理论力学03刚体力学课件.ppt
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1、刚体的概念及特点,刚体(rigid body):假如质点组中任何两质点间的距离都不会因力的作用而改变,我们就称该质点组为刚体。属理想模型。,现实中没有真正的刚体,但当物体的大小和形状变化可以忽略不计时,通常便把它看作刚体。,作用在刚体上的力可以刚性传递,为滑移矢量。,刚体特点:,各质点间无相对位移,因此也无相对速度,无内力作功。,刚体运动的分类和描述,平动:刚体中的任意两点的连线始终保持方向不变的运动。特点:刚体上所有质点都具有相同的速度和加速度;等同于质点运动;刚体平动的描述需三个独立变量。定轴转动:刚体中两点始终保持不动,两点连线外的其它部分绕这两点确定的轴线作圆周运动。刚体定轴转动的描述
2、需一个独立变量。平面平行运动(平面运动):刚体中所有点始终保持平行于某一固定面的运动。相当于“平面平动定轴转动”。刚体平面运动的描述需三个独立变量。定点转动:刚体中只有一点固定不动,其它部分绕该点的瞬时轴转动。刚体定点转动的描述需三个独立变量(欧拉角)。一般运动:自由刚体的运动。可以分解为平动和定点转动。刚体定点转动的描述需六个独立变量。,有限转动与无限小转动1,有限转动不满足矢量对易律,不是矢量。图象参见教材P159。,无限小转动是否满足对易律,是否是矢量?,角坐标:,角位移:,大小:,方向:右手螺旋法则。,有限转动与无限小转动2,无限小转动是否满足对易律,是否是矢量?,?,对线位移比较了解
3、,故先寻求角位移与线位移间的关系:,有限转动与无限小转动3,线位移:,线位移:,有限转动与无限小转动4,线位移满足:,!,角速度,角速度(Angular velocity):,大小:,线速度:,又:,角速度与线速度关系,单位:,补充_欧勒公式&泊松公式&矢量运算,一个转动的定长矢量对于时间的变化率,等于该矢量转动的角速度矢乘该矢量本身。,判断对错,泊松公式,欧勒公式,角加速度,角加速度(Angular acceleraton):,单位:,线加速度:,又:,角量与线量的关系,对于图示运动有:,力的可传性,力的可传性原理:刚体上的力所产生的力学效果,决定于力的大小、方向和作用线的地位,与力的作用点
4、在作用线上的地位无关。,刚体上的力可沿作用线滑移,故称滑移矢量,但不能随意改变作用线位置,否则力的作用效果将改变!,力系的简化1,对于共点力:利用平行四边形法则进行矢量合成;对于不共点但作用线相交的力,可以都滑移到交点处,再利用共点力合成。,?,力偶(couple),力偶:作用在同一物体上,大小相等、方向相反、又不在同一直线的两个力称力偶。,力偶的合力为0:,力偶面:力偶所在的平面。,力偶对于力偶面内任意一点P的力矩:,力偶矩,力偶矩:是力与力偶臂的乘积。力偶矩是力偶唯一的力学效果。,垂直于力偶面,遵从右手螺旋法则。,为自由矢量,可以作用在力偶面内的任意一点。,多个共面力偶可以进行力偶矩合成,
5、不受作用点限制!(与力有别),?,力系的简化2,作用在刚体上的每个力,都可化为经过任意一点P的一个力和一个力偶。因此不论多复杂的力系都可以求得一个合力和一个合力偶。P点称为简化中心;合力称为主矢;力偶矩矢量和(合力偶)称为主矩。,力系的简化3,力系的简化中心可以任意选取,选取原则是简化问题的研究。通常以质心为刚体力系的简化中心。主矢将使刚体质心的平动状态发生变化;主矩将使刚体绕通过质心的轴线的转动状态发生变化。,在对刚体力系做了简化后,就可以讨论描述刚体运动的微分方程了。,刚体运动微分方程1,刚体质心C的运动微分方程:,刚体质量,质心加速度,主矢,刚体在质心动系中的动量矩定理:,对质心的主矩,
6、质心系中对质心的总动量矩,刚体运动微分方程2,(1)它的质心好象一个具有质量m的质点,而所有外力作用在此质点上,且此时动量对时间的微商等于所有外力的矢量和。(2)刚体在相对于随质心平动的动坐标系的运动中,对质心C的动量矩对时间的微商,等于所有外力对C的力矩的矢量和。(当转动对于固定系的某定点而言时,也有类似结果)。,有时也可用动能定理来代替以上得到的某个运动微分方程。,由前面结果可知,对于自由刚体,假如在多个外力作用下在空间运动,则有:,刚体平衡方程,只有当刚体受力的矢量和为零,并且受力对于任意一点力矩的矢量和也为零时,刚体才会处于平衡状态。,刚体平衡方程:,共面(xy)力系:,共点(O)力系
7、:,共面(xy)共点(O)力系:,共线(x)力系:,刚体平衡方程_例题,例(教材P172):一根均匀的棍子,重为P,长为2l。将其一端置于粗糙地面,而C点靠在离地面h高的墙上。当棍子与地面的角度为最小值 时,棍子在上述位置仍处于平衡状态,求棍子与地面的摩擦系数。,解:根据题意画出受力图,在如图所示的坐标系中,有平衡方程:,即:,刚体平衡方程_例题,求解上面的方程组:,刚体的动量矩1,刚体的动量矩:,刚体的动量矩2,刚体的动量矩和转动惯量,令:,以上为轴转动惯量,以上为惯量积,刚体的动量矩和惯量张量,刚体动量矩在各坐标轴上的投影:,该矩阵称刚体对O点的惯量张量,矩阵中的各元素(轴转动惯量和惯量积
8、)称惯量张量的组元,也叫惯量系数。,刚体的转动动能1,刚体对定点O的转动动能:,刚体的转动动能2,刚体对定点O的转动动能也可写为:,转动惯量1,只要计算出刚体的三个轴转动惯量和三个惯量积,再代入转轴的方向余弦,就可求得刚体相对于该转轴的转动惯量I了。,转动惯量2,具有质量分布的刚体的转动惯量,可等效于集所有质量于一身的一个质点的转动惯量,该等效质点离轴线的垂直距离为k,称为刚体对该轴线的回转半径。,平行轴定理:刚体对于某轴线的转动惯量,等于它对通过质心并与该轴平行的轴线的转动惯量,外加刚体质量与两轴间垂直距离的平方的乘积。即:,练习1:自行证明该定理!,正交轴定理:当刚体的质量为面分布时,刚体
9、对该平面内任意两个正交轴线的转动惯量之和,等于它对过交点的另一正交轴的转动惯量。如果质量分布在xoy平面内则有:,练习2:自行证明该定理!,转动惯量3,求质量按规律分布,且形状规则的刚体的转动惯量,求和变积分:,转动惯量矩阵表达:,惯量椭球1,通过刚体上的某定点O的轴线可以有无数条,刚体对于各条都有一个转动惯量,现考虑将各轴的转动惯量I大小反应为几何量。做法:在转轴上截取一点Q,使它到O点的线段长度满足:,Q点的坐标为:,将其代入转动惯量方程:,此为一椭球方程,由反映各轴惯量大小的线段端点构成的,称为O点的惯量椭球。,惯量椭球2,刚体上的每个点都对应一个惯量椭球。质心所对应的惯量椭球称为中心惯
10、量椭球。已知惯量椭球,可以由某轴上矢径的长度求出刚体绕该轴转动时的转动惯量;反之,已知刚体对三坐标轴的转动惯量和它们的惯量积,便可以写出坐标原点的惯量椭球方程。选择合适的坐标轴可以消去惯量积。,每个惯量椭球都有三条相互垂直的主轴,称为惯量主轴。设其长度分别为a,b,c。若把它们分别取为x,y,z轴,则该惯量椭球的方程可表示为:,惯量椭球3,可见在这种坐标选择下,惯量积项已经被消去了。仅剩三个主转动惯量项,无需双下标,故通常记为:,刚体动量矩:,刚体转动动能:,惯量主轴求法,如果刚体具有对称面,那么对称面中任意一点的垂线必为过该点的一条惯量主轴。如果刚体具有对称轴,那么对称轴必为轴上任意一点的惯
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