优化设计1建模及数学基础课件.ppt
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1、2023/3/23,1,第3章 优化设计,3.1 优化设计概述3.2 优化方法的数学基础3.3 一维优化问题3.4 多维无约束问题3.5 多维有约束问题3.6 机械最优化设计中的其他相关问题3.7 优化设计工具软件,2023/3/23,2,3.1 优化问题概述,一、优化问题的基本概念二、优化问题的数学模型三、优化问题的几何描述,2023/3/23,3,一、优化问题的基本概念,概述:优化设计是一种用数学方法解决设计问题的设计方法,借助计算机技术实现复杂的计算工作。在多个可行方案中选择最好的一个。(1)建立数学模型选取变量,建立优化问题的目标函数和约束条件;(2)求解数学模型在给定的条件下求目标函
2、数的极值或最优值问题。机械优化设计就是在给定的载荷或环境条件下,在机械产品的性态、几何尺寸等因素的限制范围内,以其性能、强度和经济性等为优化现象,选取变量,建立目标函数和优化条件并求解最优值的一种现代设计方法。,2023/3/23,4,某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要材料9Kg、3个工时、4KW电,可获利60元。生产乙种产品每件需要材料4Kg、10个工时、5KW电,可获利120元。若每天能供应材料360Kg,有300个工时,能供200KW电,问每天生产甲、乙两种产品各多少件,才能获得最大的利润。,例1,2023/3/23,5,目标:利润F,变量:甲数量x1,乙数量x2,约束,例1
3、,2023/3/23,6,某化工厂生产A,B,C,D四种化工品,生产每种产品一吨所消耗的工时和产值如下表:要求全厂年产量在1000万元以上,求当消耗的总工时最少时,该厂生产各种产品的数量。解:设该厂全年生产A、B、C、D四种产品的数量分别为x1、x2、x3、x4(单位为吨),消耗的总工时为y,则 y=100 x1+300 x2+400 x3+75x4=f(x1,x2,x3,x4),例2,2023/3/23,7,满足的限制条件:x1+5x 2+10 x3+0.5x4 10000(1)xi 0 i=1,2,3,4(2)则以上问题可以简化为在(1)、(2)条件下,求min(y)时x1,x2,x3,x
4、4 的值。,2023/3/23,8,例3,2023/3/23,9,例3,2023/3/23,10,例3,2023/3/23,11,例3,2023/3/23,12,总结:优化问题主要是建立数学模型,求极值。一个最优化设计问题应包含:设计变量、目标函数、约束条件。设计变量:在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数。目标函数:设计中预期要达到的目标。约束条件:设计变量取值时的限制条件。,2023/3/23,13,二、优化问题的数学模型,优化数学模型 根据研究的问题,建立设计变量与目标函数之间的关系,以及设计变量之间应遵守的约束条件。,2023/3/23,14,1、设计变量:独立影响目标函数的
5、变量 设计常量、优化设计的维数 在一般情况下,若有 n 个设计变量,把第 i 个设计变量记为xi,则其全部设计变量可用 n 维向量的形式表示成:,二、优化问题的数学模型,2023/3/23,15,2023/3/23,16,n维欧氏空间:以 n 个独立变量为坐标轴组成的 n 维向量空间是一个 n 维实空间,用 Rn 表示,如果其中任意两向量又有内积运算,则称为 n 维欧氏空间,用 En 表示。此就为优化设计中所谓的“设计空间”。n 维空间又称为超越空间。设计空间中的一个点就是一种设计方案。,2023/3/23,17,2023/3/23,18,2、目标函数 目标函数是设计中预期要达到的目标,可表示
6、为各设计变量的函数表达式:f(X)=f(x1,x2,xn)单目标函数多目标函数 目标函数越多,设计的综合效果越好,求解难度越大,2023/3/23,19,2023/3/23,20,等值线:对于具有相同目标函数值的设计点所构成的平面曲线或曲面称为等值线(等高线)或等值面。,当给定目标函数以不同值时,可得到一系列的等值线,它们构成目标函数的等值线族。,2023/3/23,21,等值线或等值面的用途:在极值处函数的等值线聚成一点,并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时,等值线的疏密说明目标函数值的变化缓急。在许多优化问题中,最优点周围往往是一族近似的同心椭圆族,每一个近似椭圆就是一条目标
7、函数的等值线,求目标函数极值问题可归结为求其等值线同心椭圆族的中心。,2023/3/23,22,3、约束条件 设计变量取值的限制条件 约束条件可以用数学不等式或等式表示。可行域、不可行域 如果设计点落到某个约束边界线(边界面)上,则称边界点。边界点是允许的极限设计方案。设计约束条件可分为边界约束和性态约束:边界约束:用于限制设计变量的变化范围。性态约束(性能约束):由结构的某种性能或设计要求推导出来的一种约束条件。,2023/3/23,23,4.优化问题的数学模型:S.t.Subject to,2023/3/23,24,2023/3/23,25,三、优化问题的几何描述,例4,2023/3/23
8、,26,例4,2023/3/23,27,2023/3/23,28,2023/3/23,29,例5,2023/3/23,30,2023/3/23,31,2023/3/23,32,2023/3/23,33,小结,2023/3/23,34,3.2 优化方法的数学基础,一、函数的方向导数与梯度二、多元函数的泰勒公式及海森(Hessian)矩阵三、目标函数的无约束极值条件四、函数的凸性与凸函数、凹函数五、目标函数的约束极值问题六、迭代算法,2023/3/23,35,1、方向导数 多元函数的微分学中我们已经知道,函数 f(X)在某点的偏导数是函数在该点沿各坐标方向的变化率。依此类推,对于 n 维函数,沿方
9、向S的方向导数则为:,一、函数的方向导数与梯度,2023/3/23,36,方向导数表明了函数在该点沿给定方向 S 的变化率,是一个标量。,2023/3/23,37,2、函数的梯度 在同一点处,函数沿不同方向的变化率一般是不同的。我们关心的是函数变化率最大的方向。以二元函数f(x1,x2)为例说明梯度的概念 函数在某点沿任意方向 S 的方向导数为:,2023/3/23,38,当梯度f 与 S 方向夹角为零,方向导数的最大值为 f,即梯度的模就是函数的最大变化率。此方向称之为梯度方向。,2023/3/23,39,(1)函数在给定点的梯度方向是函数等值线或等值面在该点的法线方向。(2)某点梯度方向是
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