并将其一般化，得到贝叶斯公式：设A，A24是一组两两互斥的事件，4ua2UU4=c,且尸（4）0,i=l,2,，则对任意的事件有P(AiIB)=P(A)P(BId)PP(A)P4) p(4)p 4)

30、=i= l,2,教师指出，类比全概率公式，贝叶斯公式可归纳为执果寻因，公式描述了两个条件概率的关系，在人工智能中有着广泛的应用，我们可以通过阅读材料进行了解，但是此公式为选学内容，不作考试要求.例3在数字通信中，信号是由数字O和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号O或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.师生活动：教师引导学生先用集合的语言表示例3中的事件，再由学

31、生利用所学概率思想，将复杂事件分解成几个简单事件的并，然后利用全概率公式，贝叶斯公式求解.设4=发送的信号为0，B=接收的信号为0，则N=发送的信号为1”,B=接收的信号为1”.由题意，P(A)=P(A)=0.5,P(BIA)=0.9,P(BA)=0.1,P(BA)=0.05,P(BA)=0.95(1) P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.50.9+0.50.05=0.475P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525.P(B)0.47519设计意图：通过本例，再次巩固加深全概率公式及其应用.培养学生逻辑推理、数学抽象等核心素养.4 .课外作业：某射击小组共有20名射手

32、，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2.请设计两个问题，使得求解过程中分别用到全概率公式和贝叶斯公式.设计意图：通过设置课外作业，鼓励学生对所学问题进行设计，考查学生对本节课所学概率公式的掌握及应用情况.5 .总结提升（1）全概率公式，以及用其解决问题的一般步骤；（2） 了解贝叶斯公式.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力和自学能力.6 .布置作业教科书52页练习及习题7.1第5题.设计意图：巩固学生对全概率公式，贝叶斯公式的理解和应用.（五）目标检测设计某保险公司

33、把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明,这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”被保险人占50%,“冒失的”被保险人占30%,则一个被保险人在一年内出事故的概率是.设计意图：考查学生对全概率公式的了解及应用.第3课时7.1.3贝叶斯公式与人工智能（-）教学内容贝叶斯公式在医学、游戏中的应用（二）教学目标1 .通过贝叶斯公式在医学、游戏中的案例研究，掌握贝叶斯公式的简单应用，发展学生数学运算的核心素养；2 .通过案例的学习，能体会贝叶斯公式蕴含的数学思想，发展学生数学建模的核心素养.（三）教学重点和难点

34、重点：贝叶斯公式的应用难点：贝叶斯公式应用中的数学方法.（四）教学过程设计一、情境引入导入视频，教师引言：近年来，人工智能(Artifici/Intelligence,缩写为AI)越来越热门，自HP九aGo在人机围棋大战，深蓝在人机国际象棋大赛中获胜.人工智能于是成为全世界关注的焦点.本节课我们一起学习一个与人工智能有关的数学公式：贝叶斯公式.引导语：1.我们一起看下贝叶斯的人物生平.2.贝叶斯本人介绍：贝叶斯(约1701-1761)Thomas8yes,英国数学家、神学家，贝叶斯在数学方面主要研究概率论，他对统计推理的主要贡献就是提出了“逆概率”这个概念，并把它作为一个普通的推理方法.他首先

35、将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论.代表著作有机会问题的解法等.设计意图：视频引入，激发学生的学习兴趣，贝叶斯人物介绍，帮助学生了解贝叶斯公式的由来.引导语:我们不仅要学会利用贝叶斯公式求解,还要掌握其蕴含的实际意义,理解概率思想.下面看一道与贝叶斯公式相关的例题.二、新课引入例1核酸检测是新冠肺炎诊断的主要手段，临床中有新冠病毒感染者核酸检测结果为阴性或阳性却没有任何相关的症状表现.现假设：事件A为“某人为新冠病毒感染者”，事件B为“核酸检测结果呈阳性”.99%的新冠病毒感染者核酸检测结果呈阳性(这一数据是通过新闻以及相关数据通告估计)，1%的未感染者核酸检测结果呈阳性.

36、若某市新冠病毒感染者人数约30000人，以该市常住人口IOoo万来粗略计算.若某人核酸检测结果呈阳性，求其为新冠病毒感染者的概率是多少？解析：由题意可知：P(A)=O.3%,P()=99.7%则新冠病毒感染者中核酸检测结果呈阳性的条件概率为P(BlA)=99%,未感染者中核酸结果呈阳性的条件概率为P(BA)=1%.用贝叶斯公式推测：某人核酸检测结果呈阳性时，其被确诊为新冠病毒感染者的概率为:P(A8)=P(A)P(BlA)P(B)P(A)P(BIA)p(a)p(ba)+p(a)p(b A)=22.95%教师总结：教师指出，新冠病毒感染者包括确诊患者和无症状感染者，同时以图示的方式展示贝叶斯公式

37、的计算思路，并强调贝叶斯公式的本质是“执果索因”.通过计算发现，这个结果与我们直觉认为99%的确诊率相悖，原因是P(A)值计算为所有人群.教师指出，P(8A)是检验的准确率，若想提高检验结果的准确率，医学上通常采用复查的方式.引导语：临床上通常采用复查的方式判断是否确诊.这是为什么呢？追问：若采用复查的方式，此时PCA)=22.95%,则P(A8)变为多少？96.72%P(A)P(BlA)P(A)P(BlA)；PH)NBIR教师总结：P=o.l5%P(A)=22.95%P(A)=96.72%通过分析可知，在已知结果呈阳性以后，复查得到阳性确诊的概率会大大增加.因此，医学中经常复查是很有必要的.

38、设计意图：在当前新冠疫情的背景下，通过例题计算，不仅加深了学生对贝叶斯公式的理解，也让学生体会到疫情的严峻以及医学中复查的重要性.三、新课探究引导语：贝叶斯公式在医学中的应用是较多，在游戏中也有应用，下面我们一起做一个有趣的游戏.例2在一个抽奖游戏中，主持人将奖品随机放入三个外观相同的空箱子中.假设你是抽奖人，从中随机选一个箱子,规定在打开你选择的箱子之前，主持人先打开另外两个箱子中的一个空箱子，若另外两个都是空箱子，则主持人随机选择一个打开：问题：当主持人打开另外两个箱子中的一个空箱子时，你会坚持自己的选择,还是改选另外一个箱子?师生活动：由于随机性，无法保证一定能够成功选中有奖品的箱子.因

39、此，要不要改变选择是个风险决策问题，应以得到奖品的概率最大为准则.师生交流得出以下三个观点：（1）三个箱子中有奖品的概率都是g,不必改选；（2）主持人打开的是空箱子,那么奖品另外两个箱子中的概率都是L不必2改选；（3）选择的箱子有奖品的概率是g,主持人打开空箱后，另外一个箱子有奖品的概率是2,需要改选.3师生活动：教师将学生分成10组，每组准备三个箱子，让每组学生自主组织抽奖并记录更换后获奖次数和试验次数，配合教师完成教学活动.教师总结：选择1号箱，其中有奖品的概率为L,无奖品的概率为2,主持33人打开了无奖品的3号箱，若决策是不换号，则你在1号箱里有奖品的情况下得奖，成功的概率为g;若决策是

40、换号，则你在1号箱里无奖品的情况下得奖，成功的概率为4.所以改选2号是正确的决策.3追问L观点（1）和观点（2）错在哪里？师生总结：观点（1）和观点（2）均忽略了概率中的条件；观点（1）忽略了“主持人打开3号箱子”这一条件，观点（2）忽略了“主持人只打开你的选择之外的空箱子”这一条件.设计意图：综合学生掌握的情况，从古典概型的角度思考，提高学生直观想象和数学建模的核心素养.追问2：能否用全概率公式和贝叶斯公式，从条件概率的角度分析？引导语：为了便于理解计算，不妨给三个箱子编号，并假设你选择的是1号箱，当主持人打开的是3号箱时，现在给你一个重新选择的机会，你会坚持选1号箱，还是改选2号箱?师生总

41、结：用A，A2,4分别表示1，2,3号箱子里有奖品，用用，B2f员分别表示主持人打开1,2,3号箱子.如上所述，学生初次选择了1号箱.因为在做选择时不知道奖品在哪个箱子里，学生的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配，所以事件A，A2,6的概率仍为;，此为先验概率.主持人打开1号箱之外的一个空箱子，有以下几种可能情况：奖品在1号箱里，主持人可打开2,3号箱，故尸(用14)=3；奖品在2号箱里，主持人只能打开3号箱，故尸(14)=1；奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故MbjaJ=O.利用全概率公式，主持人打开3号箱的概率为：P(B3)=Xp(A)P(B3IA)=Ij=L再根据贝叶斯公式，在3

42、号箱打开的条件下，1号箱和2号箱里有奖品的条件概率分别为P(A2)P(A2)=2尸3这两个条件概率是后验概率，它们修正了前面的先验概率，通过比较后验概率不难发现，改选2号箱是正确的决策.引导语：由于主持人每打开一个箱子，相当于提供了新的信息，后验概率也随之发生了变化.我们再进一步研究这个例子.追问3：当3个箱子变为4个箱子时，若主持人打开的是4号箱子，其他条件不变，你会改换2号箱子吗？概率变化是怎样的？分析：利用全概率公式和贝叶斯公式，可以从条件概率的角度进行分析：用凡，A2,A3,A4分别表示1,2,3,4号箱子里有奖品；用用，层,鸟，H分别表示主持人打开1,2,3,4号箱子.由题意可得:P

43、(A)=M4)=p(4)=Ma)=:若奖品在1号箱里，主持人可打开2,3,4号箱，故P(a4)=g;若奖品在2号箱里，主持人只能打开3,4号箱，故I&)=g；若奖品在3号箱里，主持人只能打开2,4号箱，故P(&|A3)=g；若奖品在4号箱里，主持人只能打开2,3号箱，故P(BllAl)=0利用全概率公式，主持人打开4号箱的概率为：P(B4)=Xf(A)P(B4IA)=I/=1J在4号箱打开的条件下，1号箱、2号箱和3号箱里有奖品的概率分别为p(AbJ=P(AI)P(aI A)JP(B) 4P(A2IB4)=P(A2)P(B4A2)=3H而8Mg)J(A嗯一V347P(BJ8师生活动：利用贝叶斯

44、公式发现，对于四个甚至多个箱子的抽奖游戏，在第一次选择后，当主持人打开此外的一个空箱子，并给你重新选择的机会时，你同样可以通过改变选择提高成功的概率，而且，在你第2次选择后，仍然可以通过改变自己的选择，以获得更大的成功概率，这个策略也适用于多次选择的情况.事实上，在上述多次选择的游戏中，主持人每打开一个空箱子都提供了新的有用信息，抽奖人需要不断根据这些信息，利用贝叶斯公式计算出(新的)后验概率,并据此修正自己的选择以提高成功的概率.这种不断改进和校正决策的过程非常近似于人类的学习和思维模式，也是贝叶斯方法许多应用的关键，正是由于这个特点，贝叶斯方法在人工智能领域发挥了非常重要的作用，已经成为学

45、习型人工智能的理论基础.教师总结：贝叶斯方法在数据处理方面有其独特的优势，它可以通过不完全数据，利用已有的先验信息进行模糊判断，然后不断地学习和调整做出更合理的判断，最终得出最优解，这就使得贝叶斯计算不用建立在完整的数据基础上，只需要已有的部分数据，利用计算机强大的数据计算和数据存储能力，让计算机不断的计算验证和学习并积累收集有效数据，达到人工智能的效果，可以说，贝叶斯公式是学习型人工智能的基础.设计意图：贝叶斯方法在当今最先进的科技领域中扮演着重要角色，人工智能系统AlphaGo系列就是学习型人工智能成功应用的例子.借助本案例让学生理解贝叶斯公式的基本原理及其应用，激发学生学习兴趣和探索乐趣

46、.四、总结提升(1)知识：贝叶斯公式：设A，A2A”是一组两两互斥的事件，A1UA2UU4=,且P(4)0,j=l,2,，则对任意的事件BGC,有P(4二尸疗二MA)P4),j=L2,3,.,Jt=I(2)应用：贝叶斯公式在医学、游戏中的应用.五、课后作业同学们上网查阅资料，了解人工智能的最新研究领域及发展历程.六、目标检测设计某商业银行对创业人群提供小额贷款，某人承诺两年内还清贷款，否则视为不守承诺.假设银行对该人的信任度为0.7,可信的人不遵守承诺的概率为0.1,不可信的人不遵守承诺的概率为0.8.若此人两年内未还清贷款.问题L求银行对此人的信任度变为多少？问题2：假设此人之后再次提出贷款申请，承诺两年内还清贷款，银行批准.若此人两年内又未还清贷款，求银行对此人的信任程度变为多少？问题3：如果此人之后再次提出贷款申请，承诺两年内还清贷款，银行批准.若此人两年内还清贷款，求银行对此人的信任程度变为多少？设计意图：从生活实际出发，帮助学生加深贝叶斯公式的理解，并利用贝叶斯公式解决实际问题，让学生意识到“一诺千金”的重要性，发展学生数学运算、数学建模核心素养.“离散型随机变量及其分布列”单元设计(6课时，单元教学设计)一、单元内容和内容解析1 .内容离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的数字特征；二项分布与超几何分布；二项分布的