数学人教高二选修21导数及其应用.docx
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1、数学人教高二选修21导数及其应用更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 导数及其应用复习讲义 一、知识复习: 1. 导数的定义: 设x0是函数y=f(x)定义域的一点,如果自变量x在x0处有增量Dx,则函数值y也引起相应的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0);比值Dyf(x0+Dx)-f(x0)称为函数y=f(x)在点x0到x0+Dx之间的平均变化率;=DxDx如果极限limf(x0+Dx)-f(x0)Dy存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做y=f(x)=limDx0DxDx0Dxf(x0+Dx)-f(x0)Dx在x0处的导数。 f(
2、x)在点x0处的导数记作yx=x0=f(x0)=limDx02 导数的几何意义: 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率,也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x)处的切线的斜率是f(x0),切线方程为y-y0=f(x)(x-x0). 3基本常见函数的导数: C=0; x()=nxnn-1; (sinx)=cosx; (cosx)=-sinx; (e)=e; (a)=alna; (lnx)=xxxx11; (logax)=logae. xx二、导数的运算 1.导数的四则运算: 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导
3、数的和(或差), 即: f(x)g(x)=f(x)g(x) 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: (Cf(x)=Cf(x).(C为常数) 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平f(x)f(x)g(x)-f(x)g(x)方:g(x)0)。 (=2g(x)g(x)2.复合函数的导数 j(x). 形如y=fj(x)的函数称为复合函数。法则: fj(x)=f(m)g更多精品讲义请关
4、注微信公众号:备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 1 更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 三、导数的应用 1.函数的单调性与导数 设函数y=f(x)在某个区间(a,b)可导, 如果f(x)0,则f(x)在此区间上为增函数; 如果f(x)0,则f(x)在此区间上为减函数。 如果在某区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常函数。 2函数的极点与极值:当函数f(x)在点x0处连续时, 如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值. 3函数的最值: 一般地
5、,在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值。函数f(x)在区间a,b上的最值只可能在区间端点及极值点处取得。 求函数f(x)在区间a,b上最值的一般步骤:求函数f(x)的导数,令导数f(x)=0解出方程的跟在区间a,b列出x,f(x),f(x)的表格,求出极值及f(a)、f(b)的值;比较端点及极值点处的函数值的大小,从而得出函数的最值 4相关结论总结: 可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 5.定积分 概念 设函数f(x)在区间a,b上连续,用分点ax0x1xi1xi0,解得x2,故选D () 已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2
6、-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是 ( ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 答案 A 解析 由f(x)=2f(2-x)-x+8x-8得几何f(2-x)=2f(x)-(2-x)+8(2-x)-8, 即2f(x)-f(2-x)=x+4x-4,f(x)=xf(x)=2x,切线方程y-1=2(x-1),即22/222x-y-1=0选A 点评:导数值对应函数在该点处的切线斜率。 例6若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数, 则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是 y y y y ( ) o a b x o a
7、o b x a o b x a b x 更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 5 更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 A B C D 解析 因为函数y=f(x)的导函数y=f(x)在区间a,b上是增函数,即在区间a,b上各点处的斜率k是递增的,由图易知选A. 注意C中y=k为常数噢. 1和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 。 x1解析:曲线y=和y=x2在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1,它x3们与x轴所围成的三角形的面积是。 4曲线y=点评:导数的运算可以
8、和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的效果。 题型4:借助导数处理单调性、极值和最值 例7对于R上可导的任意函数f,若满足f0,则必有 Aff2f 函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 A1个 B2个 C3个 D 4个 已知函数f(x)=13ax+bx2+x+3,其中a0 3当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值? 已知a0,且f(x)在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 2解: (1)由已知得f(x)=ax+2bx+1,令f(x)=0,得ax+2bx+1=0, 2f
9、(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解, 所以=4b-4a0,即ba, 此时方程ax+2bx+1=0的根为 222-2b-4b2-4a-b-b2-a-2b+4b2-4a-b+b2-a,x2=, x1=2aa2aa所以f(x)=a(x-x1)(x-x2) 当a0时, x f(x) f (x) ( ,x1) 增函数 x 1 0 极大值 (x1,x2) 减函数 x2 0 极小值 (x2,+) 增函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 6 更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beik
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