基于马氏链的教学质量评估的数学模型毕业论文.doc
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1、基于马氏链的教学质量评估的数学模型A Mathematic Model of Teaching Quali-ty Evaluation Based On Markov Chain 摘 要本文通过建立数学模型对教学质量进行评估,应用马尔科夫链分析法考虑学生的原始状态,在同一标准下把、教师学生的初始成绩分成五个等级,确定出状态空间,然后根据施教后的成绩,求出一步转移概率,建立一步转移概率矩阵,最后根据马尔科夫链的遍历性求出极限分布对每一等级赋予分数,对教学效果的定量指标加权平均,由所得的数学期望来评价教师的教学质量,这种方法克服了学生原有基础存在差异的问题.转移概率矩阵集中反映了教学质量、教学条件
2、、学风及社会环境等等因素的影响,的极限状态说明,这些因素稳定时,教学效果在这些条件的影响下可能达到的程度,且这一可能达到的程度与学生原有的基础无关由极限分布可以对极限状态下各等级人数进行预测,通过分析使教师获取教学的反馈信息,以对自己的教学方式进行反思和调整,促进教学水平的提高 对马氏链模型进行改进,在求得一步转移概率矩阵后,定义学生成绩“进步度”,即学生进步的程度(退步时进步度为负值),把握学生成绩的整体进步、退步情况,同时也消除了基础差异的因素通过计算进步矩阵和效率值又能对教学效果进行评价,且与马氏链模型所得的结论一致,同时还能得到一些很有参考价值的教学反馈信息关键词:马尔科夫链;转移概率
3、矩阵;遍历性;教学质量评估;极限分布ABSTRACTIn this thesis, we study a mathematical model which can evaluate the quality of teaching. We analysis the original state of the student by Markov chain, In the same standard, we divided the students who tought by teacher A and teacher B respectively into five levels by init
4、ial achievement, then determine the state space. We calculate the one step Transition probability matrix according to the students achievement that after teaching, and obtain the Limit distribution by Markov chain Ergodicity. The quantitative index of teaching weighted average by given every level s
5、cores, so we can evaluate the teaching quality according to the mathematical expectation. This method overcome the problem of students basis difference, therefore, Transition probability matrix reflects the quality of teaching, teaching conditions, style of study and social environment, and so on. L
6、imit distribution shows teaching effectiveness may reach when these factors are stable, and it have nothing to do with the students basis difference. By analyzing the feedback information, teachers can adjust their teaching style, and improve the teaching quality.To improve the Markov chain model, w
7、e define progress degree,which is the extent of the student progress (the progress degree is negative when regress). From the progress degree we can learn the overall progress of students achievement, and it also eliminates the factor of basis difference. We can evaluate the teaching quality by calc
8、ulate the progress matrix and the value of efficiency, and its conclusion is similar to the model of Markov chain, we can also get some valuable feedback information.Keywords: Markov chain; Transition probability matrix; Ergodicity; Teaching evaluation; Limit distribution目 录前 言1页第一章 马氏链基本理论2页1.1马尔科夫
9、过程及其概率分布2页1.1.1马尔科夫性及其马尔科夫过程2页 1.1.2马儿科夫链及转移概率2页1.1.3转移概率矩阵3页1.2遍历性3页第二章 问题的分析5页第三章 模型的建立与求解6页3.1模型的建立6页3.2实例求解8页3.3成绩的分析及结论9页3.4模型的改进11页第四章 模型的评价13页参考文献14页附 录15页致 谢17页前 言教学过程是学生获取知识、培养能力的过程,学习成绩的好坏是他们获取知识培养能力的直接反映,也是对教师教学质量的一种检验.在学校的教学管理中,常常需要对各任课教师的教学效果进行质量评估或对教学工作的质量进行评价,常以学生的考试成绩为依据,以平均分的高低或平均分的
10、提高程度来衡量教学效果的优劣事实上,这是比较片面的,因为这种方法没有考虑到学生原有的基础存在差异的问题,因此仅用教师在任课期间学生的考试成绩来直接评估教师的教学质量是不科学、不公正的如何科学公正的评价一个教师的教学效果,是一个关系到能否公正评价一个教师的劳动,能否调动教师的积极性,不断提高教学质量的大问题因而需要寻求一种客观公正地、定量的评价教师教学效果的方法这种方法应排除评价人的主观因素,应是一个客观的量,反映教师教学的内在规律的量,而考核一个教师的教学效果主要看在教师的主导作用下,在教学的一个较长的过程中,学生知识掌握和能力提高的程度因而,可以依据链的无后效性来建立一种能排除学生的基础差异
11、因素的教学质量评估模型,用某教师施教后的学生成绩的变化情况来刻画教师的教学效果第一章 马氏链基本理论1.1 马尔科夫过程及其概率分布1.1.1马尔科夫性及其马尔科夫过程马尔科夫性(无后效性):过程(或系统)在时刻所处的状态为已知的条件下,过程在时刻所处状态的条件分布与过程在时刻之前所处的状态无关.通俗的说,就是在已经知道过程“现在”的条件下,其“将来”不依赖与“过去”马尔科夫过程:设随机过程的状态空间为如果对时间的任意个数值,在条件,,下的条件分布函数恰等于在条件下的条件分布函数,即则称过程具有马尔科夫性或无后效性,并称此过程为马尔科夫过程1.1.2 马尔科夫链及转移概率马尔科夫链:时间和状态
12、都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链,简称马氏链,记为,它可以看作在时间集上对离散状态的马氏过程相继观察的结果转移概率:记链的状态空间马尔科夫性通常用条件分布律来表示,即对任意的正整数和,有其中记,称条件概率为马氏链在时刻处于状态条件下,在时刻转移到状态的转移概率由于链在时刻从任何一个状态出发,到另一时刻,必然转移到各状态中的某一个,所以当转移概率只与及时间间距有关时,把它记为,即并称此转移概率具有平稳性同时也称此链是齐次的或时齐的在马氏链为齐次的情形下,称转移概率为马氏链的步转移概率1.1.3 转移概率矩阵转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵.易知,此矩阵的每一行元之和等于一当时记为一
13、步转移概率,由它们组成的一步转移概率矩阵且具有以下性质:;1.2 遍历性齐次马氏链的状态空间为,若对于所有,转移概率存在极限或 则称此链具有遍历性又若,则同时称为链的极限分布有限链的遍历性的一个充分条件:定理1.2.1设齐次马氏链的状态空间为,是它的一步转移概率矩阵,如果存在正整数,使对任意的,都有,则称此链具有遍历性,且有极限分布,它是方程组或即的满足条件,的唯一解注:方程组中仅个未知数是独立的,而唯一解可用归一条件确定 在定理的条件下,马氏链的极限分布又是平稳分布意即,若用作为链的初始分布,即,则链在任一时刻的分布永远与一致事实上有第二章 问题的分析由于学生的成绩呈正态分布,将某位教师全体
14、的施教对象某次考试成绩分成个等级,把教师的较长教学过程分为两个阶段(第一学期期末,第二学期期末)例如:当时就是把某位教师的全体学生考试成绩分成五个等级,常见有:为优秀(分以上);为良好(分);为中等(分);为及格(分);为不及格(分以下)应用马尔科夫链从学生的等级转移情况对教师的教学效果进行评价和比较,这种等级变化是离散的状态变化,这样考虑比较符合客观实际记状态向量为各个等级学生占学生总人数之比,并用状态概率分布向量来表示,记为,其中,且把表示成一个齐次链,就可以分析当变化时状态向量的变化规律,这样就可以由链的无后效性建立起不受学生原有基础差异影响的教学质量评估数学模型设学生总人数为,初始考试
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